Додекаэдрические соты 4-го порядка

Додекаэдрические соты 4-го порядка
Тип	Гиперболические регулярные соты Однородные гиперболические соты
Символ Шлефли	{5,3,4} {5,3 1,1 }
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	{5,3} ( додекаэдр )
Лица	{5} ( пятиугольник )
Крайняя фигура	{4} ( квадрат )
Вершинная фигура	октаэдр
Двойной	Заказ-5 кубических сот
Группа Коксетера	BH 3 , [4,3,5] DH 3 , [5,3 1,1 ]
Характеристики	Регулярные, квазирегулярные соты

В гиперболической геометрии додекаэдрические соты порядка 4 являются одними из четырех компактных правильных заполняющих пространство мозаик (или сот ) гиперболического 3-мерного пространства . С символом Шлефли {5,3,4} они имеют четыре додекаэдра вокруг каждого ребра и 8 додекаэдров вокруг каждой вершины в октаэдрическом расположении. Их вершины построены из 3 ортогональных осей. Их двойственными являются кубические соты порядка 5 .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными или более многомерными ячейками , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Двугранный угол правильного додекаэдра составляет ~116,6°, поэтому невозможно разместить 4 из них на ребре в евклидовом 3-пространстве. Однако в гиперболическом пространстве правильно масштабированный правильный додекаэдр можно масштабировать так, чтобы его двугранные углы уменьшились до 90 градусов, и тогда четыре из них точно поместятся на каждом ребре.

Он имеет половинную симметричную конструкцию {5,3 ^1,1 } с двумя типами (цветами) додекаэдров в конструкции Витхоффа .↔.

Вид додекаэдрической соты четвертого порядка в модели Бельтрами-Клейна

В трехмерном гиперболическом пространстве имеется четыре правильных компактных соты:

Четыре правильные компактные соты в H ³

{5,3,4}

{4,3,5}

{3,5,3}

{5,3,5}

В семействе групп Коксетера [5,3,4] имеется пятнадцать однородных сот , включая эту правильную форму.

[5,3,4] семейные соты

{5,3,4}	г{5,3,4}	т{5,3,4}	рр{5,3,4}	т 0,3 {5,3,4}	тр{5,3,4}	т 0,1,3 {5,3,4}	т 0,1,2,3 {5,3,4}
{4,3,5}	г{4,3,5}	т{4,3,5}	рр{4,3,5}	2т{4,3,5}	тр{4,3,5}	т 0,1,3 {4,3,5}	т 0,1,2,3 {4,3,5}

В бифуркационном семействе групп Коксетера [5,3 ^1,1 ] имеется одиннадцать однородных сот , включая эти соты в их чередующейся форме. Эта конструкция может быть представлена ​​чередованием (шахматной доской) с двумя цветами додекаэдрических ячеек.

Эти соты также связаны с 16-ячеечными , кубическими сотами и шестиугольными сотами четвертого порядка, все из которых имеют октаэдрические вершинные фигуры:

{p,3,4} обычные соты
Космос	С 3	Е 3	Н 3
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Эти соты являются частью последовательности полихор и сот с додекаэдрическими ячейками:

{5,3,п}

Космос	С 3	Н 3
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпактный	Некомпактный
Имя	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
Изображение
Вершинная фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Выпрямленные додекаэдрические соты 4-го порядка
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	г{5,3,4} г{5,3 1,1 }
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	г{5,3} {3,4}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	квадратная призма
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5] , [5,3 1,1 ] ${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 4 ,, имеет чередующиеся ячейки октаэдра и икосододекаэдра , с вершинной фигурой в виде квадратной призмы .

Существует четыре вида ректифицированных компактных регулярных сот:

Четыре ректифицированных регулярных компактных сот в H ³

Изображение
Символы	г{5,3,4}	г{4,3,5}	г{3,5,3}	г{5,3,5}
Вершинная фигура

Усеченные додекаэдрические соты 4-го порядка
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т{5,3,4} т{5,3 1,1 }
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	т{5,3} {3,4}
Лица	треугольник {3} декагон {10}
Вершинная фигура	квадратная пирамида
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5] , [5,3 1,1 ] ${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты порядка 4 ,, имеет ячейки октаэдра и усеченного додекаэдра , с вершинной фигурой в виде квадратной пирамиды .

