Арифметическая производная
Функция, определенная для целых чисел в теории чисел

В теории чисел арифметическая производная Лагариаса или числовая производная — это функция , определяемая для целых чисел на основе разложения на простые множители по аналогии с правилом произведения для производной функции , которое используется в математическом анализе .

Существует много версий «арифметических производных», включая ту, которая обсуждается в этой статье (арифметическая производная Лагариаса), например, арифметическая производная Ихары и арифметическая производная Бюйума.

Ранняя история

Арифметическая производная была введена испанским математиком Хосе Минго Шелли в 1911 году. [1] [2] Арифметическая производная также появилась на конкурсе Патнэма 1950 года . [3]

Определение

Для натуральных чисел n арифметическая производная D ( n ) [примечание 1] определяется следующим образом:

Расширения за пределы натуральных чисел

Эдвард Дж. Барбо расширил область на все целые числа, показав, что выбор D (− n ) = − D ( n ) однозначно расширяет область на целые числа и согласуется с формулой произведения. Барбо также расширил ее на рациональные числа , показав, что знакомое правило частного дает хорошо определенную производную на : В {\displaystyle \mathbb {Q} }

Д ( м н ) = Д ( м ) н − м Д ( н ) н 2 . {\displaystyle D\!\left({\frac {m}{n}}\right)={\frac {D(m)n-mD(n)}{n^{2}}}.} [4] [5]

Виктор Уфнаровски и Бо Алендер расширили его до иррациональных чисел , которые можно записать как произведение простых чисел, возведенных в произвольные рациональные степени, что позволяет вычислять выражения, подобные [6] . Д ( 3 ) {\displaystyle D({\sqrt {3}}\,)}

Арифметическая производная также может быть расширена до любой уникальной факторизационной области (UFD), [6] такой как гауссовы целые числа и эйзенштейновы целые числа , и связанного с ней поля дробей . Если UFD является полиномиальным кольцом , то арифметическая производная совпадает с выводом по указанному полиномиальному кольцу. Например, регулярная производная является арифметической производной для колец одномерных действительных и комплексных полиномиальных и рациональных функций , что может быть доказано с помощью фундаментальной теоремы алгебры .

Арифметическая производная также была расширена на кольцо целых чисел по модулю n . [7]

Элементарные свойства

Правило Лейбница подразумевает, что D (0) = 0 (возьмем m = n = 0 ) и D (1) = 0 (возьмем m = n = 1 ).

Правило мощности также справедливо для арифметической производной. Для любых целых чисел k и n ≥ 0 :

Д ( к н ) = н к н − 1 Д ( к ) . {\displaystyle D(k^{n})=nk^{n-1}D(k).}

Это позволяет вычислить производную от разложения на простые множители целого числа (в котором есть p -адическое значение x ) : х = ∏ п ∈ П п н п {\textstyle x=\prod \limits _{p\in \mathbb {P} }p^{n_{p}}} н п = ν п ( х ) {\ textstyle n_ {p} = \ nu _ {p} (x)}

Д ( х ) = ∑ п ∈ П н п п н п − 1 Д ( п ) = ∑ п ∈ П п | х н п х п Д ( п ) = х ∑ п ∈ П п | х н п п Д ( п ) {\displaystyle D(x)=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }n_{p}\,p^{n_{p}-1}D(p)=\sum _{\stackrel {p\vert x}{p\in \mathbb {P} }}n_{p}{\frac {x}{p}}D(p)=x\sum _{\stackrel {p\vert x}{p\in \mathbb {P} }}{\frac {n_{p}}{p}}D(p)} .

