модель Хестона
Модель в финансах

В финансах модель Хестона , названная в честь Стивена Л. Хестона , представляет собой математическую модель , описывающую эволюцию волатильности базового актива . [ 1] Это стохастическая модель волатильности : такая модель предполагает, что волатильность актива не является постоянной и даже не детерминированной, а следует случайному процессу .

Базовая модель Хестона

Базовая модель Хестона предполагает, что S t , цена актива, определяется стохастическим процессом, [1] [2]

г С т = μ С т г т + ν т С т г Вт т С , {\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S},}

где волатильность следует процессу Орнштейна-Уленбека ν т {\displaystyle {\sqrt {\nu _{t}}}}

г ν т = − θ ν т г т + δ г Вт т ν . {\displaystyle d{\sqrt {\nu _{t}}}=-\theta {\sqrt {\nu _{t}}}\,dt+\delta \,dW_{t}^{\nu }.}

Лемма Ито показывает, что мгновенная дисперсия задается квадратным корнем Феллера или процессом CIR , ν т {\displaystyle \nu _{т}}

г ν т = к ( θ − ν т ) г т + ξ ν т г Вт т ν , {\displaystyle d\nu _{t}=\kappa (\theta -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dW_{t}^{\ ню },}

и являются винеровскими процессами (т.е. непрерывными случайными блужданиями) с корреляцией ρ. Вт т С , Вт т ν {\displaystyle W_{t}^{S},W_{t}^{\nu }}

Модель имеет пять параметров:

  • ν 0 {\displaystyle \nu _{0}} , начальная дисперсия.
  • θ {\displaystyle \тета} , долгосрочная дисперсия или долгосрочная средняя дисперсия цены; по мере того , как t стремится к бесконечности, ожидаемое значение ν t стремится к θ.
  • ρ {\displaystyle \ро} , корреляция двух винеровских процессов .
  • к {\displaystyle \каппа} , скорость, с которой ν t возвращается к θ.
  • ξ {\displaystyle \xi} , волатильность волатильности, или «объем объема», которая определяет дисперсию ν t .

Если параметры подчиняются следующему условию (известному как условие Феллера), то процесс строго положительный [3] ν т {\displaystyle \nu _{т}}

2 к θ > ξ 2 . {\displaystyle 2\каппа \тета >\xi ^{2}.}

Мера, нейтральная к риску

Полную версию статьи см. в разделе «Мера, нейтральная к риску».

Фундаментальной концепцией в ценообразовании деривативов является мера нейтрального риска ; это более подробно объясняется в вышеуказанной статье. Для наших целей достаточно отметить следующее:

  1. Чтобы оценить производный инструмент, выплата которого является функцией одного или нескольких базовых активов, мы оцениваем ожидаемую стоимость его дисконтированной выплаты с использованием нейтральной по отношению к риску меры.
  2. Нейтральная к риску мера, также известная как эквивалентная мартингальная мера, — это мера, которая эквивалентна реальной мере и которая не содержит арбитража: при такой мере дисконтированная цена каждого из базовых активов является мартингальной. См. теорему Гирсанова .
  3. В рамках моделей Блэка-Шоулза и Хестона (где фильтрация генерируется только из линейно независимого набора винеровских процессов) любая эквивалентная мера может быть описана в очень широком смысле путем добавления дрейфа к каждому из винеровских процессов.
  4. Выбрав определенные значения для описанных выше дрейфов, мы можем получить эквивалентную меру, которая удовлетворяет условию отсутствия арбитража.

