Математическая функция
В математике хи-функция Лежандра — это специальная функция , ряд Тейлора которой также является рядом Дирихле , заданным формулой χ ν ( з ) = ∑ к = 0 ∞ з 2 к + 1 ( 2 к + 1 ) ν . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu } }}.}
Таким образом, он напоминает ряд Дирихле для полилогарифма и, действительно, тривиально выражается через полилогарифм как χ ν ( з ) = 1 2 [ Ли ν ( з ) − Ли ν ( − з ) ] . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\вправо].}
Хи-функция Лежандра появляется как дискретное преобразование Фурье относительно порядка ν дзета-функции Гурвица , а также полиномов Эйлера , с явными соотношениями, приведенными в этих статьях.
Функция Лежандра хи является частным случаем трансцендента Лерха и задается формулой χ ν ( з ) = 2 − ν з Ф ( з 2 , ν , 1 / 2 ) . {\ displaystyle \ chi _ {\ nu } (z) = 2 ^ {- \ nu } z \, \ Phi (z ^ {2}, \ nu, 1/2).}
Идентичности χ 2 ( х ) + χ 2 ( 1 / х ) = π 2 4 − я π 2 вн | х | . {\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}(1/x)={\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\frac {i\pi }{2}}\ln |x|.} г г х χ 2 ( х ) = а г с т а н час х х . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\chi _{2}(x)={\frac {{\rm {arctanh\,}}x}{x}}.}
Интегральные отношения ∫ 0 π / 2 арксинус ( г грех θ ) г θ = χ 2 ( г ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arcsin(r\sin \theta )d\theta =\chi _{2}\left(r\right)} ∫ 0 π / 2 арктан ( г грех θ ) г θ = − 1 2 ∫ 0 π г θ потому что θ 1 + г 2 грех 2 θ г θ = 2 χ 2 ( 1 + г 2 − 1 г ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(r\sin \theta )d\theta =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {r\theta \cos \theta }{1+r^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta =2\chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+r^{2}}}-1}{r}}\right)} ∫ 0 π / 2 арктан ( п грех θ ) арктан ( д грех θ ) г θ = π χ 2 ( 1 + п 2 − 1 п ⋅ 1 + д 2 − 1 д ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(p\sin \theta )\arctan(q\sin \theta )d\theta =\pi \chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+p^{2}}}-1}{p}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+q^{2}}}-1}{q}}\right)} ∫ 0 α ∫ 0 β г х г у 1 − х 2 у 2 = χ 2 ( α β ) я ф | α β | ≤ 1 {\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{\beta }{\frac {dxdy}{1-x^{2}y^{2}}}=\chi _{2}(\alpha \beta )\qquad {\rm {if}}~~|\alpha \beta |\leq 1}
Ссылки Вайсштейн, Эрик В. «Функция Чи Лежандра». Математический мир Djurdje Cvijović, Jacek Klinowski (1999). "Значения хи-функций Лежандра и дзета-функций Гурвица при рациональных аргументах". Mathematics of Computation . 68 (228): 1623–1630. doi : 10.1090/S0025-5718-99-01091-1 . Djurdje Cvijović (2007). "Интегральные представления функции Лежандра хи". Журнал математического анализа и приложений . 332 (2): 1056–1062. arXiv : 0911.4731 . doi :10.1016/j.jmaa.2006.10.083. S2CID 115155704. 
![{\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\вправо].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473961aafa254e0c6ed4568ee2c404996271810b)
