теория Куммера

В абстрактной алгебре и теории чисел теория Куммера дает описание определенных типов расширений полей , включающих присоединение корней n- й степени элементов базового поля . Теория была первоначально разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840-х годов в его пионерской работе о Великой теореме Ферма . Основные утверждения не зависят от природы поля — за исключением его характеристики , которая не должна делить целое число n — и, следовательно, относятся к абстрактной алгебре. Теория циклических расширений поля K , когда характеристика K делит n, называется теорией Артина–Шрайера .

Теория Куммера является базовой, например, в теории полей классов и в целом в понимании абелевых расширений ; она говорит, что при наличии достаточного количества корней единицы циклические расширения могут быть поняты в терминах извлечения корней. Основная нагрузка в теории полей классов заключается в том, чтобы избавиться от дополнительных корней единицы ('нисходя' обратно к меньшим полям); что является чем-то гораздо более серьезным.

Расширение Куммера — это расширение поля L / K , где для некоторого заданного целого числа n > 1 имеем

• K содержит n различных корней степени n из единицы (т.е. корней X ⁿ − 1)
• L / K имеет абелеву группу Галуа показателя n .

Например, когда n = 2, первое условие всегда верно, если K имеет характеристику ≠ 2. Расширения Куммера в этом случае включают квадратичные расширения , где a в K — неквадратный элемент. По обычному решению квадратных уравнений любое расширение степени 2 для K имеет эту форму. Расширения Куммера в этом случае также включают биквадратные расширения и более общие мультиквадратные расширения . Когда K имеет характеристику 2, таких расширений Куммера нет.${\displaystyle L=K({\sqrt {a}})}$

При n = 3 не существует расширений Куммера степени 3 поля рациональных чисел Q , поскольку для трех кубических корней из 1 требуются комплексные числа . Если взять L в качестве поля разложения X ³ − a над Q , где a не является кубом в рациональных числах, то L содержит подполе K с тремя кубическими корнями из 1; это потому, что если α и β являются корнями кубического многочлена, мы будем иметь (α/β) ³ =1, а кубический многочлен является отделимым многочленом . Тогда L / K является расширением Куммера.

В более общем смысле верно, что когда K содержит n различных корней n-й степени из единицы, что подразумевает, что характеристика K не делит n , то присоединение к K корня n-й степени любого элемента a из K создает расширение Куммера (степени m , для некоторого m , делящего n ). Как поле расщепления многочлена X ⁿ − a , расширение Куммера обязательно является Галуа , с группой Галуа, которая является циклической порядка m . Легко отследить действие Галуа через корень единицы перед${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}.}$

Теория Куммера дает обратные утверждения. Когда K содержит n различных корней n-й степени из единицы, она утверждает, что любое абелево расширение K экспоненты , делящей n, образовано извлечением корней элементов K. Кроме того, если K ^× обозначает мультипликативную группу ненулевых элементов K , абелевы расширения K экспоненты n взаимно однозначно соответствуют подгруппам

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

то есть элементы K ^× по модулю n- й степени. Соответствие можно явно описать следующим образом. Дана подгруппа

${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

соответствующее расширение задается как

${\displaystyle K\left(\Delta ^{\frac {1}{n}}\right),}$

где

${\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}.}$

На самом деле достаточно присоединить n-й корень одного представителя каждого элемента любого набора генераторов группы Δ. Обратно, если L является расширением Куммера группы K , то Δ восстанавливается по правилу

${\displaystyle \Дельта =\left(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}\right)/(K^{\times })^{n}.}$

В этом случае имеет место изоморфизм.

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$

предоставлено

${\displaystyle a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),}$

где α — любой корень n-й степени из a в L . Здесь обозначает мультипликативную группу корней n- й степени из единицы (принадлежащих K ), а — группа непрерывных гомоморфизмов из , снабженная топологией Крулля , в с дискретной топологией (с групповой операцией, заданной поточечным умножением). Эту группу (с дискретной топологией) можно также рассматривать как двойственную по Понтрягину к , предполагая, что мы рассматриваем ее как подгруппу группы окружности . Если расширение L / K конечно, то — конечная дискретная группа и мы имеем${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Гом} _{\text{c}}(\operatorname {Гал} (Л/К),\mu _{n})}$${\displaystyle \operatorname {Гал} (Л/К)}$${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Гал} (Л/К)}$${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Гал} (Л/К)}$

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Гал} (Л/К),\mu _{n})\cong \operatorname {Гал} (Л/К),}$

Однако последний изоморфизм не является естественным .

