Ходж-звезда оператор

В математике оператор звезды Ходжа или звезда Ходжа — это линейное отображение, определенное на внешней алгебре конечномерного ориентированного векторного пространства, наделенного невырожденной симметричной билинейной формой . Применение оператора к элементу алгебры дает двойственное по Ходжу отображение элемента. Это отображение было введено WVD Hodge .

Например, в ориентированном 3-мерном евклидовом пространстве ориентированная плоскость может быть представлена ​​внешним произведением двух базисных векторов, а ее двойственный по Ходжу вектор — это нормальный вектор, заданный их перекрестным произведением ; наоборот, любой вектор двойственен ориентированной плоскости, перпендикулярной ему, снабженной подходящим бивектором. Обобщая это на n -мерное векторное пространство, звезда Ходжа является взаимно-однозначным отображением k -векторов в ( n – k ) -векторы; размерности этих пространств — это биномиальные коэффициенты .${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{nk}}}$

Естественность оператора звезды означает, что он может играть роль в дифференциальной геометрии, когда применяется к кокасательному расслоению псевдориманова многообразия , и, следовательно, к дифференциальным k -формам . Это позволяет определить кодифференциал как сопряженный по Ходжу оператор внешней производной , что приводит к оператору Лапласа–де Рама . Это обобщает случай трехмерного евклидова пространства, в котором дивергенция векторного поля может быть реализована как кодифференциал, противоположный оператору градиента , а оператор Лапласа на функции является дивергенцией ее градиента. Важным приложением является разложение Ходжа дифференциальных форм на замкнутом римановом многообразии.

Пусть V будет n -мерным ориентированным векторным пространством с невырожденной симметричной билинейной формой , называемой здесь скалярным произведением. (В более общих контекстах, таких как псевдоримановы многообразия и пространство Минковского , билинейная форма может быть неположительной.) Это индуцирует скалярное произведение на k -векторах , для , определяя его на разложимых k -векторах и равняясь определителю Грама ^{[1] : 14}${\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle}$ ${\textstyle \альфа ,\бета \в \bigwedge ^{\!k}V}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle \альфа =\альфа _{1}\клин \cdots \клин \альфа _{k}}$${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$

${\displaystyle \langle \alpha,\beta \rangle =\det \left(\left\langle \alpha _{i},\beta _{j}\right\rangle _{i,j=1}^{k }\верно)}$

расширено до сквозной линейности.${\textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$

Единичный n -вектор определяется в терминах ориентированного ортонормированного базиса V как :${\displaystyle \omega \in {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle \omega :=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}.}$

(Примечание: В общем псевдоримановом случае ортонормированность означает для всех пар базисных векторов.) Оператор звезды Ходжа является линейным оператором на внешней алгебре V , отображающим k -векторы в ( n – k )-векторы, для . Он обладает следующим свойством, которое полностью его определяет: ^{[1] : 15}${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle \in \{\delta _{ij},-\delta _{ij}\}}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle \alpha \wedge ({\star}\beta)=\langle \alpha,\beta \rangle \,\omega}$ для всех k -векторов${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.}$

Дуально, в пространстве n -форм (переменных n -мультилинейных функций на ), дуальной к является объемная форма , функция, значение которой на является определителем матрицы , собранной из векторов-столбцов in -координат. Применяя к приведенному выше уравнению, получаем дуальное определение:${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V^{*}}$${\displaystyle V^{n}}$${\displaystyle \омега}$ ${\displaystyle \det}$${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle \det}$

${\displaystyle \det(\alpha \wedge {\star}\beta)=\langle \alpha,\beta \rangle}$для всех k -векторов${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.}$

Эквивалентно, принимая , , и :${\displaystyle \альфа =\альфа _{1}\клин \cdots \клин \альфа _{k}}$${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$${\displaystyle \star \beta =\beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }}$

${\displaystyle \det \left(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }\right)\ =\ \det \left(\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle \right).}$

