Коэффициент суперсеребра

Коэффициент суперсеребра

Суперсеребряный прямоугольник содержит две масштабированные копии самого себя, ς = ((ς - 1) 2 + 2(ς - 1) + 1) / ς
Рациональность	иррациональный алгебраический
Символ	ς
Представления
Десятичная дробь	2.20556 94304 00590 31170 20286 ...
Алгебраическая форма	действительный корень из x 3 = 2 x 2 + 1
Цепная дробь (линейная)	[2;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,...] непериодическое бесконечное

В математике отношение суперсеребра представляет собой геометрическую пропорцию, близкую к 75/34 . Его истинное значение — это действительное решение уравнения x ³ = 2 x ² + 1.

Название «суперсеребряное отношение» происходит от аналогии с серебряным отношением , положительным решением уравнения x ² = 2 x + 1 и суперзолотым отношением .

Две величины a > b > 0 находятся в квадратном отношении суперсеребра, если отношение здесь обозначается ⁠ ⁠$${\displaystyle \left({\frac {2a+b}{a}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}.}$$${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}}$${\displaystyle \varsigma .}$

Исходя из этого определения, можно сказать,$${\displaystyle {\begin{aligned}1&=\left({\frac {2a+b}{a}}\right)^{2}{\frac {b}{a}}\\&=\left({\frac {2a+b}{a}}\right)^{2}\left({\frac {2a+b}{a}}-2\right)\\&\подразумевает \varsigma ^{2}\left(\varsigma -2\right)=1\end{aligned}}}$$

Отсюда следует, что отношение суперсеребра находится как единственное действительное решение кубического уравнения. Десятичное разложение корня начинается как (последовательность A356035 в OEIS ).${\displaystyle \varsigma ^{3}-2\varsigma ^{2}-1=0.}$${\displaystyle 2.205\,569\,430\,400\,590...}$

Минимальный многочлен для обратного корня — это пониженный кубический многочлен, поэтому простейшее решение — это формула Кардано , или, используя гиперболический синус ,${\displaystyle x^{3}+2x-1,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1,2}&=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {59}{3}}}\right)/2\\1/\varsigma &={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle 1/\varsigma =-2{\sqrt {\frac {2}{3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left(-{\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)\right).}$

⁠ ⁠${\displaystyle 1/\varsigma }$ — сверхстабильная неподвижная точка итерации${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}+2).}$

Перепишите минимальный многочлен как , тогда итерация приведет к продолженному радикалу${\displaystyle (x^{2}+1)^{2}=1+x}$${\displaystyle x\gets {\sqrt {-1+{\sqrt {1+x}}}}}$

${\displaystyle 1/\varsigma ={\sqrt {-1+{\sqrt {1+{\sqrt {-1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}\;}$^[1]

Разделив определяющий трехчлен на ⁠ ⁠, получаем , а сопряженные элементы ⁠ ⁠ имеют вид и${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-1}$${\displaystyle x-\varsigma }$${\displaystyle x^{2}+x/\varsigma ^{2}+1/\varsigma }$${\displaystyle \varsigma }$$${\displaystyle x_{1,2}=\left(-1\pm i{\sqrt {8\varsigma ^{2}+3}}\right)/2\varsigma ^{2},}$$${\displaystyle x_{1}+x_{2}=2-\varsigma \;}$${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\varsigma .}$

Скорость роста среднего значения n-го члена случайной последовательности Фибоначчи равна ⁠ ⁠${\displaystyle \varsigma -1}$ . ^[2]

Определяющее уравнение можно записать$${\displaystyle {\begin{aligned}1&={\frac {1}{\varsigma -1}}+{\frac {1}{\varsigma ^{2}+1}}\\&={\frac {1}{\varsigma }}+{\frac {\varsigma -1}{\varsigma +1}}+{\frac {\varsigma -2}{\varsigma -1}}.\end{aligned}}}$$

