Суперзолотое сечение

Суперзолотое сечение

Суперзолотой прямоугольник содержит три свои масштабированные копии: ψ = ψ −1 + 2 ψ −3 + ψ −5.
Рациональность	иррациональный алгебраический
Символ	ψ
Представления
Десятичная дробь	1.46557 12318 76768 02665 67312 ...
Алгебраическая форма	действительный корень из x 3 = x 2 + 1
Цепная дробь (линейная)	[1;2,6,1,3,5,4,22,1,1,4,1,2,84,...] непериодическое бесконечное

В математике суперзолотое сечение — геометрическая пропорция, близкая к 85/58 . Его истинное значение — это действительное решение уравнения x ³ = x ² + 1.

Название «суперзолотое сечение» происходит от аналогии с золотым сечением — положительным решением уравнения x ² = x + 1.

Две величины a > b > 0 находятся в квадрате суперзолотого сечения, если

${\displaystyle \left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}}$.

Отношение обычно обозначается ⁠ ⁠${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}}$${\displaystyle \пси .}$

Исходя из этого определения, можно сказать,

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=\left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}{\frac {b}{a}}\\&=\left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}\left({\frac {a+b}{a}}-1\right)\\&\подразумевает \psi ^{2}\left(\psi -1\right)=1\end{aligned}}}$

Отсюда следует, что суперзолотое сечение находится как единственное действительное решение кубического уравнения. Десятичное разложение корня начинается как (последовательность A092526 в OEIS ).${\displaystyle \psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0.}$${\displaystyle 1.465\,571\,231\,876\,768...}$

Минимальный многочлен для обратного корня — это пониженный кубический многочлен , ^[2] таким образом, простейшее решение с формулой Кардано ,${\displaystyle x^{3}+x-1}$

${\displaystyle w_{1,2}=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {31}{3}}}\right)/2}$

${\displaystyle 1/\psi = {\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}}$

или, используя гиперболический синус ,

${\displaystyle 1/\psi ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).}$

⁠ ⁠${\displaystyle 1/\psi}$ — сверхстабильная неподвижная точка итерации .${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}+1)}$

Итерация приводит к продолжению радикального${\displaystyle x\gets {\sqrt[{3}]{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle \psi ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+\cdots }}}}}}}$ ^[3]

Разделив определяющий трехчлен на ⁠ ⁠, получаем , а сопряженные элементы ⁠ ⁠ равны${\displaystyle x^{3}-x^{2}-1}$${\displaystyle x-\psi }$${\displaystyle x^{2}+x/\psi ^{2}+1/\psi }$${\displaystyle \пси}$

${\displaystyle x_{1,2}=\left(-1\pm i{\sqrt {4\psi ^{2}+3}}\right)/2\psi ^{2},}$

с и${\displaystyle x_{1}+x_{2}=1-\psi \;}$${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\psi .}$

Многие свойства ⁠ ⁠${\displaystyle \пси}$ связаны с золотым сечением ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi}$ . Например, суперзолотое сечение может быть выражено через само себя как бесконечная геометрическая прогрессия  ^[4]

${\displaystyle \psi =\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{-3n}}$и${\displaystyle \,\psi ^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{-7n},}$

по сравнению с золотым сечением тождества

${\displaystyle \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}}$и наоборот .

Кроме того, в то время как${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{7}\psi ^{-n}=3.}$

Для каждого целого числа имеется${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-3}\\&=\psi ^{n-2}+\psi ^ {n-3}+\psi ^{n-4}\\&=\psi ^{n-2}+2\psi ^{n-4}+\psi ^{n-6}.\end{aligned }}}$

Аргумент удовлетворяет тождеству ^[5]${\displaystyle \;\theta =\operatorname {arcsec}(2\psi ^{4})\;}$${\displaystyle \;\tan(\theta )-4\sin(\theta )=3{\sqrt {3}}.}$

Непрерывная дробная модель нескольких малых степеней

${\displaystyle \psi ^{-1}=[0;1,2,6,1,3,5,4,22,...]\приблизительно 0,6823}$( 13/19 )

${\displaystyle \ \psi ^{0}=[1]}$

${\displaystyle \ \psi ^{1}=[1;2,6,1,3,5,4,22,1,...]\приблизительно 1,4656}$( 22/15 )

${\displaystyle \ \psi ^{2}=[2;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\приблизительно 2,1479}$( 15/7 )

${\displaystyle \ \psi ^{3}=[3;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\приблизительно 3,1479}$( 22/7 )

${\displaystyle \ \psi ^{4}=[4;1,1,1,1,2,2,1,2,2,...]\приблизительно 4,6135}$( 60/13 )

${\displaystyle \ \psi ^{5}=[6;1,3,5,4,22,1,1,4,...]\приблизительно 6,7614}$( 115/17 )

Примечательно, что непрерывная дробь ⁠ ⁠${\displaystyle \psi^{2}}$ начинается как перестановка первых шести натуральных чисел; следующий член равен их сумме + 1.