Это означает, что, записывая ортонормированный базис k -векторов как по всем подмножествам , двойственный по Ходжу вектор представляет собой ( n – k )-вектор, соответствующий дополнительному набору :${\displaystyle e_{I}\ =\ e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$${\displaystyle I=\{i_{1}<\cdots <i_{k}\}}$${\displaystyle [n]=\{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle {\bar {I}}=[n]\setminus I=\left\{{\bar {i}}_{1}<\cdots <{\bar {i}}_{n-k}\right\}}$

${\displaystyle {\star }e_{I}=s\cdot t\cdot e_{\bar {I}},}$

где — знак перестановки , а — произведение . В римановом случае .${\displaystyle s\in \{1,-1\}}$${\displaystyle i_{1}\cdots i_{k}{\bar {i}}_{1}\cdots {\bar {i}}_{n-k}}$${\displaystyle t\in \{1,-1\}}$${\displaystyle \langle e_{i_{1}},e_{i_{1}}\rangle \cdots \langle e_{i_{k}},e_{i_{k}}\rangle }$${\displaystyle t=1}$

Поскольку звезда Ходжа переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис, она является изометрией на внешней алгебре .${\textstyle \bigwedge V}$

Звезда Ходжа мотивирована соответствием между подпространством W пространства V и его ортогональным подпространством (относительно скалярного произведения), где каждое пространство наделено ориентацией и числовым масштабным коэффициентом. В частности, ненулевой разложимый k -вектор соответствует вложению Плюккера подпространству с ориентированным базисом , наделенным масштабным коэффициентом, равным k -мерному объему параллелепипеда, натянутого на этот базис (равному грамиану , определителю матрицы скалярных произведений ). Звезда Ходжа, действующая на разложимый вектор, может быть записана как разложимый ( n − k )-вектор:${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in \textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k}}$${\displaystyle \langle w_{i},w_{j}\rangle }$

${\displaystyle \star (w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k})\,=\,u_{1}\wedge \cdots \wedge u_{n-k},}$

где образуют ориентированный базис ортогонального пространства . Кроме того, ( n − k )-объем -параллелепипеда должен быть равен k -объему -параллелепипеда и должен образовывать ориентированный базис .${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$ ${\displaystyle U=W^{\perp }\!}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$${\displaystyle V}$

Общий k -вектор представляет собой линейную комбинацию разложимых k -векторов, а определение звезды Ходжа распространяется на общие k- векторы, определяя ее как линейную.

В двух измерениях с нормализованной евклидовой метрикой и ориентацией, заданной порядком ( x , y ) , звезда Ходжа на k -формах задается выражением$${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,1&=dx\wedge dy\\{\star }\,dx&=dy\\{\star }\,dy&=-dx\\{\star }(dx\wedge dy)&=1.\end{aligned}}}$$

На комплексной плоскости, рассматриваемой как действительное векторное пространство со стандартной полуторалинейной формой в качестве метрики, звезда Ходжа обладает замечательным свойством, заключающимся в том, что она инвариантна относительно голоморфных изменений координат. Если z = x + iy является голоморфной функцией w = u + iv , то по уравнениям Коши–Римана мы имеем, что ⁠∂ х/∂ у⁠ = ⁠∂ у/∂ v⁠ и ⁠∂ у/∂ у⁠ = − ⁠∂ х/∂ v⁠ . В новых координатах , что доказывает заявленную инвариантность.$${\displaystyle \alpha \ =\ p\,dx+q\,dy\ =\ \left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)\,du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)\,dv\ =\ p_{1}\,du+q_{1}\,dv,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\alpha &=-q_{1}\,du+p_{1}\,dv\\[4pt]&=-\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)dv\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial y}{\partial v}}du-{\frac {\partial y}{\partial u}}dv\right)+p\left(-{\frac {\partial x}{\partial v}}du+{\frac {\partial x}{\partial u}}dv\right)\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right)+p\left({\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right)\\[4pt]&=-q\,dx+p\,dy,\end{aligned}}}$$

