Обобщения чисел Фибоначчи

В математике числа Фибоначчи образуют последовательность, определяемую рекурсивно следующим образом:

${\displaystyle F_{n}={\begin{cases}0&n=0\\1&n=1\\F_{n-1}+F_{n-2}&n>1\end{cases}}}$

То есть после двух начальных значений каждое число представляет собой сумму двух предыдущих чисел.

Последовательность Фибоначчи была тщательно изучена и обобщена многими способами, например, начиная с чисел, отличных от 0 и 1, добавляя более двух чисел для получения следующего числа или добавляя объекты, отличные от чисел.

Используя , можно расширить числа Фибоначчи до отрицательных целых чисел . Итак, получаем:${\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}}$

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

и . ^[1]${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}$

См. также Негафибоначчиевое кодирование .

Существует ряд возможных обобщений чисел Фибоначчи, которые включают действительные числа (а иногда и комплексные числа ) в их области. Каждое из них включает золотое сечение φ и основано на формуле Бине

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.}$

Аналитическая функция

${\displaystyle \operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

имеет свойство, что для четных целых чисел . ^[2] Аналогично, аналитическая функция:${\displaystyle \operatorname {Fe} (n)=F_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

удовлетворяет для нечетных целых чисел .${\displaystyle \operatorname {Fo} (n)=F_{n}}$${\displaystyle n}$

Наконец, собрав все это вместе, получим аналитическую функцию

${\displaystyle \operatorname {Фибо} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

удовлетворяет для всех целых чисел . ^[3]${\displaystyle \operatorname {Фибо} (n)=F_{n}}$${\displaystyle n}$

Так как для всех комплексных чисел эта функция также обеспечивает расширение последовательности Фибоначчи на всю комплексную плоскость. Следовательно, мы можем вычислить обобщенную функцию Фибоначчи комплексной переменной, например, ${\displaystyle \operatorname {Fib} (z+2) = \operatorname {Fib} (z+1)+\operatorname {Fib} (z)}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \operatorname {Фибо} (3+4i)\approx -5248.5-14195.9i}$

Термин последовательность Фибоначчи также применяется в более общем смысле к любой функции от целых чисел до поля , для которого . Эти функции являются в точности функциями вида , поэтому последовательности Фибоначчи образуют векторное пространство с функциями и в качестве базиса .${\displaystyle г}$${\displaystyle г(n+2)=г(n)+г(n+1)}$${\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)}$${\displaystyle F(n)}$${\displaystyle F(n-1)}$

В более общем случае диапазон может быть взят как любая абелева группа (рассматриваемая как Z - модуль ). Тогда последовательности Фибоначчи образуют 2-мерный Z -модуль таким же образом.${\displaystyle г}$

Двумерный -модуль целочисленных последовательностей Фибоначчи состоит из всех целочисленных последовательностей, удовлетворяющих . Выражаясь через два начальных значения, имеем: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle г(n+2)=г(n)+г(n+1)}$

${\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi)^{ -n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}} ,}$

где находится золотое сечение.${\displaystyle \varphi}$

Соотношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению, за исключением случая последовательности, которая постоянно равна нулю, и последовательностей, где отношение двух первых членов равно .${\displaystyle (-\varphi)^{-1}}$

Последовательность можно записать в виде

${\displaystyle а\varphi ^{n}+b(-\varphi)^{-n},}$

в котором тогда и только тогда, когда . В этой форме простейший нетривиальный пример имеет , который является последовательностью чисел Люка :${\displaystyle а=0}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle а=б=1}$

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi)^{-n}.}$

У нас есть и . Свойства включают в себя:${\displaystyle L_{1}=1}$${\displaystyle L_{2}=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}={\frac {L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}}$

Каждая нетривиальная целочисленная последовательность Фибоначчи появляется (возможно, после сдвига на конечное число позиций) как одна из строк массива Витхоффа . Сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а сдвиг последовательности Лукаса является второй строкой. ^[4]

См. также последовательности целых чисел Фибоначчи по модулю n .

Другим обобщением последовательности Фибоначчи являются последовательности Люка , определяемые следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(0)&=0\\U(1)&=1\\U(n+2)&=PU(n+1)-QU(n),\end{aligned}}}$

где нормальная последовательность Фибоначчи является частным случаем и . Другой вид последовательности Люка начинается с , . Такие последовательности имеют приложения в теории чисел и доказательстве простоты .${\displaystyle P=1}$${\displaystyle Q=-1}$${\displaystyle V(0)=2}$${\displaystyle V(1)=P}$

Когда эта последовательность называется P -последовательностью Фибоначчи , например, последовательность Пелля также называется 2-последовательностью Фибоначчи .${\displaystyle Q=-1}$

Последовательность 3-Фибоначчи :

