Модулярная форма Гильберта

В математике модулярная форма Гильберта — это обобщение модулярных форм на функции двух или более переменных. Это (комплексная) аналитическая функция на m -кратном произведении верхних полуплоскостей, удовлетворяющая определенному виду функционального уравнения .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Пусть F — вполне вещественное числовое поле степени m над рациональным полем. Пусть — вещественные вложения F. Через них мы имеем отображение${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}}$

${\displaystyle GL_{2}(F)\to GL_{2}(\mathbb {R} )^{m}.}$

Пусть будет кольцом целых чисел F. Группа называется полной модулярной группой Гильберта . Для каждого элемента существует групповое действие, определяемое формулой${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{m})\in {\mathcal {H}}^{m}}$${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$${\displaystyle \gamma \cdot z=(\sigma _{1}(\gamma )z_{1},\ldots ,\sigma _{m}(\gamma )z_{m})}$

Для

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL_{2}(\mathbb {R} ),}$

определять:

${\displaystyle j(g,z)=\det(g)^{-1/2}(cz+d)}$

Гильбертова модулярная форма веса — это аналитическая функция на такая, что для каждого${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{м}}$${\displaystyle \gamma \in GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$

${\displaystyle f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}$

В отличие от случая модульной формы, для точек возврата не требуется никаких дополнительных условий из-за принципа Кёхера . ^{[ сомнительно – обсудить ]}

Эти модулярные формы для действительных квадратичных полей были впервые рассмотрены в 1901 году в Геттингенском университете Habilitationssschrift Отто Блюменталя . Там он упоминает, что Давид Гильберт рассматривал их первоначально в работе 1893-4 годов, которая осталась неопубликованной. Работа Блюменталя была опубликована в 1903 году. По этой причине модулярные формы Гильберта теперь часто называют модулярными формами Гильберта-Блюменталя .

Теория оставалась бездействующей в течение нескольких десятилетий; Эрих Гекке обращался к ней в своих ранних работах, но основной интерес к модулярным формам Гильберта возник только после разработки теории комплексных многообразий .

• Модульная форма Siegel
• Модульная поверхность Гильберта

• Ян Х. Брюнье: Модулярные формы Гильберта и их приложения.
• Пол Б. Гарретт: Голоморфные модулярные формы Гильберта . Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Пасифик-Гроув, Калифорния, 1990. ISBN  0-534-10344-8
• Эберхард Фрайтаг : Модульные формы Гильберта . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-50586-5