Распространенным примером оператора звезды Ходжа является случай n = 3 , когда его можно рассматривать как соответствие между векторами и бивекторами. В частности, для евклидового R ³ с базисом из 1-форм, часто используемых в векторном исчислении , можно обнаружить, что${\displaystyle dx,dy,dz}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,dx&=dy\wedge dz\\{\star }\,dy&=dz\wedge dx\\{\star }\,dz&=dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

Звезда Ходжа связывает внешнее и векторное произведение в трех измерениях: ^[2] Применительно к трем измерениям звезда Ходжа обеспечивает изоморфизм между аксиальными векторами и бивекторами , так что каждый аксиальный вектор a связан с бивектором A и наоборот, то есть: ^[2] .$${\displaystyle {\star }(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} \qquad {\star }(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} ,\ \ \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A} }$

Звезду Ходжа можно также интерпретировать как форму геометрического соответствия между осью вращения и бесконечно малым вращением (см. также: Группа 3D-вращений#Алгебра Ли ) вокруг оси со скоростью, равной длине оси вращения. Скалярное произведение на векторном пространстве дает изоморфизм, отождествляющий его с дуальным пространством , а векторное пространство естественным образом изоморфно тензорному произведению . Таким образом , для отображение звезды переводит каждый вектор в бивектор , что соответствует линейному оператору . В частности, является кососимметричным оператором, что соответствует бесконечно малому вращению: то есть макроскопические вращения вокруг оси задаются матричной экспонентой . Относительно базиса тензор соответствует координатной матрице с 1 в строке и столбце и т.д., а клин — кососимметричной матрице и т.д. То есть мы можем интерпретировать оператор звезды как: При таком соответствии векторное произведение векторов соответствует коммутаторной скобке Ли линейных операторов: .${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\cong V^{*}\!}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L(V,V)}$ ${\displaystyle V^{*}\!\!\otimes V\cong V\otimes V}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$${\textstyle \textstyle \star \colon V\to \bigwedge ^{\!2}\!V\subset V\otimes V}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \star \mathbf {v} \in V\otimes V}$${\displaystyle L_{\mathbf {v} }\colon V\to V}$${\displaystyle L_{\mathbf {v} }}$${\displaystyle \mathbb {v} }$ ${\displaystyle \exp(tL_{\mathbf {v} })}$${\displaystyle dx,dy,dz}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle dx\otimes dy}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dx\wedge dy\,=\,dx\otimes dy-dy\otimes dx}$${\displaystyle \scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array}}\!\!\!\right]}$$${\displaystyle \mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad \star {\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].}$$${\displaystyle L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }-L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }=-\left[L_{\mathbf {u} },L_{\mathbf {v} }\right]}$

В случае звезда Ходжа действует как эндоморфизм второй внешней степени (т.е. отображает 2-формы в 2-формы, так как 4 − 2 = 2 ). Если сигнатура метрического тензора полностью положительна, т.е. на римановом многообразии , то звезда Ходжа является инволюцией . Если сигнатура смешанная, т.е. псевдориманова , то применение оператора дважды вернет аргумент с точностью до знака – см. § Двойственность ниже. Это особое свойство эндоморфизма 2-форм в четырех измерениях делает самодуальные и антисамодуальные 2-формы естественными геометрическими объектами для изучения. То есть, можно описать пространство 2-форм в четырех измерениях с помощью базиса, который «диагонализирует» оператор звезды Ходжа с собственными значениями (или , в зависимости от сигнатуры).${\displaystyle n=4}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm i}$

Для конкретности мы обсудим оператор звезды Ходжа в пространстве-времени Минковского, где с метрической сигнатурой (− + + +) и координатами . Объемная форма ориентирована как . Для одномерных форм , в то время как для двумерных форм ,${\displaystyle n=4}$${\displaystyle (t,x,y,z)}$${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\star dt&=-dx\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dx&=-dt\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dy&=-dt\wedge dz\wedge dx\,,\\\star dz&=-dt\wedge dx\wedge dy\,,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dt\wedge dx)&=-dy\wedge dz\,,\\\star (dt\wedge dy)&=-dz\wedge dx\,,\\\star (dt\wedge dz)&=-dx\wedge dy\,,\\\star (dx\wedge dy)&=dt\wedge dz\,,\\\star (dz\wedge dx)&=dt\wedge dy\,,\\\star (dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\,.\end{aligned}}}$$