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ... (последовательность A006190 в OEIS )

Последовательность 4-Фибоначчи :

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... (последовательность A001076 в OEIS )

Последовательность 5-Фибоначчи :

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... (последовательность A052918 в OEIS )

Последовательность 6-Фибоначчи :

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... (последовательность A005668 в OEIS )

Константа n -Фибоначчи - это отношение, к которому стремятся соседние -числа Фибоначчи; его также называют n -м металлическим средним , и это единственный положительный корень . Например, случай - это , или золотое сечение , и случай - это , или серебряное сечение . Как правило, случай - это . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$

В общем случае можно назвать ( P , −Q ) -последовательностью Фибоначчи , а V ( n ) можно назвать ( P , −Q ) -последовательностью Люка .${\displaystyle U(n)}$

Последовательность (1,2)-Фибоначчи :

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... (последовательность A001045 в OEIS )

Последовательность (1,3)-Фибоначчи :

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, ... (последовательность A006130 в OEIS )

Последовательность (2,2)-Фибоначчи :

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... (последовательность A002605 в OEIS )

Последовательность (3,3)-Фибоначчи :

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... (последовательность A030195 в OEIS )

Последовательность Фибоначчи порядка n — это целочисленная последовательность, в которой каждый элемент последовательности является суммой предыдущих элементов (за исключением первых элементов последовательности). Обычные числа Фибоначчи — это последовательность Фибоначчи порядка 2. Случаи и были тщательно исследованы. Количество композиций неотрицательных целых чисел на части, которые не более, является последовательностью Фибоначчи порядка . Последовательность количества строк из нулей и единиц длины , которые содержат не более последовательных нулей, также является последовательностью Фибоначчи порядка .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Эти последовательности, их предельные соотношения и предел этих предельных соотношений были исследованы Марком Барром в 1913 году. ^[5]

Числа трибоначчи похожи на числа Фибоначчи, но вместо того, чтобы начинаться с двух предопределенных членов, последовательность начинается с трех предопределенных членов, и каждый последующий член является суммой трех предыдущих членов. Первые несколько чисел трибоначчи:

0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 , 7 , 13 , 24 , 44 , 81 , 149 , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (последовательность A000073 в OEIS )

Серия была впервые формально описана Агрономом ^[6] в 1914 году, ^[7] но ее первое непреднамеренное использование было в « Происхождении видов» Чарльза Р. Дарвина . В примере иллюстрации роста популяции слонов он опирался на расчеты, сделанные его сыном, Джорджем Х. Дарвином . ^[8] Термин трибоначчи был предложен Файнбергом в 1963 году. ^[9]

Константа трибоначчи

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1.839286755214161,}$(последовательность A058265 в OEIS )

— это отношение, к которому стремятся соседние числа трибоначчи. Это корень многочлена , а также удовлетворяет уравнению . Это важно при изучении плосконосого куба .${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0}$${\displaystyle x+x^{-3}=2}$

Обратная величина постоянной трибоначчи , выраженная соотношением , может быть записана как:${\displaystyle \xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1}$

${\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\approx 0.543689012.}$(последовательность A192918 в OEIS )

Числа трибоначчи также определяются формулой ^[10]

${\displaystyle T(n)=\left\lfloor 3b\,{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil }$

где обозначает ближайшую целую функцию и${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\,,\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\,.\end{aligned}}}$

Числа тетраначчи начинаются с четырех предопределенных членов, каждый последующий член является суммой предыдущих четырех членов. Первые несколько чисел тетраначчи:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15 , 29 , 56 , 108 , 208 , 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (последовательность A000078 в OEIS )

Константа тетраначчи — это отношение, к которому стремятся соседние числа тетраначчи. Это корень многочлена , приблизительно 1,927561975482925 (последовательность A086088 в OEIS ), а также удовлетворяет уравнению .${\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$${\displaystyle x+x^{-4}=2}$

Константу тетраначчи можно выразить через радикалы следующим выражением: ^[11]

${\displaystyle x={\frac {1}{4}}\!\left(1+{\sqrt {u}}+{\sqrt {11-u+{\frac {26}{\sqrt {u}}}}}\,\right)}$

где,

${\displaystyle u={\frac {1}{3}}\left(11-56{\sqrt[{3}]{\frac {2}{-65+3{\sqrt {1689}}}}}+2\cdot 2^{\frac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{-65+3{\sqrt {1689}}}}\right)}$

и является действительным корнем кубического уравнения${\displaystyle u}$${\displaystyle u^{3}-11u^{2}+115u-169.}$

Были вычислены числа пентаначчи, гексаначчи, гептаначчи, октаначчи и эннеаначчи.

