Поверхность Фано

В алгебраической геометрии поверхность Фано — это поверхность общего типа (в частности, не являющаяся многообразием Фано ), точки которой индексируют прямые на неособом кубическом трехмерном многообразии . Впервые они были изучены Фано  (1904).

Ходж Даймонд:

Поверхности Фано, пожалуй, являются наиболее простыми и изученными примерами нерегулярных поверхностей общего типа, которые не связаны с произведением двух кривых и не являются полным пересечением дивизоров в абелевом многообразии.

Поверхность Фано S гладкого кубического трехмерного многообразия F в P ⁴ обладает многими замечательными геометрическими свойствами. Поверхность S естественным образом вкладывается в грассманиан прямых G(2,5) P ⁴ . Пусть U — ограничение на S универсального расслоения ранга 2 на G. Имеем:

Теорема о касательном расслоении ( Фано , Клеменс - Гриффитс , Тюрин): Касательное расслоение S изоморфно U.

Это довольно интересный результат, поскольку, априори, не должно быть никакой связи между этими двумя расслоениями. Он имеет много мощных приложений. Например, можно восстановить тот факт, что кокасательное пространство S порождается глобальными сечениями. Это пространство глобальных 1-форм можно отождествить с пространством глобальных сечений тавтологического линейного расслоения O(1), ограниченного на кубику F, и более того:

Теорема типа Торелли: Пусть g' — естественный морфизм из S в грассманиан G(2,5), определяемый кокасательным пучком S, порожденным его 5-мерным пространством глобальных сечений. Пусть F' — объединение прямых, соответствующих g'(S). Трехмерное F' изоморфно F.

Таким образом, зная поверхность Фано S, мы можем восстановить трехмерное F. По теореме о касательном расслоении мы также можем геометрически понять инварианты S:

a) Напомним, что второе число Черна векторного расслоения ранга 2 на поверхности — это число нулей общего сечения. Для поверхности Фано S 1-форма w определяет также гиперплоское сечение {w=0} в P ⁴ кубики F. Нули общего w на S взаимно однозначно соответствуют числам прямых в пересечении гладкой кубической поверхности {w=0} и F, поэтому мы получаем, что второй класс Черна S равен 27.

b) Пусть w ₁ , w ₂ — две 1-формы на S. Канонический дивизор K на S, связанный с канонической формой w ₁ ∧ w _2, параметризует прямые на F, которые пересекают плоскость P={ w ₁ = w ₂ =0} в P ⁴ . Используя w ₁ и w ₂ таким образом, что пересечение P и F является объединением 3 прямых, можно восстановить тот факт, что K ² =45. Приведем некоторые подробности этого вычисления: через общую точку кубики F проходит 6 прямых. Пусть s — точка S, а L _s — соответствующая прямая на кубике F. Пусть C _s — дивизор на S, параметризующий прямые, которые пересекают прямую L _s . Самопересечение C _s равно числу пересечения C _s и C _t для общей точки. Пересечение C _s и C _t — это множество прямых на F, которые пересекают непересекающиеся прямые L _s и L _t . Рассмотрим линейную оболочку L _s и L _t  : это гиперплоскость в P ⁴ , которая пересекает F в гладкую кубическую поверхность. Согласно хорошо известным результатам на кубической поверхности, число прямых, пересекающих две непересекающиеся прямые, равно 5, таким образом, мы получаем ( C _s ) ² = C _s C _t =5. Поскольку K численно эквивалентно 3 C _s , мы получаем K ² =45.

в) Естественное составное отображение: S -> G(2,5) -> P ⁹ является каноническим отображением S. Это вложение.

• теория Ходжа

• Бомбьери, Энрико ; Суиннертон-Дайер, HPF (1967), «О локальной дзета-функции кубического трехмерного многообразия», Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) , 21 : 1–29 , MR  0212019
• Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филлип А. (1972), "Промежуточный якобиан кубического трехмерного многообразия", Annals of Mathematics , Вторая серия, 95 (2): 281–356 , CiteSeerX  10.1.1.401.4550 , doi :10.2307/1970801, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970801, MR  0302652
• Фано, Г. (1904), «Sul sistema ∞ ² di rette contenuto in une varietà Cubaca Generale dello Spazio a Quattro Dimensioni», Атти Р. Аккад. наук. Турин , 39 : 778–792 .
• Куликов, Вик.С. (2001) [1994], "Поверхность Фано", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Мюрре, Дж. П. (1972), «Алгебраическая эквивалентность по модулю рациональной эквивалентности на кубическом трехмерном многообразии», Compositio Mathematica , 25 : 161– 206, ISSN  0010-437X, MR  0352088