постоянная Хинчина

В теории чисел константа Хинчина — математическая константа , связанная с разложением в простые цепные дроби многих действительных чисел . В частности, Александр Яковлевич Хинчин доказал, что для почти всех действительных чисел x коэффициенты a _i разложения в цепные дроби числа x имеют конечное геометрическое среднее , не зависящее от значения x. Она известна как константа Хинчина и обозначается K ₀ .

То есть, для

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;}$

почти всегда верно, что

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}.}$

Десятичное значение константы Хинчина определяется по формуле:

${\displaystyle K_{0}=2,68545\,20010\,65306\,44530\точек }$(последовательность A002210 в OEIS )

Хотя почти все числа удовлетворяют этому свойству, оно не было доказано ни для одного действительного числа, не построенного специально для этой цели. Следующие числа, чьи разложения в непрерывные дроби, по-видимому, обладают этим свойством (на основе эмпирических данных):

• π
• Корни уравнений степени > 2, например, кубические корни и корни четвертой степени
• Натуральные логарифмы , например ln(2) и ln(3)
• Константа Эйлера -Машерони γ
• Константа Апери ζ(3)
• Константы Фейгенбаума δ и α
• постоянная Хинчина

Однако ни одно действительное число x не обладает этим свойством.

Среди чисел x, разложения которых в цепную дробь, как известно, не обладают этим свойством, находятся:

• Рациональные числа
• Корни квадратных уравнений , например, квадратные корни целых чисел и золотое сечение ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi}$ (однако среднее геометрическое всех коэффициентов для квадратных корней неквадратных целых чисел от 2 до 24 составляет около 2,708, что позволяет предположить, что квадратные корни в совокупности могут давать константу Хинчина как среднее геометрическое);
• Основание натурального логарифма е .

В старой математической литературе иногда пишут как Khintchine (французская транслитерация русского Хинчин).

Постоянную Хинчина можно задать следующим бесконечным произведением:

${\displaystyle K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}}$

Это подразумевает:

${\displaystyle \ln K_{0}=\sum _{r=1}^{\infty }\ln {\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}{\log _{2}r}}$

Константа Хинчина может быть также выражена в виде рационального дзета-ряда в форме ^[1]

${\displaystyle \ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}}$

или, отбрасывая члены ряда,

${\displaystyle \ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1}{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N+1)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]}$

где N — целое число, фиксированное, а ζ( s ,  n ) — комплексная дзета-функция Гурвица . Оба ряда сильно сходятся, поскольку ζ( n ) − 1 быстро приближается к нулю при больших n . Разложение также может быть дано в терминах дилогарифма :

${\displaystyle \ln {\frac {K_{0}}{2}}={\frac {1}{\ln 2}}\left[{\mbox{Li}}_{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\mbox{Li}}_{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right].}$

Существует ряд интегралов, связанных с константой Хинчина: ^[2]

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log _{2}\lfloor x^{-1}\rfloor }{x+1}}\mathrm {d} x=\ln {K_{0}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log _{2}(\Gamma (2+x)\Gamma (2-x))}{x(x+1)}}\mathrm {d} x=\ln K_{0}-\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{x(x+1)}}\log _{2}\left({\frac {\pi x(1-x^{2})}{\sin \pi x}}\right)\mathrm {d} x=\ln K_{0}-\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\log _{2}(x|\cot x|)}{x}}\mathrm {d} x=\ln K_{0}-{\frac {1}{2}}\ln 2-{\frac {\pi ^{2}}{12\ln 2}}}$

Представленное здесь доказательство было организовано Чеславом Рылль-Нардзевским ^[3] и намного проще оригинального доказательства Хинчина, которое не использовало эргодическую теорию .

