Двенадцатая проблема Гильберта

Двенадцатая проблема Гильберта — это расширение теоремы Кронекера–Вебера об абелевых расширениях рациональных чисел на любое поле с базовыми числами . Это одна из 23 математических проблем Гильберта , в которой запрашиваются аналоги корней единицы , которые порождают целое семейство дополнительных числовых полей, аналогично циклотомическим полям и их подполям. Леопольд Кронекер описал проблему комплексного умножения как свой liebster Jugendtraum , или «самую заветную мечту его юности», поэтому проблема также известна как Jugendtraum Кронекера .

Классическая теория комплексного умножения , теперь часто известная как Kronecker Jugendtraum , делает это для случая любого мнимого квадратичного поля , используя модулярные функции и эллиптические функции, выбранные с определенной решеткой периодов , связанной с рассматриваемым полем. Горо Шимура распространил это на поля CM . В частном случае полностью вещественных полей Самит Дасгупта и Махеш Какде предоставили конструкцию максимального абелева расширения полностью вещественных полей, используя гипотезу Брумера–Штарка .

Общий случай двенадцатой проблемы Гильберта все еще остается открытым.

Основная проблема алгебраической теории чисел — описание полей алгебраических чисел . Работа Галуа ясно показала, что расширения полей контролируются определенными группами , группами Галуа . Простейшая ситуация, которая уже находится на границе того, что хорошо понятно, — это когда рассматриваемая группа абелева . Все квадратичные расширения, полученные присоединением корней квадратичного многочлена, являются абелевыми, и их изучение было начато Гауссом . Другой тип абелева расширения поля Q рациональных чисел задается присоединением n -ных корней из единицы, что приводит к круговым полям . Уже Гаусс показал, что на самом деле каждое квадратичное поле содержится в большем круговом поле. Теорема Кронекера–Вебера показывает, что любое конечное абелево расширение Q содержится в круговом поле. Вопрос Кронекера (и Гильберта) касается ситуации более общего алгебраического числового поля K : какие алгебраические числа необходимы для построения всех абелевых расширений K ? Полный ответ на этот вопрос был полностью проработан только тогда, когда K является мнимым квадратичным полем или его обобщением, CM-полем .

Первоначальное утверждение Гильберта о его 12-й проблеме довольно обманчиво: он, кажется, подразумевает, что абелевы расширения мнимых квадратичных полей порождаются специальными значениями эллиптических модулярных функций, что неверно. (Трудно сказать точно, что именно говорил Гильберт, одна из проблем заключается в том, что он мог использовать термин «эллиптическая функция» для обозначения как эллиптической функции ℘, так и эллиптической модулярной функции j .) Во-первых, также необходимо использовать корни из единицы, хотя Гильберт мог неявно иметь в виду включить их. Что еще серьезнее, в то время как значения эллиптических модулярных функций порождают поле классов Гильберта , для более общих абелевых расширений также необходимо использовать значения эллиптических функций. Например, абелево расширение не порождается сингулярными модулями и корнями из единицы.${\displaystyle \mathbf {Q} (я, {\sqrt[{4}]{1+2i}})/\mathbf {Q} (i)}$

Один особенно привлекательный способ сформулировать теорему Кронекера–Вебера состоит в том, чтобы сказать, что максимальное абелево расширение Q может быть получено присоединением специальных значений exp(2 π i / n ) показательной функции . Аналогично, теория комплексного умножения показывает, что максимальное абелево расширение Q ( τ ), где τ — мнимая квадратичная иррациональность, может быть получено присоединением специальных значений ℘( τ , z ) и j ( τ ) модулярных функций j и эллиптических функций ℘ и корней из единицы, где τ находится в мнимом квадратичном поле, а z представляет собой точку кручения на соответствующей эллиптической кривой. Одна из интерпретаций двенадцатой проблемы Гильберта требует предоставить подходящий аналог показательных, эллиптических или модулярных функций, специальные значения которых порождали бы максимальное абелево расширение K ^ab общего числового поля K . В этой форме она остаётся нерешённой. Описание поля K ^ab было получено в теории полей классов , разработанной самим Гильбертом , Эмилем Артином и другими в первой половине 20-го века. ^{[примечание 1]} Однако построение K ^ab в теории полей классов включает в себя сначала построение более крупных неабелевых расширений с использованием теории Куммера , а затем сокращение до абелевых расширений, поэтому на самом деле не решает проблему Гильберта, которая требует более прямого построения абелевых расширений.

Разработки, начиная примерно с 1960 года, безусловно, внесли свой вклад. До этого Гекке  (1912) в своей диссертации использовал модулярные формы Гильберта для изучения абелевых расширений вещественных квадратичных полей . Комплексное умножение абелевых многообразий было областью, открытой работами Шимуры и Таниямы . Это приводит к абелевым расширениям CM-полей в целом. Вопрос о том, какие расширения могут быть найдены, касается модулей Тейта таких многообразий, как представления Галуа . Поскольку это наиболее доступный случай ℓ-адических когомологий , эти представления были изучены подробно.

Роберт Ленглендс утверждал в 1973 году, что современная версия Jugendtraum должна иметь дело с дзета-функциями Хассе–Вейля многообразий Шимуры . Хотя он и представлял себе грандиозную программу , которая продвинула бы эту тему гораздо дальше, более чем тридцать лет спустя остаются серьезные сомнения относительно ее важности для вопроса, который задал Гильберт.

Отдельным развитием стала гипотеза Штарка (в абелевом случае ранга один), которая, напротив, напрямую занималась вопросом нахождения конкретных единиц, которые генерируют абелевы расширения числовых полей и описывают ведущие коэффициенты L -функций Артина . В 2021 году Дасгупта и Какде объявили о p -адическом решении для нахождения максимального абелева расширения вполне вещественных полей, доказав интегральную гипотезу Гросса–Штарка для единиц Брумера–Штарка. ^{[1] [2]}

• Langlands, RP (1976). "Некоторые современные проблемы, берущие начало в Jugendtraum". В Browder, Felix E. (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта (PDF) . Proc. Sympos. Pure Math. Vol. 28. Providence, RI: American Mathematical Society . стр. 401–418. ISBN 0-8218-1428-1. Збл  0345.14006.
• Шаппахер, Норберт (1998). «К истории двенадцатой проблемы Гильберта: комедия ошибок». Материалы для истории математики XXe века (Ницца, 1996). Семин. Конгресс Том. 3. Париж: Математическое общество Франции . стр. 243–273. ISBN 978-2-85629-065-1. MR  1640262. Zbl  1044.01530.
• Влэдуц, СГ (1991). Югендтраум Кронекера и модулярные функции . Исследования по развитию современной математики. Том 2. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-754-7. Збл  0731.11001.