особенность дю Валь
Математическая концепция, описывающая изолированную особенность алгебраической поверхности.

В алгебраической геометрии особенность Дю Валя , также называемая простой поверхностной особенностью , особенностью Клейна или рациональной двойной точкой , является изолированной особенностью сложной поверхности, которая моделируется на двойном разветвленном покрытии плоскости, с минимальным разрешением, полученным путем замены особой точки деревом гладких рациональных кривых, с рисунком пересечения, двойственным диаграмме Дынкина типа особенности ADE . Они являются каноническими особенностями (или, что то же самое, рациональными особенностями Горенштейна) в размерности 2. Они были изучены Патриком дю Валем [1] [2] [3] и Феликсом Клейном .

Сингулярности Дю Валя также появляются как факторы по конечной подгруппе SL 2 ; что эквивалентно, конечной подгруппе SU(2) , которые известны как бинарные полиэдральные группы . [4] Кольца инвариантных многочленов этих конечных групповых действий были вычислены Клейном и по сути являются координатными кольцами сингулярностей; это классический результат в теории инвариантов . [5] [6] С 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} ( С ) {\displaystyle (\mathbb {C})}

Классификация

Сингулярности Дю Валя классифицируются с помощью простых ажурных диаграмм Дынкина , формы классификации ADE .

Возможные особенности Дю Валя (с точностью до аналитического изоморфизма):

  • А н : ж 2 + х 2 + у н + 1 = 0 {\displaystyle A_{n}:\quad w^{2}+x^{2}+y^{n+1}=0}
  • Д н : ж 2 + у ( х 2 + у н − 2 ) = 0 ( н ≥ 4 ) {\displaystyle D_{n}:\quad w^{2}+y(x^{2}+y^{n-2})=0\qquad (n\geq 4)}
  • Э 6 : ж 2 + х 3 + у 4 = 0 {\displaystyle E_{6}:\quad w^{2}+x^{3}+y^{4}=0}
  • Э 7 : ж 2 + х ( х 2 + у 3 ) = 0 {\displaystyle E_{7}:\quad w^{2}+x(x^{2}+y^{3})=0}
  • Э 8 : ж 2 + х 3 + у 5 = 0. {\displaystyle E_{8}:\quad w^{2}+x^{3}+y^{5}=0.}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Дю Валь, Патрик (1934a). «Об изолированных особенностях поверхностей, которые не влияют на условия присоединения, запись I». Труды Кембриджского философского общества . 30 (4): 453– 459. doi :10.1017/S030500410001269X. S2CID  251095858. Архивировано из оригинала 9 мая 2022 г.
  2. ^ Дю Валь, Патрик (1934b). «Об изолированных особенностях поверхностей, которые не влияют на условия присоединения, запись II». Труды Кембриджского философского общества . 30 (4): 460– 465. doi :10.1017/S0305004100012706. S2CID  197459819. Архивировано из оригинала 13 мая 2022 г.
  3. ^ Дю Валь, Патрик (1934c). «Об изолированных особенностях поверхностей, которые не влияют на условия присоединения, запись III». Труды Кембриджского философского общества . 30 (4): 483– 491. doi :10.1017/S030500410001272X. S2CID  251095521. Архивировано из оригинала 9 мая 2022 г.
  4. ^ Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004). Компактные сложные поверхности. Ergebnisse der Mathematik und ihre Grenzbereiche. 3. Тейл (Результаты математики и их пограничные области. 3-я часть). Том. 4. Шпрингер-Верлаг, Берлин. стр.  197–200 . ISBN. 978-3-540-00832-3. MR  2030225. OCLC  642357691. Архивировано из оригинала 2022-05-09 . Получено 2022-05-09 .
  5. ^ Артин, Майкл (1966). «Об изолированных рациональных особенностях поверхностей». American Journal of Mathematics . 88 (1): 129– 136. doi :10.2307/2373050. ISSN  0002-9327. JSTOR  2373050. MR  0199191.
  6. ^ Durfee, Alan H. (1979). "Пятнадцать характеристик рациональных двойных точек и простых критических точек". L'Enseignement mathématique . IIe Série. 25 (1). European Mathematical Society Publishing House : 131– 163. doi :10.5169/seals-50375. ISSN  0013-8584. MR  0543555. Архивировано из оригинала 2022-05-09 . Получено 2022-05-09 .
  • Рид, Майлз , Сингулярности Дю Валя An, Dn, E6, E7, E8 (PDF)
  • Бурбан, Игорь, Дю Валь Особенности (PDF)
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Du_Val_singularity&oldid=1145774025"