Обобщения производной

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  (обобщения) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл обратных функций Интеграция по Части Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , тангенс половинного угла , Эйлера ) Формула Эйлера Простейшие дроби ( метод Хевисайда ) Изменение порядка Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

В математике производная является фундаментальной конструкцией дифференциального исчисления и допускает множество возможных обобщений в областях математического анализа , комбинаторики , алгебры , геометрии и т. д.

Производная Фреше определяет производную для общих нормированных векторных пространств . Кратко, функция , где является открытым подмножеством , называется дифференцируемой по Фреше в , если существует ограниченный линейный оператор такой, что${\displaystyle V,W}$${\displaystyle f:U\to W}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle A:V\to W}$$${\displaystyle \lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-Ah\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.}$$

Функции определяются как дифференцируемые в некоторой открытой окрестности , а не в отдельных точках, поскольку в противном случае возникает множество патологических контрпримеров .${\displaystyle x}$

Производная Фреше очень похожа на формулу для производной, найденную в элементарном исчислении с одной переменной, и просто перемещает A в левую сторону. Однако производная Фреше A обозначает функцию .$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=A,}$$${\displaystyle t\mapsto f'(x)\cdot t}$

В многомерном исчислении , в контексте дифференциальных уравнений, определяемых векторной функцией R ⁿ в R ^m , производная Фреше A является линейным оператором на R, рассматриваемом как векторное пространство над собой, и соответствует наилучшему линейному приближению функции. Если такой оператор существует, то он уникален и может быть представлен матрицей m на n , известной как матрица Якоби J _x (ƒ) отображения ƒ в точке x . Каждый элемент этой матрицы представляет собой частную производную , определяющую скорость изменения одной координаты диапазона относительно изменения координаты домена. Конечно, матрица Якоби композиции g _° f является произведением соответствующих матриц Якоби: J _x ( g _° f ) =J _{ƒ( x )} ( g )J _x (ƒ). Это более многомерное утверждение цепного правила .

Для действительных функций от R ⁿ до R ( скалярные поля ) производная Фреше соответствует векторному полю, называемому полной производной . Это можно интерпретировать как градиент , но более естественно использовать внешнюю производную .

Конвективная производная учитывает изменения, вызванные зависимостью от времени и движением в пространстве вдоль векторного поля, и является частным случаем полной производной.

Для векторных функций от R до R ⁿ (т. е. параметрических кривых ) производная Фреше соответствует взятию производной каждого компонента по отдельности. Полученную производную можно сопоставить с вектором. Это полезно, например, если векторная функция — это вектор положения частицы во времени, то производная — это вектор скорости частицы во времени.

В комплексном анализе центральными объектами изучения являются голоморфные функции , представляющие собой комплекснозначные функции комплексных чисел , для которых существует производная Фреше.

В геометрическом исчислении геометрическая производная удовлетворяет более слабой форме правила Лейбница (произведения). Она специализирует производную Фреше на объектах геометрической алгебры. Геометрическое исчисление — это мощный формализм, который, как было показано, охватывает аналогичные структуры дифференциальных форм и дифференциальной геометрии. ^[1]

На внешней алгебре дифференциальных форм над гладким многообразием внешняя производная является единственным линейным отображением, которое удовлетворяет градуированной версии закона Лейбница и квадратируется до нуля. Это вывод степени 1 на внешней алгебре. В R ³ градиент , ротор и дивергенция являются частными случаями внешней производной. Интуитивная интерпретация градиента заключается в том, что он указывает «вверх»: другими словами, он указывает в направлении самого быстрого увеличения функции. Его можно использовать для вычисления производных по направлению скалярных функций или нормальных направлений. Дивергенция дает меру того, сколько «источника» или «стока» находится вблизи точки. Его можно использовать для вычисления потока по теореме о дивергенции . Ротор измеряет, сколько « вращения » имеет векторное поле вблизи точки.

Производная Ли — это скорость изменения векторного или тензорного поля вдоль потока другого векторного поля. На векторных полях это пример скобки Ли (векторные поля образуют алгебру Ли группы диффеоморфизмов многообразия). Это вывод степени 0 на алгебре.

Вместе с внутренним произведением (выводом степени -1 на внешней алгебре, определяемой сверткой с векторным полем) внешняя производная и производная Ли образуют супералгебру Ли .