Суперзолотое сечение — четвертое наименьшее число Пизо . ^[6] Поскольку абсолютное значение алгебраических сопряженных чисел меньше 1, степени ⁠ ⁠ генерируют почти целые числа . Например: . После одиннадцати шагов вращения фазы внутренней спиральной сопряженной пары — изначально близкие к ⁠ ⁠ — почти совпадают с мнимой осью.${\displaystyle 1/{\sqrt {\psi }}}$${\displaystyle \пси}$${\displaystyle \psi ^{11}=67,000222765...\приблизительно 67+1/4489}$${\displaystyle \pm 13\пи /22}$

Минимальный многочлен суперзолотого сечения имеет дискриминант . Поле классов Гильберта мнимого квадратичного поля может быть образовано присоединением ⁠ ⁠ . С аргументом генератор для кольца целых чисел ⁠ ⁠ , есть специальное значение Дедекинда эта- частного${\displaystyle m(x)=x^{3}-x^{2}-1}$ ${\displaystyle \Дельта =-31}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \psi ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}}$.

Выражено в терминах инварианта класса Вебера-Рамануджана G _n

${\displaystyle \psi ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{31}}{\sqrt[{4}]{2}}}}$. ^[7]

Свойства соответствующего инварианта Клейна j ⁠ ⁠${\displaystyle j(\tau )}$ приводят к почти идентичности . Разница составляет < 1/143092 .${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\psi \right)^{24}-24}$

Эллиптическое интегральное сингулярное значение ^[8] для ⁠ ⁠ имеет замкнутую форму выражения${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r)}$${\displaystyle r=31}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(31)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\psi )^{-12}\right)/2)}$

(что составляет менее 1/10 эксцентриситета орбиты Венеры).

Коровы Нараяны — это рекуррентная последовательность , возникшая из задачи, предложенной индийским математиком XIV века Нараяной Пандитой . ^[9] Он спросил о количестве коров и телят в стаде через 20 лет, начиная с одной коровы в первый год, где каждая корова рожает одного теленка каждый год, начиная с трехлетнего возраста.

Последовательность Нараяны тесно связана с последовательностями Фибоначчи и Падована и играет важную роль в кодировании данных, криптографии и комбинаторике. Количество композиций n на части 1 и 3 подсчитывается n- ым числом Нараяны.

Последовательность Нараяны определяется рекуррентным соотношением третьего порядка

${\displaystyle N_{n}=N_{n-1}+N_{n-3}}$для n > 2 ,

с начальными значениями

${\displaystyle N_{0}=N_{1}=N_{2}=1}$.

Первые несколько членов — 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88,... (последовательность A000930 в OEIS ). Предельное соотношение между последовательными членами — это суперзолотое сечение.

Первые 11 индексов n, для которых является простым числом, это n = 3, 4, 8, 9, 11, 16, 21, 25, 81, 6241, 25747 (последовательность A170954 в OEIS ). Последнее число имеет 4274 десятичных цифры.${\displaystyle N_{n}}$

Последовательность может быть расширена до отрицательных индексов с помощью

${\displaystyle N_{n}=N_{n+3}-N_{n+2}}$.

Производящая функция последовательности Нараяны определяется выражением

${\displaystyle {\frac {1}{1-x-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n}x^{n}}$для${\displaystyle x<1/\psi }$

Числа Нараяны связаны с суммами биномиальных коэффициентов соотношением

${\displaystyle N_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }{n-2k \choose k}}$.

Характеристическое уравнение рекуррентности . Если три решения представляют собой действительный корень ⁠ ⁠ и сопряженную пару ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ , числа Нараяны можно вычислить с помощью формулы Бине ^[10]${\displaystyle x^{3}-x^{2}-1=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle N_{n-2}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}}$, с действительными ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ и сопряженными ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ корнями .${\displaystyle 31x^{3}+x-1=0}$

Так как и , то число ⁠ ⁠ является ближайшим целым числом к ​​, при этом n ≥ 0 и 0,28469 30799 75318 50274 74714...${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}}$${\displaystyle \alpha =\psi }$${\displaystyle N_{n}}$${\displaystyle a\,\psi ^{n+2}}$${\displaystyle a=\psi /(\psi ^{2}+3)=}$

Коэффициенты приводят к формуле Бине для соответствующей последовательности .${\displaystyle a=b=c=1}$${\displaystyle A_{n}=N_{n}+2N_{n-3}}$

Первые несколько членов — 3, 1, 1, 4, 5, 6, 10, 15, 21, 31, 46, 67, 98, 144,... (последовательность A001609 в OEIS ).

