Поверхность общего типа

В алгебраической геометрии поверхность общего типа — это алгебраическая поверхность с размерностью Кодаиры  2. В силу теоремы Чжоу любое компактное комплексное многообразие размерности 2 и с размерностью Кодаиры 2 фактически будет алгебраической поверхностью, и в некотором смысле большинство поверхностей относятся к этому классу.

Гизекер показал, что существует грубая схема модулей для поверхностей общего типа; это означает, что для любых фиксированных значений чисел Черна существует квазипроективная схема, классифицирующая поверхности общего типа с этими числами Черна. Явное описание этих схем остается очень сложной проблемой, и существует несколько пар чисел Черна, для которых это было сделано (за исключением случаев, когда схема пуста). Есть некоторые признаки того, что эти схемы в целом слишком сложны, чтобы записать их явно: известные верхние границы для числа компонентов очень велики, некоторые компоненты могут быть нередуцированными везде, компоненты могут иметь много различных измерений, а немногие части, которые были изучены явно, имеют тенденцию выглядеть довольно сложными.${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2},}$

Изучение того, какие пары чисел Черна могут встречаться для поверхности общего типа, известно как «география чисел Черна " и на этот вопрос есть почти полный ответ. Существует несколько условий, которым должны удовлетворять числа Черна минимальнойкомплексной поверхности общего типа:

• ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}}}$(так как он равен 12χ)
• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}\geqslant 0}$
• ${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}$( неравенство Богомолова-Мияока-Яу )
• ${\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 12q\geqslant 0}$где q — неровность поверхности ( неравенство Нётер ).

Многие (а возможно и все) пары целых чисел, удовлетворяющие этим условиям, являются числами Черна для некоторой комплексной поверхности общего типа. Напротив, для почти комплексных поверхностей единственным ограничением является:

${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}},}$

и это всегда можно осуществить. ^[1]

Это лишь небольшая выборка из довольно большого числа примеров поверхностей общего типа, которые были найдены. Многие из исследованных поверхностей общего типа лежат на (или около) краях области возможных чисел Черна. В частности, поверхности Хорикавы лежат на или около "линии Нётер", многие из перечисленных ниже поверхностей лежат на линии минимально возможного значения для общего типа, а поверхности на линии являются частными единичного шара в C2 (и их особенно трудно найти) ^.${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}=12\хи =12,}$${\displaystyle 3c_{2}=c_{1}^{2}}$

Эти поверхности, которые расположены в "нижней левой" границе на диаграмме, были подробно изучены. Для этих поверхностей со вторым классом Черна может быть любое целое число от 3 до 11. Поверхности со всеми этими значениями известны; вот несколько из многих примеров, которые были изучены:

• c ₂ = 3: Фальшивая проективная плоскость (поверхность Мамфорда). Первый пример был найден Мамфордом с использованием p -адической геометрии, и всего существует 50 примеров. Они имеют те же числа Бетти, что и проективная плоскость, но не гомеоморфны ей, поскольку их фундаментальные группы бесконечны.
• c ₂ = 4: Поверхности Бовиля названы в честь Арно Бовиля и имеют бесконечную фундаментальную группу.
• c ₂ ≥ 4: Поверхности Берниата
• c ₂ = 10: Поверхности Кампеделли . Поверхности с одинаковыми числами Ходжа называются числовыми поверхностями Кампеделли .
• c ₂ = 10: Катановские поверхности односвязны.
• c ₂ = 11: Поверхности Годо . Циклическая группа порядка 5 действует свободно на поверхности Ферма точек в P ^{3 ,} удовлетворяющих отображению в , где ρ — корень пятой степени из 1. Частное по этому действию — исходная поверхность Годо . Другие поверхности, построенные аналогичным образом с теми же числами Ходжа, также иногда называются поверхностями Годо. Поверхности с теми же числами Ходжа (например, поверхности Барлоу) называются числовыми поверхностями Годо . Фундаментальная группа (исходной поверхности Годо) является циклической порядка 5.${\displaystyle (w:x:y:z)}$${\displaystyle w^{5}+x^{5}+y^{5}+z^{5}=0}$${\displaystyle (w:x:y:z)}$${\displaystyle (w:\rho x:\rho ^{2}y:\rho ^{3}z)}$
• c ₂ = 11: Поверхности Барлоу односвязны. Вместе с поверхностью Крейгеро-Гаттаццо это единственные известные примеры односвязных поверхностей общего типа с p _g  = 0.
• Поверхности Тодорова дают контрпримеры к заключению теоремы Торелли .