Они суммированы в индексной нотации как$${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dx^{\mu })&=\eta ^{\mu \lambda }\varepsilon _{\lambda \nu \rho \sigma }{\frac {1}{3!}}dx^{\nu }\wedge dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,,\\\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })&=\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }\varepsilon _{\kappa \lambda \rho \sigma }{\frac {1}{2!}}dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,.\end{aligned}}}$$

Двойственный по Ходжу трех- и четырехформ может быть легко выведен из того факта, что в лоренцевской сигнатуре для форм нечетного ранга и для форм четного ранга. Простое правило для запоминания этих операций Ходжа заключается в том, что для данной формы ее двойственный по Ходжу может быть получен путем записи компонентов, не участвующих в, в таком порядке, что . ^{[ требуется проверка ]} Дополнительный знак минус будет введен только в том случае, если содержит . (Для (+ − − −) знак минус вводится только в том случае, если включает нечетное число пространственно-ассоциированных форм , и .)${\displaystyle (\star )^{2}=1}$${\displaystyle (\star )^{2}=-1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\star }\alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha \wedge (\star \alpha )=dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dt}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dz}$

Обратите внимание, что комбинации принимают в качестве собственного значения для оператора звезды Ходжа, т.е., и, следовательно, заслуживают названия самодуальных и антисамодуальных двухформ. Понимание геометрии или кинематики пространства-времени Минковского в самодуальных и антисамодуальных секторах оказывается проницательным как с математической, так и с физической точки зрения, устанавливая связи с использованием двухспинорного языка в современной физике, такой как формализм спинорной спиральности или теория твисторов .$${\displaystyle (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }:={\frac {1}{2}}{\big (}dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\mp i\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }){\big )}}$$${\displaystyle \pm i}$$${\displaystyle \star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }=\pm i(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm },}$$

Звезда Ходжа конформно инвариантна на n формах в 2n-мерном векторном пространстве V, т.е. если — метрика на и , то индуцированные звезды Ходжа одинаковы. ${\displaystyle g}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda >0}$$${\displaystyle \star _{g},\star _{\lambda g}\colon \Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}V}$$

Комбинация оператора и внешней производной d порождает классические операторы grad , curl и div на векторных полях в трехмерном евклидовом пространстве. Это работает следующим образом: d переводит 0-форму (функцию) в 1-форму, 1-форму в 2-форму и 2-форму в 3-форму (и переводит 3-форму в ноль). Для 0-формы первый случай, записанный в компонентах, дает:${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle f=f(x,y,z)}$$${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz.}$$

Внутренний продукт идентифицирует 1-формы с векторными полями как и т.д., так что это становится .${\displaystyle dx\mapsto (1,0,0)}$${\displaystyle df}$${\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}$

Во втором случае векторному полю соответствует 1-форма , имеющая внешнюю производную:${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$$${\displaystyle d\varphi =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial C}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial z}}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.}$$

Применение звезды Ходжа дает 1-форму: которая становится векторным полем .$${\displaystyle \star d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz,}$$${\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}},\,-{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial A}{\partial z}},\,{\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)}$

В третьем случае снова соответствует . Применяем звезду Ходжа, внешнюю производную и звезду Ходжа снова:${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\star \varphi &=A\,dy\wedge dz-B\,dx\wedge dz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz,\\\star d{\star \varphi }&={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{aligned}}}$$

Одним из преимуществ этого выражения является то, что тождество d ² = 0 , которое верно во всех случаях, имеет в качестве частных случаев два других тождества: 1) rot grad f = 0 и 2) div rot F = 0 . В частности, уравнения Максвелла принимают особенно простую и элегантную форму, когда выражаются через внешнюю производную и звезду Ходжа. Выражение (умноженное на соответствующую степень -1) называется кодифференциалом ; оно определяется в полной общности для любого измерения далее в статье ниже.${\displaystyle \star d\star }$