Коэффициент суперсеребра можно выразить через саму себя в виде дробей$${\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma &={\frac {\varsigma }{\varsigma -1}}+{\frac {\varsigma -1}{\varsigma +1}}\\\varsigma ^{2}&={\frac {1}{\varsigma -2}}.\end{aligned}}}$$

Аналогично бесконечной геометрической прогрессии$${\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma &=2\sum _{n=0}^{\infty }\varsigma ^{-3n}\\\varsigma ^{2}&=-1+\sum _{n=0}^{\infty }(\varsigma -1)^{-n},\end{aligned}}}$$

по сравнению с серебряным отношением тождеств$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=2\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-2n}\\\sigma ^{2}&=-1+2\sum _{n=0}^{\infty }(\sigma -1)^{-n}.\end{aligned}}}$$

Для каждого целого числа ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ имеем Отсюда можно найти бесконечное множество дальнейших соотношений.$${\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma ^{n}&=2\varsigma ^{n-1}+\varsigma ^{n-3}\\&=4\varsigma ^{n-2}+\varsigma ^{n-3}+2\varsigma ^{n-4}\\&=\varsigma ^{n-1}+2\varsigma ^{n-2}+\varsigma ^{n-3}+\varsigma ^{n-4}\end{aligned}}}$$

Непрерывная дробная модель нескольких малых степеней$${\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma ^{-2}&=[0;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,...]\approx 0.2056\;(5/24)\\\varsigma ^{-1}&=[0;2,4,1,6,2,1,1,1,1,1,...]\approx 0.4534\;(5/11)\\\varsigma ^{0}&=[1]\\\varsigma ^{1}&=[2;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,...]\approx 2.2056\;(53/24)\\\varsigma ^{2}&=[4;1,6,2,1,1,1,1,1,1,2,...]\approx 4.8645\;(73/15)\\\varsigma ^{3}&=[10;1,2,1,2,4,4,2,2,6,2,...]\approx 10.729\;(118/11)\end{aligned}}}$$

Коэффициент суперсеребра — это число Пизо . ^[3] Поскольку абсолютное значение алгебраических сопряженных чисел меньше 1, степени ⁠ ⁠ генерируют почти целые числа . Например: После десяти шагов вращения фазы внутренней спиральной сопряженной пары — изначально близкие к ⁠ ⁠ — почти совпадают с мнимой осью.${\displaystyle 1/{\sqrt {\varsigma }}}$${\displaystyle \varsigma }$${\displaystyle \varsigma ^{10}=2724.00146856...\approx 2724+1/681.}$${\displaystyle \pm 45\pi /82}$

Минимальный многочлен отношения суперсеребряного имеет дискриминант и факторы в мнимом квадратичном поле имеют число классов ⁠ ⁠ Таким образом, поле классов Гильберта ⁠ ⁠ может быть образовано присоединением ⁠ ⁠ ^[4] С аргументом генератор для кольца целых чисел ⁠ ⁠ , действительный корень j ( τ ) многочлена классов Гильберта задается как ^{[5] [6]}${\displaystyle m(x)=x^{3}-2x^{2}-1}$ ${\displaystyle \Delta =-59}$${\displaystyle (x-21)^{2}(x-19){\pmod {59}};\;}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$ ${\displaystyle h=3.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \varsigma .}$${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (\varsigma ^{-6}-27\varsigma ^{6}-6)^{3}.}$

Инвариант класса Вебера-Рамануджана аппроксимируется с погрешностью < 3,5 ∙ 10 ⁻²⁰ выражением

${\displaystyle {\sqrt {2}}\,{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})={\sqrt[{4}]{2}}\,G_{59}\approx (e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}+24)^{1/24},}$

в то время как его истинное значение — это единственный действительный корень многочлена

${\displaystyle W_{59}(x)=x^{9}-4x^{8}+4x^{7}-2x^{6}+4x^{5}-8x^{4}+4x^{3}-8x^{2}+16x-8.}$

Эллиптическое интегральное сингулярное значение ^[7] имеет замкнутую форму выражения${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r){\text{ for }}r=59}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(59)=\sin(\arcsin \left(G_{59}^{-12}\right)/2)}$

(что составляет менее 1/294 эксцентриситета орбиты Венеры).