Так как первый коэффициент a ₀ цепной дроби x не играет никакой роли в теореме Хинчина и так как рациональные числа имеют нулевую меру Лебега , мы сведены к изучению иррациональных чисел в единичном интервале , т.е. тех, которые находятся в . Эти числа находятся во взаимно однозначном соответствии с бесконечными цепными дробями вида [0;  a ₁ ,  a ₂ , ...], которые мы просто записываем как [ a ₁ ,  a ₂ , ...], где a ₁ , a ₂ , ... — положительные целые числа . Определим преобразование T : I  →  I следующим образом :${\displaystyle I=[0,1]\setminus \mathbb {Q} }$

${\displaystyle T([a_{1},a_{2},\dots ])=[a_{2},a_{3},\dots ].\,}$

Преобразование T называется оператором Гаусса–Кузмина–Вирсинга . Для каждого борелевского подмножества E множества I мы также определяем меру Гаусса–Кузмина множества E

${\displaystyle \mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}.}$

Тогда μ является вероятностной мерой на σ -алгебре борелевских подмножеств I . Мера μ эквивалентна мере Лебега на I , но обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что преобразование T сохраняет меру μ . Более того, можно доказать, что T является эргодическим преобразованием измеримого пространства I , наделенного вероятностной мерой μ (это сложная часть доказательства). Тогда эргодическая теорема гласит, что для любой μ - интегрируемой функции f на I среднее значение одинаково для почти всех : ${\displaystyle f\left(T^{k}x\right)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int _{I}fd\mu \quad {\text{for }}\mu {\text{-almost all }}x\in I.}$

Применяя это к функции, определяемой как f ([ a ₁ ,  a ₂ , ...]) = ln( a ₁ ), получаем, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln a_{k}=\int _{I}f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\ln \left[1+{\frac {1}{r(r+2)}}\right]\log _{2}r}$

для почти всех [ a ₁ ,  a ₂ , ...] из I при n  → ∞.

Взяв экспоненту с обеих сторон, получим слева среднее геометрическое первых n коэффициентов цепной дроби, а справа — постоянную Хинчина.

Константу Хинчина можно рассматривать как первую в ряду средних значений Гельдера членов цепных дробей. Если задан произвольный ряд { a _n }, среднее значение Гельдера порядка p ряда определяется как

${\displaystyle K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}.}$

Когда { a _n } являются членами разложения непрерывной дроби, константы задаются формулой

${\displaystyle K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}.}$

Это получается путем взятия p -го среднего в сочетании с распределением Гаусса–Кузьмина . Это конечно, когда .${\displaystyle p<1}$

Среднее арифметическое расходится: , и поэтому коэффициенты растут сколь угодно большими: .${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=K_{1}=+\infty }$${\displaystyle \limsup _{n}a_{n}=+\infty }$

Значение K ₀ получается в пределе p  → 0.

Гармоническое среднее ( p  = −1) равно

${\displaystyle K_{-1}=1.74540566240\dots }$(последовательность A087491 в OEIS ).

Многие известные числа, такие как π , константа Эйлера–Маскерони γ и сама константа Хинчина, на основе числовых доказательств ^{[4] [5] [2]} считаются среди чисел, для которых предел сходится к константе Хинчина. Однако ни один из этих пределов не был строго установлен. Фактически, это не было доказано ни для одного действительного числа, которое не было специально построено для этой точной цели. ^[6]${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}}$

Алгебраические свойства самой константы Хинчина, например, является ли она рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом, также неизвестны. ^[2]

• Теорема Лохса
• постоянная Леви
• Постоянная Сомоса
• Список математических констант

• Дэвид Х. Бейли; Джонатан М. Борвейн; Ричард Э. Крэндалл (1995). "О константе Хинчина" (PDF) . Математика вычислений . 66 (217): 417– 432. doi : 10.1090/s0025-5718-97-00800-4 .
• Jonathan M. Borwein; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF) . J. Comput. Appl. Math . 121 ( 1– 2): 11. Bibcode :2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 .

• Томас Витинг (2007). «Последовательность Хинчина». Труды Американского математического общества . 136 (3): 815– 824. doi : 10.1090/S0002-9939-07-09202-7 .

• Александр Я. Хинчин (1997). Continued Fractions . Нью-Йорк: Dover Publications.

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Константа Хинчина» .

• 110 000 знаков константы Хинчина
• 10 000 знаков константы Хинчина