Эта анонимная последовательность обладает свойством Ферма : если p — простое число, . Обратное не верно, но небольшое количество нечетных псевдопростых чисел делает последовательность особенной. ^[11] 8 нечетных составных чисел ниже 10 ^{8 ,} которые должны пройти тест, — это n = 1155, 552599, 2722611, 4822081, 10479787, 10620331, 16910355, 66342673.${\displaystyle A_{p}\equiv A_{1}{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle \,n\mid (A_{n}-1)}$

Числа Нараяны получаются как целые степени n > 3 матрицы с действительным собственным значением ⁠ ⁠ ^[9 ] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}N_{n}&N_{n-2}&N_{n-1}\\N_{n-1}&N_{n-3}&N_{n-2}\\N_{n-2}&N_{n-4}&N_{n-3}\end{pmatrix}}}$

След ⁠ ⁠ дает вышесказанное ⁠ ⁠ .​${\displaystyle Q^{n}}$${\displaystyle A_{n}}$

В качестве альтернативы, ⁠ ⁠${\displaystyle Q}$ можно интерпретировать как матрицу инцидентности для системы Линденмайера D0L на алфавите ⁠ ⁠ с соответствующим правилом подстановки${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;ab\\b\;\mapsto \;c\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$

и инициатор ⁠ ⁠${\displaystyle w_{0}=b}$ . Ряд слов ⁠ ⁠,${\displaystyle w_{n}}$ полученный путем итерации подстановки, обладает тем свойством, что количество c, b и a равно последовательным числам Нараяны. Длины этих слов равны${\displaystyle l(w_{n})=N_{n}.}$

С этим процессом переписывания строк связан компактный набор, состоящий из самоподобных плиток, называемый фракталом Рози , который визуализирует комбинаторную информацию, содержащуюся в многопоточной трехбуквенной последовательности. ^[12]

Суперзолотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в ⁠ ⁠${\displaystyle \psi :1}$ отношении. По сравнению с золотым прямоугольником , суперзолотой прямоугольник имеет на одну степень самоподобия больше .

Дан прямоугольник высотой 1 , длиной ⁠ ⁠${\displaystyle \psi }$ и длиной диагонали (согласно ). Треугольники на диагонали имеют высоты, каждая перпендикулярная ножка делит диагональ в отношении ⁠ ⁠ .${\displaystyle {\sqrt {\psi ^{3}}}}$${\displaystyle 1+\psi ^{2}=\psi ^{3}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\psi }}\,;}$${\displaystyle \psi ^{2}}$

С левой стороны отрежьте квадрат со стороной 1 и отметьте пересечение с падающей диагональю. Оставшийся прямоугольник теперь имеет соотношение сторон (согласно ). Разделите исходный прямоугольник на четыре части вторым, горизонтальным разрезом, проходящим через точку пересечения. ^{[13] [4]}${\displaystyle \psi ^{2}:1}$${\displaystyle \psi -1=\psi ^{-2}}$

Прямоугольник под диагональю имеет соотношение сторон ⁠ ⁠${\displaystyle \psi ^{3}}$ , остальные три — суперзолотые прямоугольники, а четвертый — между подножиями высот. Исходный прямоугольник и четыре масштабированные копии имеют линейные размеры в соотношениях площади прямоугольников, противоположных диагонали, оба равны ⁠ ⁠${\displaystyle \psi ^{3}:\psi ^{2}:\psi :\psi ^{2}-1:1,}$${\displaystyle 1/\psi ^{3}.}$

В суперзолотом прямоугольнике над диагональю процесс повторяется в масштабе ⁠ ⁠${\displaystyle 1:\psi ^{2}}$ .

• Решения уравнений, подобных :${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$
  • Золотое сечение – единственное положительное решение уравнения${\displaystyle x^{2}=x+1}$
  • Коэффициент пластичности – единственное реальное решение уравнения${\displaystyle x^{3}=x+1}$
  • Коэффициент суперсеребра – единственное реальное решение уравнения${\displaystyle x^{3}=2x^{2}+1}$