Каноническая сингулярность

В математике канонические сингулярности появляются как сингулярности канонической модели проективного многообразия , а терминальные сингулярности являются особыми случаями, которые появляются как сингулярности минимальных моделей . Они были введены Ридом (1980). Терминальные сингулярности важны в программе минимальной модели , поскольку гладкие минимальные модели не всегда существуют, и поэтому необходимо допускать определенные сингулярности, а именно терминальные сингулярности.

Предположим, что Y — нормальное многообразие, такое, что его канонический класс K _Y есть Q -Картье, и пусть f : X → Y — разрешение особенностей Y. Тогда

${\displaystyle \displaystyle K_{X}=f^{*}(K_{Y})+\sum _{i}a_{i}E_{i}}$

где сумма берется по неприводимым исключительным делителям, а a _i — рациональные числа, называемые отклонениями .

Тогда особенности Y называются:

терминал, если a _i > 0 для всех i

канонический , если a _i ≥ 0 для всех i

лог-терминал, если a _i > −1 для всех i

логарифмически канонический , если a _i ≥ −1 для всех i .

Особенности проективного многообразия V являются каноническими, если многообразие нормально , некоторая степень канонического линейного расслоения неособой части V продолжается до линейного расслоения на V , и V имеет те же самые плюрироды , что и любое разрешение его особенностей. V имеет канонические особенности тогда и только тогда, когда оно является относительной канонической моделью .

Особенности проективного многообразия V являются терминальными, если многообразие нормально , некоторая степень канонического линейного расслоения неособой части V продолжается до линейного расслоения на V и V образ любого сечения V ^m исчезает вдоль любой компоненты коразмерности 1 исключительного множества разрешения его особенностей .

Двумерные терминальные особенности являются гладкими. Если многообразие имеет терминальные особенности, то его особые точки имеют коразмерность не менее 3, и в частности в размерностях 1 и 2 все терминальные особенности являются гладкими. В 3 измерениях они изолированы и были классифицированы Мори (1985).

Двумерные канонические особенности совпадают с особенностями Дю Валя и аналитически изоморфны факторам C ² по конечным подгруппам SL ₂ ( C ).

Двумерные логтерминальные особенности аналитически изоморфны факторам C ² по конечным подгруппам GL ₂ ( C ).

Двумерные логканонические сингулярности были классифицированы Каваматой (1988).

В более общем смысле эти понятия можно определить для пары , где — формальная линейная комбинация простых делителей с рациональными коэффициентами, такая, что — Картье. Пара называется${\displaystyle (X,\Дельта)}$${\displaystyle \Дельта}$${\displaystyle K_{X}+\Дельта }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• терминал, если Discrep${\displaystyle (X,\Delta)>0}$
• канонический если Discrep${\displaystyle (X,\Delta)\geq 0}$
• klt (лог-терминал Кавамата), если Discrep и${\displaystyle (X,\Delta)>-1}$${\displaystyle \lfloor \Delta \rfloor \leq 0}$
• plt (чисто лог-терминал), если Discrep${\displaystyle (X,\Delta)>-1}$
• lc (канонический лог), если Discrep .${\displaystyle (X,\Delta)\geq -1}$

• Коллар, Янош (1989), «Минимальные модели алгебраических тройных многообразий: программа Мори», Asterisque (177): 303–326 , ISSN  0303-1179, MR  1040578
• Кавамата, Юдзиро (1988), «Крепантное раздутие трехмерных канонических особенностей и его применение к вырождениям поверхностей», Ann. of Math. , 2, 127 (1): 93– 163, doi :10.2307/1971417, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971417, MR  0924674
• Мори, Сигефуми (1985), «О трехмерных терминальных сингулярностях», Nagoya Mathematical Journal , 98 : 43–66 , doi : 10.1017/s0027763000021358 , ISSN  0027-7630, MR  0792770
• Рид, Майлз (1980), «Канонические трехмерные многообразия», Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet 1979/Algebraic Geometry, Angers, 1979 , Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, стр.  273–310 , MR  0605348
• Рид, Майлз (1987), «Руководство для молодых людей по каноническим сингулярностям», Алгебраическая геометрия, Боудоин, 1985 (Брансуик, Мэн, 1985) , Труды Симпозиума по чистой математике, т. 46, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр.  345–414 , MR  0927963