Числа Пентаначчи:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … (последовательность A001591 в OEIS )

Константа пентаначчи — это отношение, к которому стремятся соседние числа пентаначчи. Это корень многочлена , приблизительно 1,965948236645485 (последовательность A103814 в OEIS ), а также удовлетворяет уравнению .${\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$${\displaystyle x+x^{-5}=2}$

Числа гексаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … (последовательность A001592 в OEIS )

Константа гексаначчи — это отношение, к которому стремятся соседние числа гексаначчи. Это корень многочлена , приблизительно 1,98358284342 (последовательность A118427 в OEIS ), а также удовлетворяет уравнению .${\displaystyle x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$${\displaystyle x+x^{-6}=2}$

Числа Гептаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … (последовательность A122189 в OEIS )

Константа гептаначчи — это отношение, к которому стремятся соседние числа гептаначчи. Это корень многочлена , приблизительно 1,99196419660 (последовательность A118428 в OEIS ), а также удовлетворяет уравнению .${\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$${\displaystyle x+x^{-7}=2}$

Числа Октаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... (последовательность A079262 в OEIS )

Числа Эннеаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, ... (последовательность A104144 в OEIS )

Предел отношения последовательных членов ряда -наччи стремится к корню уравнения ( OEIS : A103814 , OEIS : A118427 , OEIS : A118428 ).${\displaystyle n}$${\displaystyle x+x^{-n}=2}$

Альтернативная рекурсивная формула для предела отношения двух последовательных чисел -наччи может быть выражена как${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k}}$.

Особым случаем является традиционный ряд Фибоначчи, дающий золотое сечение .${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}$

Вышеуказанные формулы для отношения справедливы даже для рядов -nacci, сгенерированных из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2 по мере увеличения. Последовательность "infinacci", если бы ее можно было описать, после бесконечного числа нулей дала бы последовательность ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

которые являются просто степенями двойки .

Предел отношения для любого есть положительный корень характеристического уравнения ^[11]${\displaystyle n>0}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.}$

Корень находится в интервале . Отрицательный корень характеристического уравнения находится в интервале (−1, 0), когда четно. Этот корень и каждый комплексный корень характеристического уравнения имеют модуль . ^[11]${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2(1-2^{-n})<r<2}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 3^{-n}<|r|<1}$

Ряд для положительного корня для любого имеет вид ^[11]${\displaystyle r}$${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(n+1)i}}}.}$

Не существует решения характеристического уравнения в терминах радикалов, когда 5 ≤ n ≤ 11. ^[11 ]

Элемент k последовательности n -наччи определяется как

${\displaystyle F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n}}\right\rceil \!,}$

где обозначает ближайшую целочисленную функцию, а — константа -наччи, которая является корнем ближайшего к 2 числа.${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x+x^{-n}=2}$

Проблема подбрасывания монеты связана с последовательностью -nacci. Вероятность того, что ни одна последовательная решка не выпадет при подбрасывании идеализированной монеты, равна . ^[12]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n)}}$

По аналогии со своим числовым аналогом, слово Фибоначчи определяется следующим образом:

${\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&n=0;\\{\text{a}}&n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&n>1.\\\end{cases}}}$

где обозначает конкатенацию двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается:${\displaystyle +}$

б, а, аб, аба, абааб, абаабаба, абаабабаабааб, … (последовательность A106750 в OEIS )

Длина каждой строки Фибоначчи является числом Фибоначчи, и аналогично для каждого числа Фибоначчи существует соответствующая строка Фибоначчи.

Строки Фибоначчи появляются в качестве входных данных для наихудшего случая в некоторых компьютерных алгоритмах .

Если «a» и «b» представляют два разных материала или длины атомных связей, то структура, соответствующая строке Фибоначчи, представляет собой квазикристалл Фибоначчи , апериодическую квазикристаллическую структуру с необычными спектральными свойствами.

Свернутая последовательность Фибоначчи получается применением операции свертки к последовательности Фибоначчи один или несколько раз. В частности, определите ^[13]

${\displaystyle F_{n}^{(0)}=F_{n}}$

и

${\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(r)}}$

Первые несколько последовательностей:

${\displaystyle r=1}$: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … (последовательность A001629 в OEIS ).

${\displaystyle r=2}$: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … (последовательность A001628 в OEIS ).

${\displaystyle r=3}$: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … (последовательность A001872 в OEIS ).