Можно также получить лапласиан Δ f  = div grad  f в терминах вышеуказанных операций:$${\displaystyle \Delta f=\star d{\star df}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

Лапласиан также можно рассматривать как частный случай более общего оператора Лапласа–деРама, где — кодифференциал для -форм. Любая функция является 0-формой, и поэтому это сводится к обычному лапласиану. Для 1-формы выше кодифференциал равен и после некоторых простых вычислений получается лапласиан, действующий на .${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$${\displaystyle \delta =(-1)^{k}\star d\star }$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta f=0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \delta =-\star d\star }$${\displaystyle \varphi }$

Применение звезды Ходжа дважды оставляет k -вектор неизменным, за исключением, возможно, его знака: в n -мерном пространстве V имеем${\displaystyle \eta \in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$

${\displaystyle {\star }{\star }\eta =(-1)^{k(n-k)}s\,\eta ,}$

где s — четность сигнатуры скалярного произведения на V , то есть знак определителя матрицы скалярного произведения относительно любого базиса. Например, если n = 4 и сигнатура скалярного произведения равна (+ − − −) или (− + + +) , то s = −1 . Для римановых многообразий (включая евклидовы пространства) мы всегда имеем s = 1 .

Вышеуказанное тождество подразумевает, что обратное может быть задано как${\displaystyle \star }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }^{-1}:~{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V&\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}V\\\eta &\mapsto (-1)^{k(n-k)}\!s\,{\star }\eta \end{aligned}}}$

Если n нечетно, то k ( n − k ) четно для любого k , тогда как если n четно, то k ( n − k ) имеет четность k . Следовательно:

${\displaystyle {\star }^{-1}={\begin{cases}s\,{\star }&n{\text{ is odd}}\\(-1)^{k}s\,{\star }&n{\text{ is even}}\end{cases}}}$

где k — степень действующей величины.

Для n -мерного ориентированного псевдориманова многообразия M мы применяем конструкцию выше к каждому кокасательному пространству и его внешним степеням , и, следовательно, к дифференциальным k -формам , глобальным сечениям расслоения . Риманова метрика индуцирует скалярное произведение на в каждой точке . Мы определяем двойственную по Ходжу k -форму , определяя как единственную ( n – k )-форму, удовлетворяющую для каждой k -формы , где — вещественнозначная функция на , а форма объема индуцируется псевдоримановой метрикой. Интегрируя это уравнение по , правая часть становится ( квадратно интегрируемым ) скалярным произведением на k -формах , и мы получаем:${\displaystyle {\text{T}}_{p}^{*}M}$${\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$ ${\textstyle \zeta \in \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge ^{k}{\text{T}}^{*}\!M\right)}$ ${\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}\!M\to M}$${\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle {\star }\zeta }$$${\displaystyle \eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \eta ,\zeta \rangle \,\omega }$$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \langle \eta ,\zeta \rangle }$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle \int _{M}\eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \int _{M}\langle \eta ,\zeta \rangle \ \omega .}$$

В более общем случае, если является неориентируемым, можно определить звезду Ходжа k -формы как ( n – k ) -псевдодифференциальную форму ; то есть дифференциальную форму со значениями в каноническом линейном расслоении .${\displaystyle M}$

Мы вычисляем в терминах индексной записи тензора относительно (не обязательно ортонормированного) базиса в касательном пространстве и его дуального базиса в , имея метрическую матрицу и ее обратную матрицу . Двойственная по Ходжу разложимая k -форма имеет вид:${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$${\displaystyle V=T_{p}M}$${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$${\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )}$$${\displaystyle \star \left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}{(n-k)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.}$$

