Полудифференцируемость

В исчислении понятия односторонней дифференцируемости и полудифференцируемости действительной функции f действительной переменной слабее, чем дифференцируемость . В частности, функция f называется праводифференцируемой в точке a, если, грубо говоря, производная может быть определена как аргумент функции x, перемещающийся в a справа, и леводифференцируемой в точке a , если производная может быть определена как x, перемещающийся в a слева .

Одномерный случай

Эта функция не имеет производной в отмеченной точке, так как функция там не непрерывна . Однако она имеет правую производную во всех точках, причем постоянно равна 0. $\partial _{+}f(a)$

{\displaystyle \partial _{+}f(a)} — Эта функция не имеет производной в отмеченной точке, так как функция там не непрерывна . Однако она имеет правую производную во всех точках, причем постоянно равна 0. $\partial _{+}f(a)$

В математике левая производная и правая производная — это производные (скорости изменения функции), определенные для движения только в одном направлении (влево или вправо, то есть к меньшим или большим значениям) по аргументу функции.

Определения

Пусть f обозначает действительную функцию, определенную на подмножестве I действительных чисел.

Если $a \in I$ является предельной точкой I $\cap [$ $a ,\infty) и$ односторонний предел

\partial _{+}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{+} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}

существует как действительное число, то f называется дифференцируемой справа в точке a , а предел ∂ ₊f ( a ) называется производной справа от f в точке a .

Если $a \in I$ является предельной точкой $I \cap$ $(-\infty, a]$ и односторонний предел

\partial _{-}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{-} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}

существует как действительное число, то f называется дифференцируемой слева в точке a , а предел ∂ _–f ( a ) называется левой производной f в точке a .

Если $a \in I$ является предельной точкой $I \cap$ $[a,\infty)$ и $I \cap (-\infty, a]$ и если f дифференцируема слева и справа в точке a , то f называется полудифференцируемой в точке a .

Если левая и правая производные равны, то они имеют то же значение, что и обычная («двунаправленная») производная. Можно также определить симметричную производную , которая равна арифметическому среднему левой и правой производных (когда они обе существуют), поэтому симметричная производная может существовать, когда обычная производная не существует. ^[1]

Замечания и примеры

Функция дифференцируема во внутренней точке a своей области определения тогда и только тогда, когда она полудифференцируема в a и левая производная равна правой производной.
Примером полудифференцируемой функции, которая не является дифференцируемой, является функция абсолютного значения при a = 0. Мы легко находим $f(x)=|x|$ $\partial _{-}f(0)=-1,\partial _{+}f(0)=1.$
Если функция полудифференцируема в точке a , то это означает, что она непрерывна в точке a .
Индикаторная функция 1 _[0,∞) дифференцируема справа при каждом действительном a , но разрывна в нуле (обратите внимание, что эта индикаторная функция не дифференцируема слева в нуле).

Приложение

Если вещественная дифференцируемая функция f , определенная на интервале I вещественной прямой, имеет нулевую производную всюду, то она постоянна, как показывает применение теоремы о среднем значении . Предположение о дифференцируемости можно ослабить до непрерывности и односторонней дифференцируемости f . Версия для праводифференцируемых функций приведена ниже, версия для леводифференцируемых функций аналогична.

Теорема — Пусть f — вещественная непрерывная функция , определенная на произвольном интервале I вещественной прямой. Если f дифференцируема справа в каждой точке $a \in I$ , которая не является супремумом интервала, и если эта правая производная всегда равна нулю, то f является константой .

Доказательство

Для доказательства от противного предположим, что существуют $a < b$ в I, такие, что $f (a) \neq f (b)$ . Тогда

\varepsilon :={\frac {|f(b)-f(a)|}{2(b-a)}}>0.

Определим c как инфимум всех тех x в интервале $(a, b],$ для которых разностное отношение f превышает ε по абсолютной величине, т.е.

c=\inf\{\,x\in (a,b]\mid |f(x)-f(a)|>\varepsilon (x-a)\,\}.

Из непрерывности f следует, что $c < b$ и $| f (c) - f (a) | = ε (c - a)$ . В точке c правая производная f равна нулю по предположению, следовательно, существует d в интервале $(c, b]$ с $| f (x) - f (c) | \leq ε (x - c)$ для всех x из $(c, d]$ . Следовательно, по неравенству треугольника ,

|f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(c)|+|f(c)-f(a)|\leq \varepsilon (x-a)

для всех x из $[c, d)$ , что противоречит определению c .

Дифференциальные операторы, действующие влево или вправо

Другое распространенное применение — описание производных, рассматриваемых как бинарные операторы в инфиксной нотации , в которой производные применяются либо к левому, либо к правому операнду . Это полезно, например, при определении обобщений скобки Пуассона . Для пары функций f и g левая и правая производные определяются соответственно как

f{\stackrel {\leftarrow }{\partial _{x}}}g={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g

f{\stackrel {\rightarrow }{\partial _{x}}}g=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.

В скобочной записи оператор производной может действовать на правый операнд как обычная производная или на левый операнд как отрицательная производная. ^[2]

Многомерный случай

Это определение выше можно обобщить на вещественные функции f, определенные на подмножествах R ⁿ с использованием более слабой версии производной по направлению . Пусть a — внутренняя точка области определения f . Тогда f называется полудифференцируемой в точке a , если для каждого направления u ∈ R ⁿ предел

\partial _{u}f(a)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h\,u)-f(a)}{h}}

где R существует как действительное число. $h\in$

Таким образом, полудифференцируемость слабее дифференцируемости по Гато , при которой берется предел выше h → 0, не ограничивая h только положительными значениями.

Например, функция полудифференцируема при , но не дифференцируема по Гато там. Действительно, при $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ $(0,0)$ $f(hx,hy)=|h|f(x,y){\text{ and for }}h\geq 0,f(hx,hy)=hf(x,y),f(hx,hy)/h=f(x,y),$ $a=0,u=(x,y),\partial _{u}f(0)=f(x,y)$

(Обратите внимание, что это обобщение не эквивалентно исходному определению для n = 1, поскольку концепция односторонних предельных точек заменена более сильной концепцией внутренних точек.)

Характеристики

Любая выпуклая функция на выпуклом открытом подмножестве R n ^{является} полудифференцируемой.
В то время как каждая полудифференцируемая функция одной переменной является непрерывной, для нескольких переменных это уже не так.

Обобщение

Вместо вещественных функций можно рассматривать функции, принимающие значения в ^Rn или в банаховом пространстве .

Смотрите также

Ссылки

^ Питер Р. Мерсер (2014). Еще исчисление одной переменной . Springer. стр. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.
^ Дирак, Пол (1982) [1930]. Принципы квантовой механики . США: Oxford University Press. ISBN 978-0198520115.

Preda, V.; Chiţescu, I. (1999). "О квалификации ограничений в задачах многокритериальной оптимизации: полудифференцируемый случай". J. Optim. Theory Appl . 100 (2): 417– 433. doi :10.1023/A:1021794505701. S2CID 119868047.

[Mercer2014-1] Питер Р. Мерсер (2014). Еще исчисление одной переменной . Springer. стр. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.

[2] Дирак, Пол (1982) [1930]. Принципы квантовой механики . США: Oxford University Press. ISBN 978-0198520115.