Гиперболические функции

В математике гиперболические функции являются аналогами обычных тригонометрических функций , но определяются с помощью гиперболы, а не окружности . Так же, как точки (cos t , sin t ) образуют окружность с единичным радиусом , точки (cosh t , sinh t ) образуют правую половину единичной гиперболы . Также, подобно тому, как производные sin( t ) и cos( t ) являются cos( t ) и –sin( t ) соответственно, производные sinh( t ) и cosh( t ) являются cosh( t ) и +sinh( t ) соответственно.

Гиперболические функции встречаются при расчетах углов и расстояний в гиперболической геометрии . Они также встречаются в решениях многих линейных дифференциальных уравнений (например, уравнения, определяющего цепную линию ), кубических уравнений и уравнения Лапласа в декартовых координатах . Уравнения Лапласа важны во многих областях физики , включая электромагнитную теорию , теплопередачу , гидродинамику и специальную теорию относительности .

Основные гиперболические функции: ^[1]

• гиперболический синус " sinh " ( / ˈ s ɪ ŋ , ˈ s ɪ n tʃ , ˈ ʃ aɪ n / ), ^[2]
• гиперболический косинус " cosh " ( / ˈ k ɒ ʃ , ˈ k oʊ ʃ / ), ^[3]

из которых получены: ^[4]

• гиперболический тангенс " tanh " ( / ˈ t æ ŋ , ˈ t æ n tʃ , ˈ θ æ n / ), ^[5]
• гиперболический котангенс " coth " ( / ˈ k ɒ θ , ˈ k oʊ θ / ), ^{[6] [7]}
• гиперболический секанс " sech " ( / ˈ s ɛ tʃ , ˈ ʃ ɛ k / ), ^[8]
• гиперболический косеканс " csch " или " cosech " ( / ˈ k oʊ s ɛ tʃ , ˈ k oʊ ʃ ɛ k / ^[3] )

соответствующие производным тригонометрическим функциям.

Обратные гиперболические функции :

• Обратный гиперболический синус « arsinh » (также обозначается как « sinh ⁻¹ », « asinh » или иногда « arcsinh ») ^{[9] [10] [11]}
• обратный гиперболический косинус « arcosh » (также обозначается как « cosh ⁻¹ », « acosh » или иногда « arccosh »)
• аркгиперболический тангенс « artanh » (также обозначается « tanh ⁻¹ », « atanh » или иногда « arctanh »)
• Обратный гиперболический котангенс « arcoth » (также обозначается « coth ⁻¹ », « acoth » или иногда « arccoth »)
• обратный гиперболический секанс « arsech » (также обозначается как « sech ⁻¹ », « asech » или иногда « arcsech »)
• обратный гиперболический косеканс « arcsch » (также обозначается как « arcosech », « csch ⁻¹ », « cosech ⁻¹ », « acsch », « acosech », или иногда « arccsch » или « arccosech »)

Гиперболические функции принимают действительный аргумент , называемый гиперболическим углом . Величина гиперболического угла — это площадь его гиперболического сектора до xy = 1. Гиперболические функции можно определить в терминах катетов прямоугольного треугольника, покрывающего этот сектор.

В комплексном анализе гиперболические функции возникают при применении обычных функций синуса и косинуса к мнимому углу. Гиперболический синус и гиперболический косинус являются целыми функциями . В результате остальные гиперболические функции мероморфны во всей комплексной плоскости.

По теореме Линдемана–Вейерштрасса гиперболические функции имеют трансцендентное значение для каждого ненулевого алгебраического значения аргумента. ^[12]

Гиперболические функции были введены в 1760-х годах независимо Винченцо Риккати и Иоганном Генрихом Ламбертом . ^[13] Риккати использовал Sc. и Cc. ( sinus/cosinus circulare ) для обозначения круговых функций и Sh. и Ch. ( sinus/cosinus hyperbolico ) для обозначения гиперболических функций. Ламберт принял эти названия, но изменил сокращения на те, которые используются сегодня. ^[14] Сокращения sh , ch , th , cth также используются в настоящее время в зависимости от личных предпочтений.

Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.

В терминах показательной функции : ^{[1] [4]}

• Гиперболический синус: нечетная часть показательной функции, то есть,$${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}= {\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}= {\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$$
• Гиперболический косинус: четная часть показательной функции, то есть,$${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$$
• Гиперболический тангенс:$${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}$$
• Гиперболический котангенс: при x ≠ 0 ,$${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}$$
• Гиперболический секанс:$${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$$
• Гиперболический косеканс: для x ≠ 0 ,$${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$$

Гиперболические функции можно определить как решения дифференциальных уравнений : Гиперболические синус и косинус являются решением ( s , c ) системы с начальными условиями. Начальные условия делают решение уникальным; без них любая пара функций была бы решением.$${\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle s(0)=0,c(0)=1.}$${\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}$

sinh( x ) и cosh( x ) также являются единственным решением уравнения f  ″( x ) = f  ( x ) , таким образом, что f  (0) = 1 , f  ′(0) = 0 для гиперболического косинуса и f  (0) = 0 , f  ′(0) = 1 для гиперболического синуса.

Гиперболические функции также могут быть выведены из тригонометрических функций с комплексными аргументами:

• Гиперболический синус: ^[1] $${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix).}$$
• Гиперболический косинус: ^[1] $${\displaystyle \cosh x=\cos(ix).}$$
• Гиперболический тангенс:$${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix).}$$
• Гиперболический котангенс:$${\displaystyle \coth x=i\cot(ix).}$$
• Гиперболический секанс:$${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix).}$$
• Гиперболический косеканс:$${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix).}$$

где i — мнимая единица с i ² = −1 .

Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через формулу Эйлера (см. § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).

Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу: ^[15]$${\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}$$

Гиперболический тангенс является (единственным) решением дифференциального уравнения f  ′ = 1 − f  ² , при этом f  (0) = 0 . ^{[16] [17]}

Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все из которых по форме похожи на тригонометрические тождества . Фактически, правило Осборна ^[18] гласит, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество (до, но не включая sinh или подразумеваемые sinh 4-й степени) для , , или и в гиперболическое тождество, полностью расширив его в терминах целых степеней синусов и косинусов, изменив синус на sinh и косинус на cosh, и поменяв знак каждого члена, содержащего произведение двух sinh.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle 3\theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

Чётные и нечётные функции:$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}$$

Следовательно:$${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$$

Таким образом, cosh x и sech x являются четными функциями ; остальные — нечетными функциями .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$$

Гиперболические синус и косинус удовлетворяют:$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}$$

последнее из которых аналогично тригонометрическому тождеству Пифагора .

У одного также есть$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}$$

для других функций.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$особенно$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}$$

Также:$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$

Также: ^[19]$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}$$

где sgn — функция знака .

Если x ≠ 0 , то ^[20]

$${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}}$$

Следующее неравенство полезно в статистике: ^[21]$${\displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}.}$$

Это можно доказать, сравнивая ряды Тейлора двух функций почленно.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

Каждая из функций sinh и cosh равна своей второй производной , то есть:$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}$$

Все функции с этим свойством являются линейными комбинациями sinh и cosh , в частности, экспоненциальные функции и . ^[22] ${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle e^{-x}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}$$

Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболической подстановки :$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$$

где C — постоянная интегрирования .

Можно явно выразить ряд Тейлора в нуле (или ряд Лорана , если функция не определена в нуле) вышеуказанных функций.

$${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$Этот ряд сходится для каждого комплексного значения x . Поскольку функция sinh x нечетна , в ее ряде Тейлора встречаются только нечетные показатели для x .

$${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$$Этот ряд сходится для каждого комплексного значения x . Поскольку функция cosh x четная , в ее ряде Тейлора встречаются только четные показатели для x .

Сумма рядов sinh и cosh является выражением бесконечного ряда показательной функции .

За следующими рядами следует описание подмножества их области сходимости , где ряд сходится и его сумма равна функции.$${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$$

где:

• ${\displaystyle B_{n}}$это n -ое число Бернулли
• ${\displaystyle E_{n}}$это n- е число Эйлера

Следующие разложения справедливы во всей комплексной плоскости:

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}$

Гиперболические функции представляют собой расширение тригонометрии за пределы круговых функций . Оба типа зависят от аргумента , либо кругового угла , либо гиперболического угла .

Так как площадь кругового сектора с радиусом r и углом u (в радианах) равна r ² u /2 , то она будет равна u при r = √ 2 . На диаграмме такая окружность касается гиперболы xy = 1 в точке (1,1). Желтый сектор изображает площадь и величину угла. Аналогично, желтая и красная области вместе изображают гиперболический сектор с площадью, соответствующей величине гиперболического угла.

Катеты двух прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче, определяющем углы, имеют длину √ 2 , умноженную на круговую и гиперболическую функции.

Гиперболический угол является инвариантной мерой относительно отображения сжатия , так же как круговой угол инвариантен относительно вращения. ^[23]

Функция Гудермана устанавливает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не включающую комплексные числа.

График функции a cosh( x / a ) представляет собой цепную линию — кривую, образованную однородной гибкой цепью, свободно висящей между двумя неподвижными точками под действием равномерной силы тяжести.

Разложение показательной функции на четную и нечетную части дает тождества и В сочетании с формулой Эйлера это дает для общей комплексной показательной функции .$${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}$$$${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}$$$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$$${\displaystyle e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)}$$

Кроме того,$${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$$

Гиперболические функции в комплексной плоскости

${\displaystyle \sinh(z)}$	${\displaystyle \cosh(z)}$	${\displaystyle \tanh(z)}$	${\displaystyle \coth(z)}$	${\displaystyle \operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

Поскольку экспоненциальная функция может быть определена для любого комплексного аргумента, мы также можем расширить определения гиперболических функций на комплексные аргументы. Функции sinh z и cosh z тогда являются голоморфными .

Соотношения с обычными тригонометрическими функциями задаются формулой Эйлера для комплексных чисел: так:$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$$

Таким образом, гиперболические функции являются периодическими относительно мнимой составляющей с периодом ( для гиперболического тангенса и котангенса).${\displaystyle 2\pi i}$${\displaystyle \pi i}$

• е (математическая константа)
• Теорема о равных вписанных окружностях , основанная на sinh
• Гиперболастические функции
• Гиперболический рост
• Обратные гиперболические функции
• Список интегралов гиперболических функций
• Спирали Пуансо
• Сигмовидная функция
• Модифицированный гиперболический тангенс Соболевой
• Тригонометрические функции

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Гиперболические функции» .

• «Гиперболические функции», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Гиперболические функции на PlanetMath
• GonioLab: Визуализация единичной окружности, тригонометрических и гиперболических функций ( Java Web Start )
• Веб-калькулятор гиперболических функций