Нормальная схема

В алгебраической геометрии алгебраическое многообразие или схема X является нормальным , если оно является нормальным в каждой точке, что означает, что локальное кольцо в точке является целозамкнутой областью . Аффинное многообразие X (понимаемое как неприводимое) является нормальным тогда и только тогда, когда кольцо O ( X ) регулярных функций на X является целозамкнутой областью. Многообразие X над полем является нормальным тогда и только тогда, когда каждый конечный бирациональный морфизм из любого многообразия Y в X является изоморфизмом .

Нормальные разновидности были введены Зариским  (1939, раздел III).

Морфизм многообразий конечен, если прообраз каждой точки конечен и морфизм является собственным . Морфизм многообразий бирационален, если он ограничивается изоморфизмом между плотными открытыми подмножествами. Так, например, каспидальна кубическая кривая X в аффинной плоскости A ^{2 ,} определяемая соотношением x ² = y ^{3 ,} не является нормальной, поскольку существует конечный бирациональный морфизм A ¹ → X (а именно, t отображается в ( t ³ , t ² )), который не является изоморфизмом. Напротив, аффинная прямая A ¹ нормальна: ее нельзя упростить еще больше конечными бирациональными морфизмами.

Нормальное комплексное многообразие X обладает свойством, если рассматривать его как стратифицированное пространство с использованием классической топологии, что каждое звено связно. Эквивалентно, каждая комплексная точка x имеет произвольно малые окрестности U такие, что U за вычетом сингулярного множества X связно. Например, отсюда следует, что узловая кубическая кривая X на рисунке, определяемая как y ² = x ² ( x + 1), не является нормальной. Это также следует из определения нормальности, поскольку существует конечный бирациональный морфизм из A ¹ в X , который не является изоморфизмом; он переводит две точки из A ¹ в одну и ту же точку в X .

В более общем случае схема X является нормальной , если каждое из ее локальных колец

О _Х,х

является целозамкнутой областью . То есть, каждое из этих колец является целостной областью R , и каждое кольцо S с R ⊆ S ⊆ Frac( R ) таким, что S конечно порождено как R -модуль, равно R . ( Здесь Frac( R ) обозначает поле дробей R .) Это прямой перевод, в терминах локальных колец, геометрического условия, что каждый конечный бирациональный морфизм в X является изоморфизмом.

Более старое понятие состоит в том, что подмногообразие X проективного пространства линейно нормально, если линейная система, задающая вложение, является полной. Эквивалентно, X ⊆ P ⁿ не является линейной проекцией вложения X ⊆ P ⁿ⁺¹ (если только X не содержится в гиперплоскости P ⁿ ). Это значение слова «нормальный» в фразах рациональная нормальная кривая и рациональная нормальная прокрутка .

Каждая регулярная схема является нормальной. Наоборот, Зарисский (1939, теорема 11) показал, что каждое нормальное многообразие является регулярным вне подмножества коразмерности не менее 2, и аналогичный результат верен для схем. ^[1] Так, например, каждая нормальная кривая является регулярной.

Любая редуцированная схема X имеет единственную нормализацию : нормальную схему Y с целочисленным бирациональным морфизмом Y → X. (Для многообразия X над полем морфизм Y → X конечен, что сильнее «целочисленного». ^[2] ) Нормализация схемы размерности 1 регулярна, а нормализация схемы размерности 2 имеет только изолированные особенности. Нормализация обычно не используется для разрешения особенностей для схем более высокой размерности.

Чтобы определить нормализацию, сначала предположим, что X — неприводимая приведенная схема X . Каждое аффинное открытое подмножество X имеет вид Spec R с R — областью целостности . Запишем X как объединение аффинных открытых подмножеств Spec A _i . Пусть B _i — целое замыкание A i в его поле дробей . Тогда нормализация _X определяется путем склеивания аффинных схем Spec B _i .

Если исходная схема не является неприводимой, то нормализация определяется как несвязное объединение нормализаций неприводимых компонентов.

Рассмотрим аффинную кривую

${\displaystyle C={\text{Spec}}\left({\frac {k[x,y]}{y^{2}-x^{5}}}\right)}$

с особенностью каспа в начале координат. Его нормализация может быть задана отображением

${\displaystyle {\text{Spec}}(k[t])\to C}$

индуцированный из алгебраической карты

${\displaystyle x\mapsto t^{2},y\mapsto t^{5}}$

Например,

${\displaystyle X={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$

не является неприводимой схемой, поскольку имеет две компоненты. Ее нормализация задается морфизмом схемы

${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(x)\times \mathbb {C} [x,y]/(y))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$

индуцированные из двух факторных отображений

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(x,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(x)}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(y,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(y)}$

Аналогично, для однородных неприводимых многочленов в UFD нормализация${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)}$

задается морфизмом

${\displaystyle {\text{Proj}}\left(\prod {\frac {k[x_{0}\ldots ,x_{n}]}{(f_{i},g)}}\right)\to {\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)}$

• Лемма нормализации Нётер
• Разрешение сингулярностей

• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С видом на алгебраическую геометрию. , Graduate Texts in Mathematics , т. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, г-н  1322960
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157, стр. 91
• Зариски, Оскар (1939), «Некоторые результаты в арифметической теории алгебраических многообразий», Amer. J. Math. , 61 (2): 249–294, doi :10.2307/2371499, JSTOR  2371499, MR  1507376