Треугольник Хосои

Треугольник Хосоя или треугольник Хосоя (первоначально треугольник Фибоначчи ; OEIS : A058071 ) — это треугольное расположение чисел (подобно треугольнику Паскаля ), основанное на числах Фибоначчи . Каждое число является суммой двух чисел, расположенных выше либо по левой, либо по правой диагонали. ^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\2\quad 1\quad 2\\3\quad 2\quad 2\quad 3\\5\quad 3\quad 4\quad 3\quad 5\\8\quad 5\quad 6\quad 6\quad 5\quad 8\\13\quad 8\quad 10\quad 9\quad 10\quad 8\quad 13\\21\quad 13\quad 16\quad 15\quad 15\quad 16\quad 13\quad 21\\34\quad 21\quad 26\quad 24\quad 25\quad 24\quad 26\quad 21\quad 34\\55\quad 34\quad 42\quad 39\quad 40\quad 40\quad 39\quad 42\quad 34\quad 55\\89\quad 55\quad 68\quad 63\quad 65\quad 64\quad 65\quad 63\quad 68\quad 55\quad 89\\144\quad 89\quad 110\quad 102\quad 105\quad 104\quad 104\quad 105\quad 102\quad 110\quad 89\quad 144\\\end{array}}}$

Диаграмма, показывающая первые 12 рядов треугольника Хосои.

Название «треугольник Фибоначчи» также использовалось для треугольников, составленных из чисел Фибоначчи или связанных с ними чисел ^[2] , или треугольников со сторонами Фибоначчи и целой площадью ^[3] , поэтому оно неоднозначно.

Числа в этом треугольнике подчиняются рекуррентным соотношениям

${\displaystyle Н(0,0)=Н(1,0)=Н(1,1)=Н(2,1)=1}$

и

${\displaystyle {\begin{align}H(n,j)&=H(n-1,j)+H(n-2,j)\\&=H(n-1,j-1)+H(n-2,j-2).\end{align}}}$

Элементы треугольника удовлетворяют тождеству

${\displaystyle H(n,i)=F(i+1)\cdot F(n-i+1)}$

Таким образом, две крайние диагонали являются числами Фибоначчи, в то время как числа на средней вертикальной линии являются квадратами чисел Фибоначчи. Все остальные числа в треугольнике являются произведением двух различных чисел Фибоначчи, больших 1. Суммы строк являются первыми свернутыми числами Фибоначчи . ^[4]