Эти числа связаны с коэффициентом содержания суперсеребра так же, как числа Пелля и числа Пелла-Лукаса связаны с коэффициентом содержания серебра .

Фундаментальная последовательность определяется рекуррентным соотношением третьего порядка с начальными значениями$${\displaystyle S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-3}{\text{ for }}n>2,}$$$${\displaystyle S_{0}=1,S_{1}=2,S_{2}=4.}$$

Первые несколько членов — 1, 2, 4, 9, 20, 44, 97, 214, 472, 1041, 2296, 5064,... (последовательность A008998 в OEIS ). Предельное отношение между последовательными членами — это отношение суперсеребра.

Первые 8 индексов n, для которых ⁠ ⁠${\displaystyle S_{n}}$ является простым числом, это n = 1, 6, 21, 114, 117, 849, 2418, 6144. Последнее число имеет 2111 десятичных цифр.

Последовательность может быть расширена до отрицательных индексов с помощью$${\displaystyle S_{n}=S_{n+3}-2S_{n+2}.}$$

Производящая функция последовательности определяется выражением

${\displaystyle {\frac {1}{1-2x-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}{\text{ for }}x<1/\varsigma \;.}$^[8]

Числа Пелля третьего порядка связаны с суммами биномиальных коэффициентов соотношением

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }{n-2k \choose k}\cdot 2^{n-3k}\;}$. ^[9]

Характеристическое уравнение рекуррентности имеет вид Если три решения представляют собой действительный корень ⁠ ⁠ и сопряженную пару ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ , то суперсеребряные числа можно вычислить с помощью формулы Бине${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-1=0.}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle S_{n-2}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n},}$с действительными ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ и сопряженными ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ корнями${\displaystyle 59x^{3}+4x-1=0.}$

Так как и число ⁠ ⁠ является ближайшим целым числом к ​​при n ≥ 0 и 0,17327 02315 50408 18074 84794...${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/\alpha ^{n/2}}$${\displaystyle \alpha =\varsigma ,}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle a\,\varsigma ^{n+2},}$${\displaystyle a=\varsigma /(2\varsigma ^{2}+3)=}$

Коэффициенты приводят к формуле Бине для соответствующей последовательности${\displaystyle a=b=c=1}$${\displaystyle A_{n}=S_{n}+2S_{n-3}.}$

Первые несколько членов — 3, 2, 4, 11, 24, 52, 115, 254, 560, 1235, 2724, 6008,... (последовательность A332647 в OEIS ).

Эта последовательность Пелля-Лукаса третьего порядка имеет свойство Ферма : если p — простое число, Обратное не выполняется, но малое количество нечетных псевдопростых чисел делает последовательность особенной. 14 нечетных составных чисел ниже 10 ⁸ , которые должны пройти тест, это n = 3 ² , 5 ² , 5 ³ , 315, 99297, 222443, 418625, 9122185, 3257 ² , 11889745, 20909625, 24299681, 64036831, 76917325. ^[10]${\displaystyle A_{p}\equiv A_{1}{\bmod {p}}.}$ ${\displaystyle \,n\mid (A_{n}-2)}$

Числа Пелля третьего порядка получаются как целые степени n > 3 матрицы с действительным собственным значением ⁠ ⁠${\displaystyle \varsigma }$ $${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}2&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}S_{n}&S_{n-2}&S_{n-1}\\S_{n-1}&S_{n-3}&S_{n-2}\\S_{n-2}&S_{n-4}&S_{n-3}\end{pmatrix}}}$$