В дифференциальной топологии векторное поле может быть определено как производная на кольце гладких функций на многообразии , а касательный вектор может быть определен как производная в точке. Это позволяет абстрагировать понятие производной по направлению скалярной функции на общие многообразия. Для многообразий, являющихся подмножествами R n , ^этот касательный вектор будет согласовываться с производной по направлению .

Дифференциал или проталкивание отображения между многообразиями — это индуцированное отображение между касательными пространствами этих отображений. Оно абстрагирует матрицу Якоби .

В дифференциальной геометрии ковариантная производная делает выбор для взятия производных по направлению векторных полей вдоль кривых . Это расширяет производную по направлению скалярных функций на сечения векторных расслоений или главных расслоений . В римановой геометрии существование метрики выбирает уникальную предпочтительную ковариантную производную без кручения , известную как связность Леви-Чивиты . См. также калибровочную ковариантную производную для трактовки, ориентированной на физику.

Внешняя ковариантная производная расширяет внешнюю производную до векторнозначных форм.

Для функции , которая локально интегрируема , но не обязательно классически дифференцируема, слабая производная может быть определена посредством интегрирования по частям . Сначала определим тестовые функции, которые являются бесконечно дифференцируемыми и компактно поддерживаемыми функциями , и мультииндексы , которые являются списками длины целых чисел с . Применительно к тестовым функциям, . Тогда слабая производная существует, если существует функция такая, что для всех тестовых функций мы имеем ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$${\textstyle |\alpha |:=\sum _{1}^{n}\alpha _{i}}$${\textstyle D^{\alpha }\varphi :={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dotsm x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$${\textstyle \alpha ^{\text{th}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}u\ D^{\alpha }\!\varphi \ dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{n}}v\ \varphi \ dx}$

Если такая функция существует, то , которая является единственной почти всюду . Это определение совпадает с классической производной для функций , и может быть расширено до типа обобщенных функций, называемых распределениями , дуального пространства тестовых функций. Слабые производные особенно полезны при изучении уравнений в частных производных и в рамках частей функционального анализа.${\displaystyle D^{\alpha }u:=v}$${\displaystyle u\in C^{|\alpha |}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$

В действительных числах можно итерировать процесс дифференцирования, то есть применять производные более одного раза, получая производные второго и более высокого порядка. Высшие производные также могут быть определены для функций нескольких переменных, изучаемых в многомерном исчислении . В этом случае вместо многократного применения производной, можно многократно применять частные производные по разным переменным. Например, частные производные второго порядка скалярной функции от n переменных можно организовать в матрицу n на n , матрицу Гессе . Одним из тонких моментов является то, что высшие производные не определены внутренне и зависят от выбора координат сложным образом (в частности, матрица Гессе функции не является тензором ) . Тем не менее, высшие производные имеют важные приложения к анализу локальных экстремумов функции в ее критических точках . Для расширенного применения этого анализа к топологии многообразий см. Теорию Морса .

В дополнение к  производным n -го порядка для любого натурального числа n существуют различные способы определения производных дробного или отрицательного порядков, которые изучаются в дробном исчислении . Производная порядка −1 соответствует интегралу, откуда и происходит термин дифференцирующийинтеграл .

В кватернионном анализе производные могут быть определены аналогично действительным и комплексным функциям. Поскольку кватернионы не являются коммутативными, предел разностного отношения дает две различные производные: Левая производная${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f(a+h)-f(a)\right)\right]}$

и правая производная

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[\left(f(a+h)-f(a)\right)h^{-1}\right].}$

Существование этих пределов является весьма ограничительным условием. Например, если имеет левые производные в каждой точке открытого связного множества , то для .${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {H} }$${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$${\displaystyle f(q)=a+qb}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$