Рассмотрим общую ситуацию, когда у нас есть базовые активы и линейно независимый набор винеровских процессов. Набор эквивалентных мер изоморфен R m , пространству возможных дрейфов. Рассмотрим набор эквивалентных мартингальных мер как изоморфный многообразию, вложенному в R m ; изначально рассмотрим ситуацию, когда у нас нет активов и изоморфен R m . н {\displaystyle n} м {\displaystyle м} М {\displaystyle М} М {\displaystyle М}

Теперь рассмотрим каждый из базовых активов как предоставление ограничения на набор эквивалентных мер, поскольку его ожидаемый процесс дисконтирования должен быть равен константе (а именно, его начальному значению). Добавляя по одному активу за раз, мы можем рассматривать каждое дополнительное ограничение как уменьшение размерности на одну размерность. Следовательно, мы можем видеть, что в общей ситуации, описанной выше, размерность набора эквивалентных мартингальных мер равна . М {\displaystyle М} м − н {\displaystyle mn}

В модели Блэка-Шоулза у нас есть один актив и один процесс Винера. Размерность набора эквивалентных мартингальных мер равна нулю; следовательно, можно показать, что существует единственное значение для дрейфа, и, следовательно, единственная мера нейтрального риска, при которой дисконтированный актив будет мартингальным. [ необходима цитата ] е − ρ т С т {\displaystyle e^{-\rho t}S_{t}}

В модели Хестона у нас по-прежнему есть один актив (волатильность не считается напрямую наблюдаемой или торгуемой на рынке), но теперь у нас есть два процесса Винера — первый в стохастическом дифференциальном уравнении (SDE) для цены акций и второй в SDE для дисперсии цены акций. Здесь размерность набора эквивалентных мартингальных мер равна единице; нет уникальной безрисковой меры. [ необходима цитата ]

Это, конечно, проблематично; хотя теоретически любая из безрисковых мер может использоваться для оценки дериватива, вполне вероятно, что каждая из них даст другую цену. Однако в теории только одна из этих безрисковых мер будет совместима с рыночными ценами опционов , зависящих от волатильности (например, европейские колл-опционы или, более конкретно, свопы дисперсии ). Следовательно, мы могли бы добавить актив, зависящий от волатильности; [ требуется цитата ] делая это, мы добавляем дополнительное ограничение и, таким образом, выбираем единственную безрисковую меру, которая совместима с рынком. Эта мера может использоваться для ценообразования.

Выполнение

  • Обсуждение реализации модели Хестона было дано Каль и Йекелем. [5]
  • Вывод цен опционов в замкнутой форме для модели Хестона, зависящей от времени, был представлен Бенхамоу и др. [6]
  • Вывод цен опционов в закрытой форме для двойной модели Хестона был дан Кристофферсеном и др. [7] , а также Готье и Поссамей [8] .
  • Расширение модели Хестона со стохастическими процентными ставками было предложено Гржелаком и Остерли. [9]
  • Выражение характеристической функции модели Хестона, которое является как численно непрерывным, так и легко дифференцируемым по параметрам, было введено Куи и др. [10]
  • Использование модели в контексте локальной стохастической волатильности было дано Ван дер Вейстом. [11]
  • Явное решение уравнения цены Хестона в терминах волатильности было разработано Курицыным. [12] Это можно объединить с известными слабыми решениями для уравнения волатильности и теоремой Гирсанова, чтобы получить явные слабые решения модели Хестона. Такие решения полезны для эффективного моделирования.
  • Высокоточные справочные цены доступны в сообщении в блоге Алана Льюиса. [13]
  • Известно несколько параметризаций поверхности волатильности, основанных на модели Хестона (Шенбушер, SVI и gSVI).

Калибровка

Калибровка модели Хестона часто формулируется как задача наименьших квадратов , где целевая функция минимизирует квадратичную разницу между ценами, наблюдаемыми на рынке, и ценами, рассчитанными с помощью модели.

Цены обычно соответствуют ценам ванильных опционов . Иногда модель также калибруется по временной структуре свопа дисперсии, как у Гийома и Схоутенса. [14] Еще один подход заключается во включении форвардных стартовых опционов или барьерных опционов , чтобы захватить форвардную улыбку .

В модели Хестона цена ванильных опционов задается аналитически, но для вычисления интеграла требуется численный метод. Ле Флок [15] обобщил различные применяемые квадратуры и предложил эффективную адаптивную квадратуру Файлона .

