Модульное уравнение
Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . ( май 2024 г. ) |
В математике модулярное уравнение — это алгебраическое уравнение , которому удовлетворяют модули , [1] в смысле модульных проблем . То есть, если задано несколько функций на модульном пространстве , модулярное уравнение — это уравнение, выполняющееся между ними, или, другими словами, тождество для модулей.
Наиболее часто термин «модулярное уравнение» используется в связи с проблемой модулей для эллиптических кривых . В этом случае само пространство модулей имеет размерность один. Это подразумевает, что любые две рациональные функции F и G в функциональном поле модулярной кривой будут удовлетворять модулярному уравнению P ( F , G ) = 0, где P — ненулевой многочлен двух переменных над комплексными числами . Для подходящего невырожденного выбора F и G уравнение P ( X , Y ) = 0 фактически будет определять модулярную кривую.
Это можно охарактеризовать, сказав, что P в худшем случае будет иметь высокую степень, а плоская кривая, которую она определяет, будет иметь особые точки ; и коэффициенты P могут быть очень большими числами. Кроме того, «каспы» проблемы модулей, которые являются точками модульной кривой , не соответствующими честным эллиптическим кривым , а вырожденным случаям, могут быть трудно считываемыми из знания P.
В этом смысле модулярное уравнение становится уравнением модулярной кривой . Такие уравнения впервые возникли в теории умножения эллиптических функций (геометрически, n 2 -кратное накрывающее отображение из 2- тора в себя, заданное отображением x → n · x на базовой группе), выраженное в терминах комплексного анализа .
Смотрите также
Ссылки
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Модулярное уравнение». MathWorld .