• Производная по q функции определяется формулой Для ненулевого x , если f является дифференцируемой функцией x, то в пределе при q → 1 мы получаем обычную производную, таким образом, производную по q можно рассматривать как ее q-деформацию . Большая часть результатов обычного дифференциального исчисления, таких как формула бинома и разложение Тейлора , имеют естественные q -аналоги, которые были открыты в 19 веке, но оставались относительно малоизвестными в течение большей части 20 века за пределами теории специальных функций . Прогресс комбинаторики и открытие квантовых групп кардинально изменили ситуацию, и популярность q -аналогов растет.$${\displaystyle D_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$$
• Разностный оператор разностных уравнений является еще одним дискретным аналогом стандартной производной.$${\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}$$
• Производная q, оператор разности и стандартная производная могут рассматриваться как одно и то же в разных временных масштабах . Например, принимая , мы можем иметь Производная q является частным случаем разности Хана , ^[2] Разность Хана является не только обобщением производной q, но и расширением прямой разности.${\displaystyle \varepsilon =(q-1)x}$$${\displaystyle {\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{qx+\omega -x}}.}$$
• Также отметим, что производная q есть не что иное, как частный случай знакомой производной. Возьмем . Тогда имеем,${\displaystyle z=qx}$$${\displaystyle \lim _{z\to x}{\frac {f(z)-f(x)}{z-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$$

В алгебре обобщения производной могут быть получены путем применения правила дифференцирования Лейбница к алгебраической структуре, такой как кольцо или алгебра Ли .

Вывод — это линейное отображение на кольце или алгебре , которое удовлетворяет закону Лейбница (правило произведения). Высшие производные и алгебраические дифференциальные операторы также могут быть определены. Они изучаются в чисто алгебраической постановке в дифференциальной теории Галуа и теории D-модулей , но также появляются во многих других областях, где они часто согласуются с менее алгебраическими определениями производных.

Например, формальная производная многочлена над коммутативным кольцом R определяется как

${\displaystyle \left(a_{d}x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\right)'=da_{d}x^{d-1}+(d-1)a_{d-1}x^{d-2}+\cdots +a_{1}.}$

Отображение тогда является выводом на кольце многочленов R [ X ]. Это определение можно распространить и на рациональные функции .${\displaystyle f\mapsto f'}$

Понятие вывода применимо как к некоммутативным, так и к коммутативным кольцам и даже к неассоциативным алгебраическим структурам, таким как алгебры Ли.

В теории типов многие абстрактные типы данных можно описать как алгебру , сгенерированную преобразованием, которое отображает структуры, основанные на типе, обратно в тип. Например, тип T двоичных деревьев , содержащих значения типа A, можно представить как алгебру, сгенерированную преобразованием 1+A×T ² →T. «1» представляет собой построение пустого дерева, а второй член представляет собой построение дерева из значения и двух поддеревьев. «+» указывает, что дерево может быть построено любым способом.

Производная такого типа — это тип, который описывает контекст конкретной подструктуры относительно ее следующей внешней содержащей структуры. Другими словами, это тип, представляющий «разницу» между ними. В примере с деревом производная — это тип, который описывает информацию, необходимую для построения родительского дерева, учитывая конкретное поддерево. Эта информация представляет собой кортеж, содержащий двоичный индикатор того, находится ли потомок слева или справа, значение в родительском поддереве и родственное поддерево. Этот тип можно представить как 2×A×T, что очень похоже на производную преобразования, которое сгенерировало тип дерева.

Эта концепция производной типа имеет практическое применение, например, метод «молнии» , используемый в языках функционального программирования .

Дифференциальный оператор объединяет несколько производных, возможно, разных порядков, в одном алгебраическом выражении. Это особенно полезно при рассмотрении обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Например, если f ( x ) — дважды дифференцируемая функция одной переменной, дифференциальное уравнение можно переписать в виде , где — линейный дифференциальный оператор второго порядка с постоянными коэффициентами, действующий на функции x . Ключевая идея здесь заключается в том, что мы рассматриваем конкретную линейную комбинацию производных нулевого, первого и второго порядков «всех сразу». Это позволяет нам думать о множестве решений этого дифференциального уравнения как об «обобщенной первообразной» его правой части 4 x  − 1, по аналогии с обычным интегрированием , и формально записывать ${\displaystyle f''+2f'-3f=4x-1}$${\displaystyle L(f)=4x-1}$$${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}-3}$$$${\displaystyle f(x)=L^{-1}(4x-1).}$$

Объединение производных различных переменных приводит к понятию частного дифференциального оператора . Линейный оператор , который присваивает каждой функции ее производную, является примером дифференциального оператора в функциональном пространстве . С помощью преобразования Фурье можно определить псевдодифференциальные операторы , которые допускают дробное исчисление.