Калибровка обычно требует градиента целевой функции относительно параметров модели. Обычно это вычислялось с помощью конечно-разностной аппроксимации, хотя она менее точна, менее эффективна и менее элегантна, чем аналитический градиент, поскольку проницательное выражение последнего стало доступно только тогда, когда новое представление характеристической функции было введено Куи и др. в 2017 году [10] . Другая возможность — прибегнуть к автоматическому дифференцированию . Например, касательный режим алгоритмического дифференцирования может быть применен с использованием двойных чисел простым способом.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Heston, Steven L. (1993). «Закрытое решение для опционов со стохастической волатильностью с приложениями к опционам на облигации и валютные опционы». Review of Financial Studies . 6 (2): 327–343. doi :10.1093/rfs/6.2.327. JSTOR  2962057. S2CID  16091300.
  2. ^ Уилмотт, П. (2006), Пол Уилмотт о количественных финансах (2-е изд.), стр. 861
  3. ^ Альбрехер, Х.; Майер, П.; Схоутенс, В.; Тистарт, Дж. (январь 2007 г.), «Маленькая ловушка Хестона», журнал Wilmott Magazine : 83–92, CiteSeerX 10.1.1.170.9335 
  4. ^ Карр, П.; Мадан, Д. (1999). «Оценка опциона с использованием быстрого преобразования Фурье» (PDF) . Журнал вычислительных финансов . 2 (4): 61–73. CiteSeerX 10.1.1.6.9994 . doi :10.21314/JCF.1999.043. 
  5. ^ Каль, К.; Йекель, П. (2005). «Не такие сложные логарифмы в модели Хестона» (PDF) . Журнал Уилмотт : 74–103.
  6. ^ Бенаму, Э.; Гобет, Э.; Мири, М. (2009). «Модель Хестона, зависящая от времени». CiteSeerX 10.1.1.657.6271 . дои : 10.2139/ssrn.1367955. S2CID  12804395. SSRN  1367955.  {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  7. ^ Кристофферсен, П.; Хестон, С.; Якобс, К. (2009). «Форма и временная структура индексного опциона smirk: почему многофакторные модели стохастической волатильности работают так хорошо». SSRN  1447362. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  8. ^ Готье, П.; Поссамай, Д. (2009). «Эффективное моделирование двойной модели Хестона». SSRN  1434853. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  9. ^ Грзелак, LA; Остерли, CW (2011). «О модели Хестона со стохастическими процентными ставками». Журнал SIAM по финансовой математике . 2 : 255–286. doi :10.1137/090756119. S2CID  9132119.
  10. ^ ab Cui, Y.; Del Baño Rollin, S.; Germano, G. (2017). «Полная и быстрая калибровка модели стохастической волатильности Хестона». European Journal of Operational Research . 263 (2): 625–638. arXiv : 1511.08718 . doi : 10.1016/j.ejor.2017.05.018. S2CID  25667130.
  11. ^ Ван дер Вейст, Рул (2017). «Численные решения для модели стохастической локальной волатильности». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  12. ^ Курицин, М. (2018). «Явные решения Хестона и стохастическая аппроксимация для зависимого от пути ценообразования опционов». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 21 : 1850006. arXiv : 1608.02028 . doi : 10.1142/S0219024918500061. S2CID  158891879.
  13. ^ url=https://financepress.com/2019/02/15/heston-model-reference-prices/
  14. ^ Гийом, Флоренс; Схоутенс, Вим (2013). «Модель Хестона: Калибровка обмена дисперсией». SSRN  2255550. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  15. ^ Ле Флок, Фабьен (2018). «Адаптивная квадратура Филона для моделей стохастической волатильности». Журнал вычислительных финансов . 22 (3): 65–88. doi :10.21314/JCF.2018.356.
  • Дамгани, Бабак Махдави; Кос, Эндрю (2013). «Деарбитраж со слабой улыбкой: применение для отклонения риска». Wilmott . 2013 (1): 40–49. doi :10.1002/wilm.10201. S2CID  154646708.
  • Марио, Делл'Эра (2014). «ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ УЧП ХЕСТОНА С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ». 4 (6): 793–807. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Heston_model&oldid=1226046212"