Это показывает, что если известна производная для всех простых чисел, то производная полностью известна. Фактически, семейство арифметических частных производных относительно простого числа , определенное для всех простых чисел , за исключением для , является базисом пространства производных. Обратите внимание, что для этой производной мы имеем . ∂ ∂ п {\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}} п {\textstyle р} ∂ ∂ п ( д ) = 0 {\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}(q)=0} д {\textstyle д} д = п {\textstyle д=п} ∂ ∂ п ( п ) = 1 {\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}(p)=1} ∂ х ∂ п = н п х п {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial p}}=n_{p}{\frac {x}{p}}}

Обычно берут производную так, что для всех простых чисел p , так что Д ( п ) = 1 {\textstyle D(п)=1}

Д = ∑ п ∈ П ∂ ∂ п , и  Д ( х ) = х ∑ п ∈ П н п п {\displaystyle D=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\partial }{\partial p}}{\text{, и }}D(x)=x\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\frac {n_{p}}{p}}} .

С этой производной мы имеем, например:

Д ( 60 ) = Д ( 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) = 60 ⋅ ( 2 2 + 1 3 + 1 5 ) = 92 , {\displaystyle D(60)=D(2^{2}\cdot 3\cdot 5)=60\cdot \left({\frac {2}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)=92,}

или

Д ( 81 ) = Д ( 3 4 ) = 4 ⋅ 3 3 ⋅ Д ( 3 ) = 4 ⋅ 27 ⋅ 1 = 108. {\displaystyle D(81)=D(3^{4})=4\cdot 3^{3}\cdot D(3)=4\cdot 27\cdot 1=108.}

И начинается последовательность числовых производных для x = 0, 1, 2, … (последовательность A003415 в OEIS ):

0 , 0 , 1 , 1 , 4 , 1 , 5 , 1 , 12 , 6 , 7 , 1 , 16 , 1 , 9 , … {\displaystyle 0,0,1,1,4,1,5,1,12,6,7,1,16,1,9,\ldots }

Логарифмическая производная является полностью аддитивной функцией : лд ⁡ ( х ) = Д ( х ) х = ∑ п ∈ П п ∣ х ν п ( х ) п {\displaystyle \operatorname {ld} (x)={\frac {D(x)}{x}}=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in \mathbb {P} }}{\frac {\nu _{p}(x)}{p}}} лд ⁡ ( х ⋅ у ) = лд ⁡ ( х ) + лд ⁡ ( у ) . {\displaystyle \operatorname {ld} (x\cdot y)=\operatorname {ld} (x)+\operatorname {ld} (y).}

Пусть будет простым числом. Арифметическая частная производная по определяется как Итак, арифметическая производная определяется как p {\displaystyle p} x {\displaystyle x} p {\displaystyle p} D p ( x ) = ν p ( x ) p x . {\displaystyle D_{p}(x)={\frac {\nu _{p}(x)}{p}}x.} x {\displaystyle x} D ( x ) = ∑ p ∈ P p ∣ x D p ( x ) . {\displaystyle D(x)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in \mathbb {P} }}D_{p}(x).}

Пусть — непустое множество простых чисел. Арифметическая субпроизводная по отношению определяется как Если — множество всех простых чисел, то обычная арифметическая производная. Если , то арифметическая частная производная. S {\displaystyle S} x {\displaystyle x} S {\displaystyle S} D S ( x ) = ∑ p ∈ S p ∣ x D p ( x ) . {\displaystyle D_{S}(x)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in S}}D_{p}(x).} S {\displaystyle S} D S ( x ) = D ( x ) , {\displaystyle D_{S}(x)=D(x),} S = { p } {\displaystyle S=\{p\}} D S ( x ) = D p ( x ) , {\displaystyle D_{S}(x)=D_{p}(x),}

Арифметическая функция аддитивна по Лейбницу , если существует вполне мультипликативная функция такая, что для всех положительных целых чисел и . Мотивацией для этой концепции является тот факт, что аддитивные по Лейбницу функции являются обобщениями арифметической производной ; а именно, аддитивна по Лейбницу с . f {\displaystyle f} h f {\displaystyle h_{f}} f ( m n ) = f ( m ) h f ( n ) + f ( n ) h f ( m ) {\displaystyle f(mn)=f(m)h_{f}(n)+f(n)h_{f}(m)} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} D {\displaystyle D} D {\displaystyle D} h D ( n ) = n {\displaystyle h_{D}(n)=n}

Функция, приведенная в разделе 3.5 книги Шандора и Атанасова, по сути, точно такая же, как и обычная арифметическая производная . δ {\displaystyle \delta } D {\displaystyle D}