Некоторые из этих операторов настолько важны, что у них есть собственные названия:

• Оператор Лапласа или лапласиан на R ³ представляет собой частный дифференциальный оператор второго порядка Δ, заданный дивергенцией градиента скалярной функции трех переменных, или явно как Аналогичные операторы могут быть определены для функций любого числа переменных.$${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$
• Даламбертиан или волновой оператор похож на лапласиан, но действует на функции четырех переменных. Его определение использует неопределенный метрический тензор пространства Минковского , вместо евклидова скалярного произведения R ³ :$${\displaystyle \square ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.}$$
• Производная Шварца — это нелинейный дифференциальный оператор, который описывает, как комплексная функция аппроксимируется дробно-линейным отображением , во многом так же, как нормальная производная описывает, как функция аппроксимируется линейным отображением.
• Производные Виртингера представляют собой набор дифференциальных операторов, позволяющих построить дифференциальное исчисление для комплексных функций, которое полностью аналогично обычному дифференциальному исчислению для функций действительных переменных.

В функциональном анализе функциональная производная определяет производную по отношению к функции функционала на пространстве функций. Это расширение производной по направлению на бесконечномерное векторное пространство. Важным случаем является вариационная производная в вариационном исчислении .

Субпроизводная и субградиент являются обобщениями производной на выпуклые функции, используемыми в выпуклом анализе.

В коммутативной алгебре дифференциалы Кэлера являются универсальными производными коммутативного кольца или модуля . Они могут быть использованы для определения аналога внешней производной из дифференциальной геометрии, которая применяется к произвольным алгебраическим многообразиям , а не только к гладким многообразиям.

В p-адическом анализе обычное определение производной недостаточно строгое, и вместо этого требуется строгая дифференцируемость .

Производная Гато расширяет производную Фреше на локально выпуклые топологические векторные пространства . Дифференцируемость по Фреше является строго более сильным условием, чем дифференцируемость по Гато, даже в конечных размерностях. Между двумя крайностями находится квазипроизводная .

В теории меры производная Радона –Никодима обобщает якобиан , используемый для замены переменных, на меры. Она выражает одну меру μ через другую меру ν (при определенных условиях).

H - производная — понятие производной в изучении абстрактных винеровских пространств и исчислении Маллявэна . Используется при изучении случайных процессов .

Лапласиан и дифференциальные уравнения, использующие лапласиан, могут быть определены на фракталах . Полностью удовлетворительного аналога производной или градиента первого порядка не существует. ^[3]

Производная Карлица — это операция, похожая на обычное дифференцирование, но с обычным контекстом действительных или комплексных чисел, измененным на локальные поля положительной характеристики в виде формальных рядов Лорана с коэффициентами в некотором конечном поле F _q (известно, что любое локальное поле положительной характеристики изоморфно полю рядов Лорана). Наряду с соответствующим образом определенными аналогами показательной функции , логарифмов и других производная может быть использована для разработки понятий гладкости, аналитичности, интегрирования, рядов Тейлора, а также теории дифференциальных уравнений. ^[4]

Может быть возможным объединить два или более из вышеперечисленных различных понятий расширения или абстракции исходной производной. Например, в геометрии Финслера изучаются пространства, которые локально выглядят как банаховы пространства . Таким образом, может потребоваться производная с некоторыми чертами функциональной производной и ковариантной производной .

Мультипликативное исчисление заменяет сложение умножением, и, следовательно, вместо того, чтобы иметь дело с пределом отношения разностей, оно имеет дело с пределом возведения в степень отношений. Это позволяет развивать геометрическую производную и бигеометрическую производную. Более того, как классический дифференциальный оператор имеет дискретный аналог, оператор разности, существуют также дискретные аналоги этих мультипликативных производных .

• Арифметическая производная  – функция, определенная для целых чисел в теории чисел.
• Автоматическое дифференцирование  – численные вычисления с использованием производных
• Производная Бжозовского  – Функция, определенная на формальных языках в информатике
• Производная Дини  – Класс обобщений производной
• Фрактальная производная  – Обобщение производной на фракталы
• Производная Хассе  – Математическая концепция
• Логарифмическая производная  – Математическая операция в исчислении
• Логарифмическое дифференцирование  – Метод математического дифференцирования
• Неклассический анализ  – Раздел математикиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Численное дифференцирование  – использование численного анализа для оценки производных функций.
• Производная Пинкерле  – Тип производной линейного оператора
• q-производная  – Q-аналог обычной производной
• Полудифференцируемость
• Симметричная производная  – обобщение производнойPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическая производная