Последовательности можно рассчитать с помощью рекуррентности

${\displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}}$

Производящая функция th- й свертки равна ${\displaystyle r}$

${\displaystyle s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac {x}{1-x-x^{2}}}\right)^{r}.}$

Последовательности связаны с последовательностью полиномов Фибоначчи соотношением

${\displaystyle F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)}$

где - производная th от . Эквивалентно, - коэффициент при разложении по степеням .${\displaystyle F_{n}^{(r)}(x)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle F_{n}(x)}$${\displaystyle F_{n}^{(r)}}$${\displaystyle (x-1)^{r}}$${\displaystyle F_{x}(x)}$${\displaystyle (x-1)}$

Первую свертку можно записать в терминах чисел Фибоначчи и Люка как${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$

${\displaystyle F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}}$

и следует за повторением

${\displaystyle F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1)}-F_{n-3}^{(1)}.}$

Аналогичные выражения можно найти для с возрастающей сложностью по мере увеличения. Числа являются суммами строк треугольника Хосои .${\displaystyle r>1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$

Как и в случае с числами Фибоначчи, существует несколько комбинаторных интерпретаций этих последовательностей. Например, это число способов, которыми можно записать в виде упорядоченной суммы, включающей только 0, 1 и 2, где 0 используется ровно один раз. В частности, и 2 можно записать как 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 . ^[14]${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle F_{4}^{(1)}=5}$

Полиномы Фибоначчи являются еще одним обобщением чисел Фибоначчи.

Последовательность Падована генерируется с помощью рекуррентности .${\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}$

Последовательность коров Нараяны генерируется с помощью рекуррентности .${\displaystyle N(k)=N(k-1)+N(k-3)}$

Случайную последовательность Фибоначчи можно определить, подбрасывая монету для каждой позиции последовательности и принимая во внимание, выпадает ли орел или решка. Работа Фюрстенберга и Кестена гарантирует, что эта последовательность почти наверняка растет экспоненциально с постоянной скоростью: константа не зависит от подбрасываний монеты и была вычислена в 1999 году Дивакаром Вишванатом. Теперь она известна как константа Вишваната .${\displaystyle n}$${\displaystyle F(n)=F(n-1)+F(n-2)}$${\displaystyle F(n)=F(n-1)-F(n-2)}$

Repfigit , или число Кейта , — это целое число, такое, что когда его цифры начинают последовательность Фибоначчи с этим количеством цифр, в конечном итоге достигается исходное число. Примером является 47, потому что последовательность Фибоначчи, начинающаяся с 4 и 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47), достигает 47. Repfigit может быть последовательностью трибоначчи, если в числе 3 цифры, числом тетраначчи, если число состоит из четырех цифр, и т. д. Первые несколько repfigit:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, … (последовательность A007629 в OEIS )

Поскольку множество последовательностей, удовлетворяющих отношению, замкнуто относительно почленного сложения и почленного умножения на константу, его можно рассматривать как векторное пространство . Любая такая последовательность однозначно определяется выбором двух элементов, поэтому векторное пространство является двумерным . Если мы сократим такую ​​последовательность как , то последовательность Фибоначчи и сдвинутая последовательность Фибоначчи , как видно, образуют каноническую основу для этого пространства, что приводит к тождеству:${\displaystyle S(n)=S(n-1)+S(n-2)}$${\displaystyle (S(0),S(1))}$${\displaystyle F(n)=(0,1)}$${\displaystyle F(n-1)=(1,0)}$

${\displaystyle S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)}$

для всех таких последовательностей S. Например, если S — это последовательность Лукаса 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , то мы получаем

${\displaystyle L(n)=2F(n-1)+F(n)}$.

Мы можем определить N -генерированную последовательность Фибоначчи (где N — положительное рациональное число ): если

${\displaystyle N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{a_{r}},}$

где p _r — r -е простое число, тогда мы определяем

${\displaystyle F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n-3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...}$

Если , то , и если , то . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle n=r-1}$${\displaystyle F_{N}(n)=1}$${\displaystyle n<r-1}$${\displaystyle F_{N}(n)=0}$

Последовательность	Н	последовательность OEIS
Последовательность Фибоначчи	6	А000045
последовательность Пелля	12	А000129
последовательность Якобсталя	18	А001045
Последовательность коров Нараяны	10	А000930
последовательность Падована	15	А000931
Последовательность Пелля третьего порядка	20	А008998
Последовательность Трибоначчи	30	А000073
Последовательность Тетраначчи	210	А000288

Полупоследовательность Фибоначчи (последовательность A030067 в OEIS ) определяется с помощью той же рекурсии для нечетно-индексированных членов и , но для четных индексов , . Бисекция A030068 нечетно-индексированных членов, таким образом, проверяет и строго возрастает . Это дает набор получисел Фибоначчи${\displaystyle a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)}$${\displaystyle a(1)=1}$${\displaystyle a(2n)=a(n)}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle s(n)=a(2n-1)}$${\displaystyle s(n+1)=s(n)+a(n)}$

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... (последовательность A030068 в OEIS )

которые происходят как${\displaystyle s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,...\,.}$

• «Число Трибоначчи», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]