Вот символ Леви-Чивиты с , и мы неявно берем сумму по всем значениям повторяющихся индексов . Факториал учитывает двойной счет и отсутствует, если индексы суммирования ограничены так, что . Абсолютное значение определителя необходимо, поскольку оно может быть отрицательным, как для касательных пространств к лоренцевским многообразиям .${\displaystyle \varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}$${\displaystyle \varepsilon _{1\dots n}=1}$${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{n}}$${\displaystyle (n-k)!}$${\displaystyle j_{k+1}<\dots <j_{n}}$

Произвольную дифференциальную форму можно записать следующим образом:$${\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.}$$

Факториал снова включен для учета двойного счета, когда мы допускаем невозрастающие индексы. Мы хотели бы определить двойственный компонент так, чтобы двойственный Ходжа формы был задан как${\displaystyle k!}$${\displaystyle \alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$$${\displaystyle \star \alpha ={\frac {1}{(n-k)!}}(\star \alpha )_{i_{k+1},\dots ,i_{n}}dx^{i_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.}$$

Используя приведенное выше выражение для двойственного по Ходжу числа , находим: ^[3]${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}}$$${\displaystyle (\star \alpha )_{j_{k+1},\dots ,j_{n}}={\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}\,g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\,\varepsilon _{j_{1},\dots ,j_{n}}\,.}$$

Хотя это выражение можно применить к любому тензору , результат антисимметричен, поскольку свертывание с полностью антисимметричным символом Леви-Чивиты отменяет все, кроме полностью антисимметричной части тензора. Таким образом, это эквивалентно антисимметризации с последующим применением звезды Ходжа.${\displaystyle \alpha }$

Форма единицы объема определяется по формуле:${\textstyle \omega =\star 1\in \bigwedge ^{n}V^{*}}$$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$$

Наиболее важным применением звезды Ходжа на многообразиях является определение кодифференциала на -формах. Пусть где - внешняя производная или дифференциал, а для римановых многообразий. Тогда пока${\displaystyle \delta }$${\displaystyle k}$$${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k+1)+1}s\ {\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d\,{\star }}$$${\displaystyle d}$${\displaystyle s=1}$$${\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$$$${\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M).}$$

Кодифференциал не является антивыводом на внешней алгебре, в отличие от внешней производной.

Кодифференциал является сопряженным к внешней производной относительно квадратично интегрируемого внутреннего произведения: где -форма и -форма . Это свойство полезно, поскольку его можно использовать для определения кодифференциала, даже когда многообразие неориентируемо (и оператор звезды Ходжа не определен). Тождество может быть доказано из теоремы Стокса для гладких форм: при условии, что имеет пустую границу, или или имеет нулевые граничные значения. (Правильное определение вышеизложенного требует указания топологического векторного пространства , которое замкнуто и полно на пространстве гладких форм. Традиционно используется пространство Соболева ; оно позволяет заменить сходящуюся последовательность форм (как ) на объединенные дифференциальные и интегральные операции, так что и аналогично для последовательностей, сходящихся к .)$${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle \ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle ,}$$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle (k\!-\!1)}$$${\displaystyle 0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta )\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta +(-1)^{k-1}\eta \wedge {\star }\,{\star }^{-1}d\,{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \star \zeta }$${\displaystyle \zeta _{i}\to \zeta }$${\displaystyle i\to \infty }$${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta _{i}\rangle \!\rangle \to \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle }$${\displaystyle \eta }$

Поскольку дифференциал удовлетворяет , то кодифференциал обладает соответствующим свойством${\displaystyle d^{2}=0}$$${\displaystyle \delta ^{2}=(-1)^{n}s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{nk+k+1}s^{3}{\star }d^{2}{\star }=0.}$$

Оператор Лапласа–деРама задается и лежит в основе теории Ходжа . Он симметричен: и неотрицателен:$${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta }$$$${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \zeta ,\eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle \!\rangle }$$$${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \eta ,\eta \rangle \!\rangle \geq 0.}$$

Звезда Ходжа переводит гармонические формы в гармонические формы. Как следствие теории Ходжа , когомологии де Рама естественно изоморфны пространству гармонических k -форм, ^и поэтому звезда Ходжа индуцирует изоморфизм групп когомологий , который в свою очередь дает канонические идентификации посредством двойственности Пуанкаре H k ( M ) с его двойственным пространством .$${\displaystyle {\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),}$$