Для простого пусть будет поле, содержащее и степень расширения Галуа. Обратите внимание, что группа Галуа является циклической, порожденной . Пусть ${\displaystyle p}$${\displaystyle К}$${\displaystyle \дзета _{p}}$${\displaystyle К(\бета)/К}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \сигма}$

${\displaystyle \альфа =\сумма _{l=0}^{p-1}\дзета _{p}^{l}\сигма ^{l}(\бета)\в К(\бета)}$

Затем

${\displaystyle \zeta _{p}\sigma (\alpha)=\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l+1}\sigma ^{l+1} (\бета)=\альфа.}$

Так как и ${\displaystyle \alpha \neq \sigma (\alpha),K (\alpha) = K(\beta)}$

${\displaystyle \alpha ^{p}=\pm \prod _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{-l}\alpha =\pm \prod _{l=0}^{p-1}\sigma ^{l}(\alpha )=\pm N_{K(\beta )/K}(\alpha )\in K}$,

где знак равен , если нечетно и если .${\displaystyle \pm}$${\displaystyle +}$${\displaystyle p}$${\displaystyle -}$${\displaystyle p=2}$

Когда абелево расширение степени является свободным от квадратов, таким что , примените тот же аргумент к подполям Галуа степени, чтобы получить ${\displaystyle Л/К}$${\displaystyle n=\prod _{j=1}^{m}p_{j}}$${\displaystyle \zeta _{n}\in K}$${\displaystyle K(\beta _{j})/K}$${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle L=K\left(a_{1}^{1/p_{1}},\ldots ,a_{m}^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/p_{1}},\ldots ,A^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/n}\right)}$

где

${\displaystyle A=\prod _{j=1}^{m}a_{j}^{n/p_{j}}\in K}$.

Одним из основных инструментов в теории Куммера является карта Куммера. Пусть будет положительным целым числом, а будет полем, не обязательно содержащим корни th из единицы. Если обозначить алгебраическое замыкание , то существует короткая точная последовательность${\displaystyle м}$${\displaystyle К}$${\displaystyle м}$${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle К}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }[м]\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {z\mapsto z^{м}} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {} 0}$

Выбирая расширение и взяв -когомологии, получаем последовательность${\displaystyle Л/К}$${\displaystyle \mathrm {Гал} ({\overline {K}}/L)}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} L^{\times }/(L^{\times })^{м}\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[м]\right)\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)[м]\xrightarrow {} 0}$

По теореме Гильберта 90 , и , следовательно, мы получаем изоморфизм . Это отображение Куммера. Версия этого отображения также существует, когда все рассматриваются одновременно. А именно, поскольку , взятие прямого предела по дает изоморфизм${\displaystyle H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)=0}$${\displaystyle \delta :L^{\times }/\left(L^{\times }\right)^{m}\xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)}$${\displaystyle м}$${\displaystyle L^{\times }/(L^{\times })^{m}=L^{\times }\otimes m^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \delta :L^{\times }\otimes \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}_{tors}\right)}$,

где tors обозначает подгруппу кручения корней из единицы.

Теория Куммера часто используется в контексте эллиптических кривых. Пусть будет эллиптической кривой. Существует короткая точная последовательность${\displaystyle E/K}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E[m]\xrightarrow {} E\xrightarrow {P\mapsto m\cdot P} E\xrightarrow {} 0}$,

где умножение на карту сюръективно, поскольку делится. Выбирая алгебраическое расширение и беря когомологии, получаем последовательность Куммера для :${\displaystyle m}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E(L)/mE(L)\xrightarrow {} H^{1}(L,E[m])\xrightarrow {} H^{1}(L,E)[m]\xrightarrow {} 0}$.

Вычисление слабой группы Морделла-Вейля является ключевой частью доказательства теоремы Морделла-Вейля . Неспособность исчезнуть добавляет ключевую сложность к теории.${\displaystyle E(L)/mE(L)}$${\displaystyle H^{1}(L,E)}$

Предположим, что G — проконечная группа , действующая на модуле A с сюръективным гомоморфизмом π из G -модуля A в себя. Предположим также, что G действует тривиально на ядре C модуля π и что первая группа когомологий H ¹ ( G , A ) тривиальна. Тогда точная последовательность групповых когомологий показывает, что существует изоморфизм между A ^G /π( A ^G ) и Hom( G , C ).

Теория Куммера является частным случаем этого, когда A — мультипликативная группа сепарабельного замыкания поля k , G — группа Галуа, π — отображение степени n , а C — группа корней n из единицы. Теория Артина–Шрайера является частным случаем, когда A — аддитивная группа сепарабельного замыкания поля k положительной характеристики p , G — группа Галуа, π — отображение Фробениуса за вычетом единицы, а C — конечное поле порядка p . Если взять A как кольцо усеченных векторов Витта, то получится обобщение Виттом теории Артина–Шрайера на расширения экспоненты, делящей p ⁿ .

• Квадратное поле

• «Расширение Куммера», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Брайан Бирч , «Циклотомические поля и расширения Куммера», в JWS Cassels и A. Frohlich (edd), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , 1973. Гл. III, стр. 85–93.