Его можно рассматривать как аналог двумерной гиперболической усеченной пятиугольной мозаики порядка 4 , t{5,4} с усеченными пятиугольниками и квадратными гранями:

Четыре усеченных правильных компактных соты в H ³

Изображение
Символы	т{5,3,4}	т{4,3,5}	т{3,5,3}	т{5,3,5}
Вершинная фигура

Битусечённые додекаэдрические соты порядка 4 Битусечённые кубические соты порядка 5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	2т{5,3,4} 2т{5,3 1,1 }
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	т{3,5} т{3,4}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Вершинная фигура	двуугольный двуклиновидный
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5] , [5,3 1,1 ] ${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты порядка 4 или усеченные кубические соты порядка 5 ,, имеет ячейки в форме усеченного октаэдра и усеченного икосаэдра , с двуугольной двуклиновидной вершинной фигурой .

Три усеченных компактных сота в H ³

Изображение
Символы	2т{4,3,5}	2т{3,5,3}	2т{5,3,5}
Вершинная фигура

Додекаэдрические соты с кантеллированным порядком 4
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	рр{5,3,4} рр{5,3 1,1 }
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	рр{3,5} г{3,4} {}x{4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	клин
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5] , [5,3 1,1 ] ${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Скошенные додекаэдрические соты порядка 4 ,, имеет ячейки ромбоикосододекаэдра , кубооктаэдра и куба с клиновидной вершиной .

Четыре регулярных компактных сота с кантеллированными ячейками в H 3
Изображение Символы рр{5,3,4} рр{4,3,5} рр{3,5,3} рр{5,3,5} Вершинная фигура

Кантиусечённые додекаэдрические соты порядка 4
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	тр{5,3,4} тр{5,3 1,1 }
Диаграмма Коксетера	↔
Клетки	тр{3,5} т{3,4} {}x{4}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	зеркальный клиновидный
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5] , [5,3 1,1 ] ${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты порядка 4 ,, имеет ячейки усеченного икосододекаэдра , усеченного октаэдра и куба , с зеркально отраженной клиновидной вершиной .

Четыре усеченных регулярных компактных сотовых ячейки в H ³

Изображение
Символы	тр{5,3,4}	тр{4,3,5}	тр{3,5,3}	тр{5,3,5}
Вершинная фигура

Додекаэдрические соты 4-го порядка рунцинатного типа идентичны кубическим сотам рунцинатного типа 5-го порядка рунцинатного типа .

Усеченные додекаэдрические соты четвертого порядка
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т 0,1,3 {5,3,4}
Диаграмма Коксетера
Клетки	т{5,3} рр{3,4} {}x{10} {}x{4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$, [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты четвертого порядка ,, имеет ячейки усеченного додекаэдра , ромбокубооктаэдра , десятиугольной призмы и куба , с вершинной фигурой в виде равнобедренной трапециевидной пирамиды .

Четыре усеченных регулярных компактных сотовых ячейки в H 3
Изображение Символы т0,1,3{5,3,4} т 0,1,3 {4,3,5} т 0,1,3 {3,5,3} т 0,1,3 {5,3,5} Вершинная фигура

Ранцикантеллированные додекаэдрические соты порядка 4 идентичны ранцикантеллированным кубическим сотам порядка 5 .

Усеченные додекаэдрические соты четвертого порядка идентичны усеченным кубическим сотам пятого порядка .

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
• Сфера гомологии Пуанкаре Додекаэдрическое пространство Пуанкаре
• Пространство Зейферта–Вебера Додекаэдрическое пространство Зейферта–Вебера

• Коксетер , Правильные многогранники , 3-е изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Коксетер , Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, стр. 212-213) 
• Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Главы 16–17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II) 
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись
  • NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • NW Johnson: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Коксетера