Дилогарифм

В математике дилогарифм (или функция Спенса ) , обозначаемый как Li ₂ ( z ) , является частным случаем полилогарифма . Две связанные специальные функции называются функцией Спенса, самим дилогарифмом:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-u) \over u}\,du{\text{, }}z\in \mathbb {C} }$

и его отражение. При | z | ≤ 1 также применяется бесконечный ряд ( интегральное определение представляет собой его аналитическое расширение на комплексную плоскость ):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}.}$

В качестве альтернативы дилогарифмическая функция иногда определяется как

${\displaystyle \int _{1}^{v}{\frac {\ln t}{1-t}}dt=\operatorname {Li} _{2}(1-v).}$

В гиперболической геометрии дилогарифм может быть использован для вычисления объема идеального симплекса. В частности, симплекс, вершины которого имеют поперечные отношения z, имеет гиперболический объем

${\displaystyle D(z)=\operatorname {Im} \operatorname {Li} _{2}(z)+\arg(1-z)\log |z|.}$

Функцию D ( z ) иногда называют функцией Блоха-Вигнера. ^[1] Функция Лобачевского и функция Клаузена являются тесно связанными функциями.

Уильям Спенс , в честь которого функция была названа ранними авторами в этой области, был шотландским математиком, работавшим в начале девятнадцатого века. ^[2] Он учился в школе с Джоном Галтом , ^[3] который позже написал биографическое эссе о Спенсе.

Используя предыдущее определение выше, функция дилогарифма аналитична всюду на комплексной плоскости, за исключением , где она имеет логарифмическую точку ветвления. Стандартный выбор сечения ветвления осуществляется вдоль положительной действительной оси . Однако функция непрерывна в точке ветвления и принимает значение .${\displaystyle z=1}$${\displaystyle (1,\infty )}$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\pi ^{2}/6}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2}).}$^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {(\ln z)^{2}}{2}}.}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\frac {{\pi }^{2}}{6}}-\ln z\cdot \ln(1-z).}$^[4] Формула отражения .

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}-\ln z\cdot \ln(z+1).}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {(\ln(-z))^{2}}{2}}.}$^[4]

${\displaystyle \operatorname {L} (z)+\operatorname {L} (y)=\operatorname {L} (xy)+\operatorname {L} ({\frac {x(1-y)}{1-xy}})+\operatorname {L} ({\frac {y(1-x)}{1-xy}})}$^{[6] [7]} Функциональное уравнение Абеля или пятичленное соотношение, где - L - функция Роджерса (аналогичное соотношение удовлетворяет также квантовому дилогарифму ).${\displaystyle \operatorname {L} (x)={\frac {\pi }{6}}[\operatorname {Li} _{2}(z)+{\frac {1}{2}}\ln(z)\ln(1-z)]}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{6}}.}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+{\frac {(\ln 3)^{2}}{6}}.}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+\ln 2\cdot \ln 3-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{3}}.}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)+{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}+2\ln 2\cdot \ln 3-2(\ln 2)^{2}-{\frac {2}{3}}(\ln 3)^{2}.}$ ^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{8}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {9}{8}}\right)^{2}.}$^[5]

${\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{8}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{64}}\right)={\pi }^{2}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0.}$Его наклон = 1.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{12}}-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\zeta (2)={\frac {{\pi }^{2}}{6}},}$где — дзета-функция Римана .${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\frac {{\pi }^{2}}{4}}-i\pi \ln 2.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{2}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

Функция Спенса часто встречается в физике элементарных частиц при расчете радиационных поправок . В этом контексте функция часто определяется с абсолютным значением внутри логарифма:

${\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln |1-u|}{u}}\,du={\begin{cases}\operatorname {Li} _{2}(x),&x\leq 1;\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}-\operatorname {Li} _{2}({\frac {1}{x}}),&x>1.\end{cases}}}$

• Число Маркштейна

• Левин, Л. (1958). Дилогарифмы и связанные с ними функции . Предисловие Дж. Ч. П. Миллера. Лондон: Macdonald. MR  0105524.
• Моррис, Роберт (1979). «Дилогорифмическая функция действительного аргумента». Math. Comp . 33 (146): 778– 787. doi : 10.1090/S0025-5718-1979-0521291-X . MR  0521291.
• Локстон, Дж. Х. (1984). «Специальные значения дилогарифма». Acta Arith . 18 (2): 155– 166. doi : 10.4064/aa-43-2-155-166 . MR  0736728.
• Кириллов, Анатолий Н. (1995). «Дилогарифмические тождества». Progress of Theoretical Physics Supplement . 118 : 61– 142. arXiv : hep-th/9408113 . Bibcode :1995PThPS.118...61K. doi :10.1143/PTPS.118.61. S2CID  119177149.
• Осакар, Карлос; Паласиан, Иисус; Паласиос, Мануэль (1995). «Численная оценка дилогарифма комплексного аргумента». Селеста. Мех. Дин. Астрон . 62 (1): 93–98 . Бибкод : 1995CeMDA..62...93O. дои : 10.1007/BF00692071. S2CID  121304484.
• Загер, Дон (2007). «Функция дилогарифма». У Пьера Картье; Пьер Мусса; Бернар Джулия; Пьер Ванхов (ред.). Границы теории чисел, физики и геометрии II (PDF) . стр.  3–65 . doi :10.1007/978-3-540-30308-4_1. ISBN 978-3-540-30308-4.

• Блох, Спенсер Дж. (2000). Высшие регуляторы, алгебраическая K -теория и дзета-функции эллиптических кривых . Серия монографий CRM. Том 11. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-2114-8. Збл  0958.19001.

• Цифровая библиотека математических функций NIST: дилогарифм
• Вайсштейн, Эрик В. «Дилогарифм». Математический мир .