Неравенства и границы

Э. Дж. Барбо исследовал границы арифметической производной [8] и обнаружил, что

D ( n ) ≤ n log 2 ⁡ n 2 {\displaystyle D(n)\leq {\frac {n\log _{2}n}{2}}}

и

D ( n ) ≥ Ω ( n ) n Ω ( n ) − 1 Ω ( n ) {\displaystyle D(n)\geq \Omega (n)\,n^{\frac {\Omega (n)-1}{\Omega (n)}}}

где Ω( n ) , простая омега-функция , является числом простых множителей в n . В обеих приведенных выше оценках равенство всегда имеет место, когда n является степенью 2 .

Даль, Олссон и Лойко обнаружили, что арифметическая производная натуральных чисел ограничена [9]

D ( n ) ≤ n log p ⁡ n p {\displaystyle D(n)\leq {\frac {n\log _{p}n}{p}}}

где p — наименьшее простое число из n , и равенство имеет место, когда n является степенью p .

Александр Лойко, Йонас Ольссон и Никлас Даль обнаружили, что невозможно найти аналогичные границы для арифметической производной, распространенной на рациональные числа, доказав, что между любыми двумя рациональными числами существуют другие рациональные числа с произвольно большими или малыми производными (обратите внимание, что это означает, что арифметическая производная не является непрерывной функцией от до ). Q {\displaystyle \mathbb {Q} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} }

Порядок среднего

У нас есть

∑ n ≤ x D ( n ) n = T 0 x + O ( log ⁡ x log ⁡ log ⁡ x ) {\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {D(n)}{n}}=T_{0}x+O(\log x\log \log x)}

и

∑ n ≤ x D ( n ) = ( 1 2 ) T 0 x 2 + O ( x 1 + δ ) {\displaystyle \sum _{n\leq x}D(n)=\left({\frac {1}{2}}\right)T_{0}x^{2}+O(x^{1+\delta })}

для любого δ  > 0, где

T 0 = ∑ p 1 p ( p − 1 ) . {\displaystyle T_{0}=\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}.}

Соотношение с теорией чисел

Виктор Уфнаровски и Бо Алендер подробно описали связь функции с известными гипотезами теории чисел, такими как гипотеза о простых числах-близнецах , гипотеза о простых тройках и гипотеза Гольдбаха . Например, гипотеза Гольдбаха подразумевает для каждого k > 1 существование n, такого что D ( n ) = 2 k . Гипотеза о простых числах-близнецах подразумевает, что существует бесконечно много k , для которых D 2 ( k ) = 1 . [6]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ В этой статье мы используем обозначение Оливера Хевисайда D ( n ) для арифметической производной n . Возможны и другие различные обозначения, такие как n ′ ; полное обсуждение доступно здесь для общих дифференциальных операторов , из которых арифметическая производная может рассматриваться как одно из них. Обозначение Хевисайда используется здесь, поскольку оно подчеркивает тот факт, что арифметическая производная является функцией над целыми числами и дает лучшее обозначение для итерации функции D k  для арифметических производных второго и более высокого порядка.