След ⁠ ⁠ дает вышеизложенное ⁠ ⁠​${\displaystyle Q^{n}}$${\displaystyle A_{n}.}$

Альтернативно, ⁠ ⁠${\displaystyle Q}$ можно интерпретировать как матрицу инцидентности для системы D0L Линденмайера на алфавите ⁠ ⁠${\displaystyle \{a,b,c\}}$ с соответствующим правилом подстановки и инициатором ⁠ ⁠ . Ряд слов ⁠ ⁠, полученный путем итерации подстановки, обладает тем свойством, что количество c, b и a равно последовательным числам Пелля третьего порядка. Длины этих слов задаются как ^[11]$${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;aab\\b\;\mapsto \;c\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$$${\displaystyle w_{0}=b}$${\displaystyle w_{n}}$${\displaystyle l(w_{n})=S_{n-2}+S_{n-3}+S_{n-4}.}$

С этим процессом переписывания строк связан компактный набор, состоящий из самоподобных плиток, называемый фракталом Рози , который визуализирует комбинаторную информацию, содержащуюся в многопоточной трехбуквенной последовательности. ^[12]

Дан прямоугольник высотой 1 , длиной ⁠ ⁠${\displaystyle \varsigma }$ и длиной диагонали. Треугольники на диагонали имеют высоты, каждая перпендикулярная ножка делит диагональ в отношении ⁠ ⁠ .${\displaystyle \varsigma {\sqrt {\varsigma -1}}.}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\varsigma -1}}\,;}$${\displaystyle \varsigma ^{2}}$

С правой стороны отрежьте квадрат со стороной 1 и отметьте пересечение с падающей диагональю. Оставшийся прямоугольник теперь имеет соотношение сторон (согласно ). Разделите исходный прямоугольник на четыре части вторым, горизонтальным разрезом, проходящим через точку пересечения. ^[13]${\displaystyle 1+1/\varsigma ^{2}:1}$${\displaystyle \varsigma =2+1/\varsigma ^{2}}$

Исходный прямоугольник из суперсеребряного сплава и две его масштабированные копии по диагонали имеют линейные размеры в соотношениях Площади прямоугольников, расположенных напротив диагонали, равны с соотношениями сторон (внизу) и (вверху).${\displaystyle \varsigma :\varsigma -1:1.}$${\displaystyle (\varsigma -1)/\varsigma ,}$${\displaystyle \varsigma (\varsigma -1)}$${\displaystyle \varsigma /(\varsigma -1)}$

Если диаграмму далее разделить перпендикулярными линиями, проходящими через основания высот, то длины диагонали и ее семи отдельных подсекторов будут находиться в соотношениях${\displaystyle \varsigma ^{2}+1:\varsigma ^{2}:\varsigma ^{2}-1:\varsigma +1:}$ ${\displaystyle \,\varsigma (\varsigma -1):\varsigma :2/(\varsigma -1):1.}$

Спираль суперсеребра — это логарифмическая спираль , которая становится шире в ⁠ ⁠${\displaystyle \varsigma }$ раз за каждую четверть оборота. Она описывается полярным уравнением с начальным радиусом ⁠ ⁠ и параметром Если начертить спираль на прямоугольнике суперсеребра, то полюс спирали будет у основания высоты треугольника на диагонали, а ее вершины будут проходить через прямоугольники с соотношением сторон , которые перпендикулярны и последовательно масштабируются в множитель${\displaystyle r(\theta )=a\exp(k\theta ),}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k={\frac {2\ln(\varsigma )}{\pi }}.}$${\displaystyle \varsigma (\varsigma -1)}$${\displaystyle 1/\varsigma .}$

• Решения уравнений, подобных :${\displaystyle x^{3}=2x^{2}+1}$
  • Серебряный коэффициент – единственное положительное решение уравнения${\displaystyle x^{2}=2x+1}$
  • Золотое сечение – единственное положительное решение уравнения${\displaystyle x^{2}=x+1}$
  • Суперзолотое сечение – единственное реальное решение уравнения${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$