квадратура Филона

В численном анализе квадратура Филона или метод Филона — это метод численного интегрирования осциллирующих интегралов. Он назван в честь английского математика Луи Наполеона Джорджа Филона , который впервые описал этот метод в 1934 году. [ ^1]

Метод применяется к колебательным определенным интегралам в виде:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx}$

где — относительно медленно меняющаяся функция, которая является либо синусом или косинусом , либо комплексной экспонентой, которая вызывает быстрые колебания подынтегральной функции, особенно для высоких частот. В квадратуре Файлона делится на подынтервалы длиной , которые затем интерполируются параболами . Поскольку каждый подынтервал теперь преобразуется в интеграл Фурье квадратичных полиномов , их можно оценить в замкнутой форме путем интегрирования по частям . Для случая формула интегрирования имеет вид: ^{[1] [2]}${\textstyle f(x)}$${\textstyle г(х)}$${\textstyle f(x)}$${\textstyle 2N}$${\textstyle ч}$${\textstyle g(x)=\cos(kx)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\cos(kx)dx\approx h(\alpha \left[f(b)\sin(kb)-f(a)\sin(ka)\right]+\beta C_{2n}+\gamma C_{2n-1})}$

где

${\displaystyle \alpha =\left(\theta ^{2}+\theta \sin(\theta)\cos(\theta)-2\sin ^{2}(\theta)\right)/\theta ^{ 3}}$

${\displaystyle \beta =2\left[\theta (1+\cos ^{2}(\theta ))-2\sin(\theta )\cos(\theta )\right]/\theta ^{3}}$

${\displaystyle \gamma =4(\sin(\theta )-\theta \cos(\theta ))/\theta ^{3}}$

${\displaystyle C_{2n}={\frac {1}{2}}f(a)\cos(ka)+f(a+2h)\cos(k(a+2h))+f(a+4h)\cos(k(a+4h))+\ldots +{\frac {1}{2}}f(b)\cos(kb)}$

${\displaystyle C_{2n-1}=f(a+h)\cos(k(a+h))+f(a+3h)\cos(k(a+3h))+\ldots +f(b-h)\cos(k(b-h))}$

${\displaystyle \theta =kh}$

Явные формулы интегрирования Файлона для синусоидальных и комплексных показательных функций могут быть получены аналогичным образом. ^[2] Формулы выше не работают для малых значений из-за катастрофического сокращения ; ^[3] В таких случаях необходимо использовать приближения рядов Тейлора для смягчения числовых ошибок, и они рекомендуются в качестве возможной точки перехода для 44-битной мантиссы . ^[2]${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \theta =1/6}$

Модификации, расширения и обобщения квадратуры Файлона были описаны в литературе по численному анализу и прикладной математике ; они известны как методы интегрирования типа Файлона. ^{[4] [5]} К ним относятся методы Филона- трапеции ^[2] и Файлона – Кленшоу–Кертиса . ^[6]

Квадратура Филона широко используется в физике и технике для надежного вычисления интегралов типа Фурье. Приложения включают оценку осциллирующих интегралов Зоммерфельда для электромагнитных и сейсмических задач в слоистых средах ^{[7] [8] [9]} и численное решение задач стационарного несжимаемого потока в механике жидкости , ^[10] а также различных задач в рассеянии нейтронов , ^[11] квантовой механике ^[12] и металлургии . ^[13]

• квадратура Тан-син