• Поверхности Кастельнуово : Другой экстремальный случай. Кастельнуово доказал, что если каноническое расслоение очень обильно для поверхности общего типа, топоверхности Кастельнуово — это поверхности общего типа, такие, что каноническое расслоение очень обильно и что${\displaystyle c_{1}^{2}\geqslant 3p_{g}-7.}$${\displaystyle c_{1}^{2}=3p_{g}-7.}$
• Полные пересечения : гладкое полное пересечение гиперповерхностей степенейв P ⁿ является поверхностью общего типа, если степени не равны (2), (3), (2, 2) (рациональные), (4), (3, 2), (2, 2, 2) (размерность Кодаиры 0). Все полные пересечения односвязны. Особым случаем являются гиперповерхности : например, в P ³ неособые поверхности степени не ниже 5 имеют общий тип (неособые гиперповерхности степени 4 являются поверхностями K3 , а гиперповерхности степени ниже 4 являются рациональными ).${\displaystyle d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant \cdots \geqslant d_{n-2}\geqslant 2}$
• Поверхности Фано прямых на кубическом 3-мерном многообразии.
• Модульные поверхности Гильберта в основном имеют общий тип.
• Поверхности Хорикавы — это поверхности с q  = 0 иили(что подразумевает, что они находятся более или менее на краю «линии Нётер» области возможных значений чисел Черна). Все они односвязны, и Хорикава дал их подробное описание.${\displaystyle p_{g}={\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+2}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+{\tfrac {3}{2}}}$
• Произведения: произведение двух кривых, обе из которых имеют род не менее 2, является поверхностью общего типа.
• Двойные покрытия неособых кривых степени 2 m в P ² имеют общий тип, если (при 2 m =2 они рациональны, при 2 m =4 они снова рациональны и называются двойными плоскостями дель Пеццо , а при 2 m =6 они являются поверхностями K3 .) Они односвязны и имеют числа Черна${\displaystyle 2m\geqslant 8.}$${\displaystyle c_{1}^{2}=2(м-3)^{2},c_{2}=4м^{2}-6м+6.}$

Бомбьери (1973) доказал, что мультиканоническое отображение φ _nK для комплексной поверхности общего типа является бирациональным изоморфизмом на ее образ всякий раз, когда n ≥5, а Экедаль (1988) показал, что тот же результат остается в силе в положительной характеристике. Существуют некоторые поверхности, для которых это не является бирациональным изоморфизмом, когда n равно 4. Эти результаты следуют из теоремы Рейдера .

• Классификация Энрикеса-Кодайры
• Список алгебраических поверхностей

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (October 2020) (Learn how and when to remove this message)

• Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фолге., т. 3. Фолге. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, номер номера : 10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, МР  2030225
• Бомбьери, Энрико (1973), «Канонические модели поверхностей общего типа», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 42 (42): 171–219 , doi : 10.1007/BF02685880, MR  0318163, S2CID  56081921
• Экедаль, Торстен (1988), «Канонические модели поверхностей общего типа в положительной характеристике», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 67 (67): 97– 144, doi :10.1007/BF02699128, MR  0972344, S2CID  54756971
• П. Гриффитс ; Дж. Харрис (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library, Wiley Interscience, ISBN 0-471-05059-8
• Исковских, В.А. (2001) [1994], "Алгебраическая поверхность общего типа", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС