Круговой сектор
Часть диска, ограниченная двумя радиусами и дугой
Малый сектор закрашен зеленым цветом, а большой сектор — белым.

Круговой сектор , также известный как сектор круга или сектор диска или просто сектор (символ: ⌔ ), представляет собой часть диска ( замкнутую область, ограниченную кругом), заключенную между двумя радиусами и дугой , при этом меньшая область называется малым сектором , а большая — большим сектором . [1] На диаграмме θ — центральный угол , r — радиус круга, а L — длина дуги малого сектора.

Угол, образованный соединением конечных точек дуги с любой точкой окружности, не принадлежащей сектору, равен половине центрального угла. [2]

Типы

Сектор с центральным углом 180° называется полукругом и ограничен диаметром и полукругом . Секторам с другими центральными углами иногда дают специальные названия, такие как квадранты (90°), секстанты (60°) и октанты (45°), которые происходят от того, что сектор составляет одну четвертую, шестую или восьмую часть полного круга соответственно. Дуга квадранта ( дуга окружности ) также может быть названа квадрантом.

Область

Общая площадь круга равна πr 2 . Площадь сектора можно получить, умножив площадь круга на отношение угла θ (выраженного в радианах) и 2 π (поскольку площадь сектора прямо пропорциональна его углу, а 2 π — это угол для всего круга в радианах): А = π г 2 θ 2 π = г 2 θ 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}\,{\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}

Площадь сектора в терминах L можно получить, умножив общую площадь πr 2 на отношение L к общему периметру 2 πr . А = π г 2 Л 2 π г = г Л 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}\,{\frac {L}{2\pi r}}={\frac {rL}{2}}}

Другой подход заключается в рассмотрении этой области как результата следующего интеграла: А = ∫ 0 θ ∫ 0 г г С = ∫ 0 θ ∫ 0 г г ~ г г ~ г θ ~ = ∫ 0 θ 1 2 г 2 г θ ~ = г 2 θ 2 {\displaystyle A=\int _{0}^{\theta}\int _{0}^{r}dS=\int _{0}^{\theta}\int _{0}^{r}{\tilde {r}}\,d{\tilde {r}}\,d{\tilde {\theta }}=\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d{\tilde {\theta }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}

Преобразование центрального угла в градусы дает [3] А = π г 2 θ ∘ 360 ∘ {\displaystyle A=\pi r^{2}{\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}}

Периметр

Длина периметра сектора равна сумме длины дуги и двух радиусов: где θ измеряется в радианах. П = Л + 2 г = θ г + 2 г = г ( θ + 2 ) {\displaystyle P=L+2r=\theta r+2r=r(\theta +2)}

Длина дуги

Формула для длины дуги выглядит следующим образом: [4] где L представляет собой длину дуги, r представляет собой радиус окружности, а θ представляет собой угол в радианах, образованный дугой в центре окружности. [5] Л = г θ {\displaystyle L=r\тета }

Если значение угла задано в градусах, то мы также можем использовать следующую формулу: [6] Л = 2 π г θ 360 {\displaystyle L=2\pi r{\frac {\theta }{360}}}

Длина хорды

Длина хорды, образованной крайними точками дуги, определяется по формуле, где C представляет собой длину хорды, R представляет собой радиус окружности, а θ представляет собой угловую ширину сектора в радианах. С = 2 Р грех ⁡ θ 2 {\displaystyle C=2R\sin {\frac {\theta}{2}}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Деван, Раджеш К. (2016). Сарасвати Математика. Нью-Дели: New Saraswati House India Pvt Ltd. стр. 234. ISBN 978-8173358371.
  2. ^ Ахац, Томас; Андерсон, Джон Г. (2005). Техническая цеховая математика. Кэтлин Маккензи (3-е изд.). Нью-Йорк: Industrial Press. стр. 376. ISBN 978-0831130862. OCLC  56559272.
  3. ^ Uppal, Shveta (2019). Математика: Учебник для X класса . Нью-Дели : Национальный совет по исследованиям и подготовке в области образования . С. 226, 227. ISBN 978-81-7450-634-4. OCLC  1145113954.
  4. ^ Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2002). Исчисление I с предисчислением (3-е изд.). Бостон, Массачусетс: Brooks/Cole . стр. 570. ISBN 978-0-8400-6833-0. OCLC  706621772.
  5. ^ Уикс, Алан (2004). Стандартный уровень математики для международного бакалавриата: текст для новой программы. West Conshohocken, PA : Infinity Publishing.com. стр. 79. ISBN 0-7414-2141-0. OCLC  58869667.
  6. ^ Уппал (2019).

Источники

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Circular_sector&oldid=1267995383"