Ссылки

  1. ^ Шелли, DJM (1911). «Una Cuestion de la Teoria de los numeros». Ассоциация Esp. Гранада : 1–12. ЖФМ  42.0209.02.
  2. ^ Лава, Паоло Пьетро; Бальзаротти, Джорджо. La derivata aritmetica: Alla scerta di un nuovo approccio alla teoria dei numeri .
  3. ^ Скоулз, Джон. «10-й Патнэм 1950».
  4. ^ Барбо, Эдвард (1961). «Замечания об арифметической производной». Канадский математический бюллетень . 4 (2): 117-122. doi : 10.4153/CMB-1961-013-0 .
  5. ^ Барбо, Эдвард (апрель 1973 г.). «Проблема». Канад. Матем. Заметки Конгресса . 5 (8): 6-7.
  6. ^ abc Уфнаровский, Виктор; Ахландер, Бо (2003). "Как дифференцировать число" (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 6 (3).
  7. ^ Кребс, Майк; Эммонс, Калеб; Шахин, Энтони (ноябрь 2009 г.). «Как дифференцировать целое число по модулю n». The College Mathematics Journal . 40 (5): 345–353. doi :10.4169/074683409X475661. S2CID  122997343.
  8. ^ Barbeau, EJ (1961). Замечания об арифметической производной. URL: https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/1FD7F09AD3972692FC97BB23A21D0BD8/S0008439500050773a.pdf/remarks_on_an_arithmetic_derivative.pdf
  9. ^ Даль, Н., Олссон, Дж., Лойко, А. (2011). Исследования свойств арифметической производной. На странице 4. URL: https://arxiv.org/pdf/1108.4762.pdf
  • Barbeau, EJ (1961). «Замечания об арифметической производной». Canadian Mathematical Bulletin . 4 (2): 117–122. doi : 10.4153/CMB-1961-013-0 . Zbl  0101.03702.
  • Уфнаровский, Виктор; Оландер, Бо (2003). «Как дифференцировать число». Журнал целочисленных последовательностей . 6. Статья 03.3.4. ISSN  1530-7638. Zbl  1142.11305.
  • Арифметическая производная , Planet Math , дата обращения 04:15, 9 апреля 2008 (UTC)
  • Л. Вестрик (2003). Исследования производной числа .
  • Петерсон, И. Математический путь: выведение структуры чисел .
  • Stay, Michael (2005). «Обобщенные производные чисел». Журнал целочисленных последовательностей . 8. Статья 05.1.4. arXiv : math/0508364 . ISSN  1530-7638. Zbl  1065.05019.
  • Даль Н., Ольссон Й., Лойко А., Исследование свойств арифметической производной .
  • Бальзаротти, Джорджо; Лава, Паоло Пьетро (2013). La derivata aritmetica. Alla scerta di un nuovo approccio alla teoria dei numeri . Милан: Хоепли. ISBN 978-88-203-5864-8.
  • Шандор, Йожеф; Атанасов, Крассимир (2021). Арифметические функции, раздел 3.5 . Издательство Nova Science.
  • Кович, Юрий (2012). «Арифметическая производная и первообразная» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 15 (3.8).
  • Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К.; Маттила, Мика; Тоссавайнен, Тимо (2017). «Арифметическая матрица Якобиана и определитель» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 20 . Статья 17.9.2. ISSN  1530-7638.
  • Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К.; Тоссавайнен, Тимо (2016). «Об арифметических уравнениях в частных производных» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 19 . ISSN  1530-7638.
  • Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К.; Тоссавайнен, Тимо (2018). «Арифметическая производная и аддитивные по Лейбницу функции». Заметки по теории чисел и дискретной математике . 24 (3): 68–76. arXiv : 1803.06849 . дои : 10.7546/nntdm.2018.24.3.68-76 . S2CID  119688466.
  • Хаукканен, Пентти (2019). «Обобщенная арифметическая субпроизводная». Заметки по теории чисел и дискретной математике . 25 (2): 1–7. doi : 10.7546/nntdm.2019.25.2.1-7 . S2CID  198468574.
  • Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К.; Тоссавайнен, Тимо (2020). «Арифметические производные: p-адическая разрывность и непрерывность». Журнал целочисленных последовательностей . 23 . Статья 20.7.3. ISSN  1530-7638.
  • Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К.; Тоссавайнен, Тимо (2020). «Асимптотика частичных сумм ряда Дирихле арифметической производной». Математические коммуникации . 25 .
  • Мерикоски, Йорма К.; Хаукканен, Пентти; Тоссавайнен, Тимо (2019). «Арифметические производные и аддитивные функции Лейбница» (PDF) . Annales Mathematicae et Informaticae . 50 .
  • Мерикоски, Йорма К.; Хаукканен, Пентти; Тоссавайнен, Тимо (2021). «Полная аддитивность, полная мультипликативность и аддитивность Лейбница к рациональным числам» (PDF) . Целые числа . 21 .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Arithmetic_derivative&oldid=1253871211"