В координатах, с обозначениями, как указано выше, кодифференциал формы можно записать как, где здесь обозначаются символы Кристоффеля .${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \delta \alpha =\ -{\frac {1}{k!}}g^{ml}\left({\frac {\partial }{\partial x_{l}}}\alpha _{m,i_{1},\dots ,i_{k-1}}-\Gamma _{ml}^{j}\alpha _{j,i_{1},\dots ,i_{k-1}}\right)dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k-1}},}$$${\displaystyle \Gamma _{ml}^{j}}$${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$

По аналогии с леммой Пуанкаре для внешней производной можно определить ее версию для кодифференциала, которая гласит ^[4]

Если для , где — звездная область на многообразии, то существует такое, что .${\displaystyle \delta \omega =0}$ ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha \in \Lambda ^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle \omega =\delta \alpha }$

Практический способ нахождения — использовать оператор когомотопии , который является локальным обратным оператору . Нужно определить оператор гомотопии ^[4]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle H\beta =\int _{0}^{1}{\mathcal {K}}\lrcorner \beta |_{F(t,x)}t^{k}dt,}$

где — линейная гомотопия между его центром и точкой , а (эйлеров) вектор для вставляется в форму . Затем мы можем определить оператор когомотопии как ^[4]${\displaystyle F(t,x)=x_{0}+t(x-x_{0})}$${\displaystyle x_{0}\in U}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle {\mathcal {K}}=\sum _{i=1}^{n}(x-x_{0})^{i}\partial _{x^{i}}}$${\displaystyle n=\dim(U)}$${\displaystyle \beta \in \Lambda ^{*}(U)}$

${\displaystyle h:\Lambda (U)\rightarrow \Lambda (U),\quad h:=\eta \star ^{-1}H\star }$,

где для .${\displaystyle \eta \beta =(-1)^{k}\beta }$${\displaystyle \beta \in \Lambda ^{k}(U)}$

Оператор когомотопии удовлетворяет формуле (ко)гомотопической инвариантности ^[4]

${\displaystyle \delta h+h\delta =I-S_{x_{0}}}$,

где , а — обратный ход вдоль постоянного отображения .${\displaystyle S_{x_{0}}=\star ^{-1}s_{x_{0}}^{*}\star }$${\displaystyle s_{x_{0}}^{*}}$${\displaystyle s_{x_{0}}:x\rightarrow x_{0}}$

Поэтому, если мы хотим решить уравнение , применяя формулу когомотопической инвариантности, мы получаем${\displaystyle \delta \omega =0}$

${\displaystyle \omega =\delta h\omega +S_{x_{0}}\omega ,}$где — дифференциальная форма, которую мы ищем, а «константа интегрирования» обращается в нуль, если только не является высшей формой.${\displaystyle h\omega \in \Lambda ^{k+1}(U)}$${\displaystyle S_{x_{0}}\omega }$${\displaystyle \omega }$

Оператор когомотопии обладает следующими свойствами: ^[4] . Они позволяют использовать его для определения ^[4] антикоточных форм на , которые вместе с точными формами образуют разложение в прямую сумму ^[4]${\displaystyle h^{2}=0,\quad \delta h\delta =\delta ,\quad h\delta h=h}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}(U)=\{\omega \in \Lambda (U)|\omega =h\delta \omega \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(U)=\{\omega \in \Lambda (U)|\omega =\delta h\omega \}}$

${\displaystyle \Lambda (U)={\mathcal {C}}(U)\oplus {\mathcal {Y}}(U)}$.

Эта прямая сумма — еще один способ сказать, что формула инвариантности когомотопии является разложением единицы, а операторы проектирования на слагаемых удовлетворяют формулам идемпотентности : ^[4] .${\displaystyle (h\delta )^{2}=h\delta ,\quad (\delta h)^{2}=\delta h}$

Эти результаты являются расширением аналогичных результатов для внешней производной. ^[5]