Метрика Буреса
Риманова метрика на пространстве смешанных состояний квантовой системы

В математике , в области квантовой информационной геометрии , метрика Буреса (названная в честь Дональда Буреса) [1] или метрика Хелстрома (названная в честь Карла В. Хелстрома ) [2] определяет бесконечно малое расстояние между операторами матрицы плотности , определяющими квантовые состояния . Это квантовое обобщение информационной метрики Фишера , и она идентична метрике Фубини–Штуди [3] , когда ограничивается только чистыми состояниями.

Определение

Метрику Буреса можно определить как

[ Д Б ( ρ , ρ + г ρ ) ] 2 = 1 2 тр ( г ρ Г ) , {\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}(d\rho G),}

где эрмитов оператор 1-формы неявно задан как Г {\displaystyle G}

ρ Г + Г ρ = г ρ , {\displaystyle \rho G+G\rho =d\rho ,}

что является частным случаем непрерывного уравнения Ляпунова .

Некоторые из приложений метрики Буреса включают в себя то, что при заданной ошибке она позволяет вычислить минимальное число измерений для различения двух различных состояний [4] и использовать элемент объема в качестве кандидата для априорной плотности вероятности Джеффриса [5] для смешанных квантовых состояний.

Расстояние Буреса

Расстояние Буреса является конечной версией бесконечно малого квадратного расстояния, описанного выше, и задается формулой

Д Б ( ρ 1 , ρ 2 ) 2 = 2 ( 1 − Ф ( ρ 1 , ρ 2 ) ) , {\displaystyle D_{B}(\rho _{1},\rho _{2})^{2}=2(1-{\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}}),}

где функция верности определяется как [6]

Ф ( ρ 1 , ρ 2 ) = [ тр ( ρ 1 ρ 2 ρ 1 ) ] 2 . {\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})=\left[{\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})\right]^{2}.}

Другая связанная функция — дуга Буреса, также известная как угол Буреса, длина Буреса или квантовый угол , определяемая как

Д А ( ρ 1 , ρ 2 ) = арккос ⁡ Ф ( ρ 1 , ρ 2 ) , {\displaystyle D_{A}(\rho _{1},\rho _{2})=\arccos {\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}},}

что является мерой статистического расстояния [7] между квантовыми состояниями.

Расстояние Вуттерса

Когда оба оператора плотности диагональны (так что они являются просто классическими распределениями вероятностей), тогда пусть и аналогично , тогда точность такова, что длина Буреса становится расстоянием Вуттерса . Расстояние Вуттерса является геодезическим расстоянием между распределениями вероятностей в соответствии с метрикой хи-квадрат . [8] ρ 1 = г я а г ( п 1 , . . . ) {\displaystyle \rho _{1}=диагональ(p_{1},...)} ρ 2 = г я а г ( д 1 , . . . ) {\displaystyle \rho _{2}=диагональ(q_{1},...)} Ф = ∑ я п я д я {\displaystyle {\sqrt {F}}=\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}} арккос ⁡ ( ∑ я п я д я ) {\displaystyle \arccos \left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)} п , д {\displaystyle p,q} г с 2 = 1 2 ∑ я г п я 2 п я {\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {dp_{i}^{2}}{p_{i}}}}

Выполним замену переменных с , тогда метрика хи-квадрат станет . Поскольку , точки ограничены перемещением по положительному квадранту единичной гиперсферы. Таким образом, геодезические — это просто большие окружности на гиперсфере, и мы также получаем формулу расстояния Вуттерса. х я := п я {\displaystyle x_{i}:={\sqrt {p_{i}}}} г с 2 = ∑ я г х я 2 {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i}dx_{i}^{2}} ∑ я х я 2 = ∑ я п я = 1 {\displaystyle \sum _{i}x_{i}^{2}=\sum _{i}p_{i}=1} х {\displaystyle x}

Если оба оператора плотности являются чистыми состояниями, то точность равна , и мы получаем квантовую версию расстояния Вуттерса ψ , ϕ {\displaystyle \psi ,\phi } Ф = | ⟨ ψ | ϕ ⟩ | {\displaystyle {\sqrt {F}}=|\langle \psi |\phi \rangle |}

арккос ⁡ ( | ⟨ ψ | ϕ ⟩ | ) {\displaystyle \arccos (|\langle \psi |\phi \rangle |)} . [9]

В частности, прямое расстояние Буреса между любыми двумя ортогональными состояниями равно , тогда как расстояние Буреса, просуммированное вдоль геодезического пути, соединяющего их, равно . 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} π / 2 {\displaystyle \пи /2}

Информация о квантовом Фишере

Метрику Буреса можно рассматривать как квантовый эквивалент информационной метрики Фишера и можно переписать в терминах изменения параметров координат следующим образом:

[ Д Б ( ρ , ρ + г ρ ) ] 2 = 1 2 тр ( г ρ г θ μ Л ν ) г θ μ г θ ν , {\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left({\frac {d\rho }{d\theta ^{\mu }}}L_{\nu }\right)d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}

что справедливо до тех пор, пока и имеют одинаковый ранг. В случаях, когда они не имеют одинакового ранга, в правой части есть дополнительный член. [10] [11] — симметричный логарифмический производный оператор (SLD), определенный из [12] ρ {\displaystyle \ро} ρ + г ρ {\displaystyle \rho +d\rho } Л μ {\displaystyle L_{\mu }}

ρ Л μ + Л μ ρ 2 = г ρ г θ μ . {\displaystyle {\frac {\rho L_{\mu }+L_{\mu }\rho }{2}} = {\frac {d\rho ^{\,}}{d\theta ^{\mu } }}.}

Таким образом, можно

[ Д Б ( ρ , ρ + г ρ ) ] 2 = 1 2 тр [ ρ Л μ Л ν + Л ν Л μ 2 ] г θ μ г θ ν , {\displaystyle [D_ {B}(\rho,\rho +d\rho)]^{2} = {\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right]d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}

где квантовая метрика Фишера (тензорные компоненты) определяется как

Дж. μ ν = тр [ ρ Л μ Л ν + Л ν Л μ 2 ] . {\displaystyle J_{\mu \nu }={\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_ {\mu }L_ {\nu }+L_ {\nu }L_ {\mu }}{ 2}}\вправо].}

Определение SLD подразумевает, что квантовая метрика Фишера в 4 раза больше метрики Буреса. Другими словами, учитывая, что являются компонентами тензора метрики Буреса, имеем г μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }}

Дж. μ ν = 4 г μ ν . {\displaystyle J_{\mu \nu }^{}=4g_{\mu \nu }.}

Как и в случае с классической информационной метрикой Фишера, квантовая метрика Фишера может быть использована для нахождения границы Крамера– Рао ковариации .

Явные формулы

Фактическое вычисление метрики Буреса не очевидно из определения, поэтому для этой цели были разработаны некоторые формулы. Для систем 2x2 и 3x3, соответственно, квадратичная форма метрики Буреса вычисляется как [13]

[ Д Б ( ρ , ρ + г ρ ) ] 2 = 1 4 тр [ г ρ г ρ + 1 дет ( ρ ) ( 1 − ρ ) г ρ ( 1 − ρ ) г ρ ] , {\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {1}{\det(\rho )}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho \right],}
[ Д Б ( ρ , ρ + г ρ ) ] 2 = 1 4 тр [ г ρ г ρ + 3 1 − тр ρ 3 ( 1 − ρ ) г ρ ( 1 − ρ ) г ρ + 3 дет ρ 1 − тр ρ 3 ( 1 − ρ − 1 ) г ρ ( 1 − ρ − 1 ) г ρ ] . {\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {3}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho +{\frac {3\det {\rho }}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho (\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho \right].}

Для общих систем метрику Буреса можно записать в терминах собственных векторов и собственных значений матрицы плотности как [14] [15] ρ = ∑ j = 1 n λ j | j ⟩ ⟨ j | {\displaystyle \rho =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}|j\rangle \langle j|}

[ D B ( ρ , ρ + d ρ ) ] 2 = 1 2 ∑ j , k = 1 n | ⟨ j | d ρ | k ⟩ | 2 λ j + λ k , {\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {|\langle j|d\rho |k\rangle |^{2}}{\lambda _{j}+\lambda _{k}}},}

как интеграл, [16]

[ D B ( ρ , ρ + d ρ ) ] 2 = 1 2 ∫ 0 ∞ tr [ e − ρ t d ρ e − ρ t d ρ ]   d t , {\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}[e^{-\rho t}d\rho e^{-\rho t}d\rho ]\ dt,}

или в терминах произведения Кронекера и векторизации , [17]

[ D B ( ρ , ρ + d ρ ) ] 2 = 1 2 vec [ d ρ ] † ( ρ ∗ ⊗ 1 + 1 ⊗ ρ ) − 1 vec [ d ρ ] , {\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\text{vec}}[d\rho ]^{\dagger }{\big (}\rho ^{*}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes \rho {\big )}^{-1}{\text{vec}}[d\rho ],}

где обозначает комплексно сопряженное , а обозначает сопряженно транспонированное . Эта формула справедлива для обратимых матриц плотности. Для необратимых матриц плотности обратная матрица выше заменяется псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза . В качестве альтернативы выражение можно также вычислить, выполнив предел для определенного смешанного и, следовательно, обратимого состояния. ∗ {\displaystyle ^{*}} † {\displaystyle ^{\dagger }}

Двухуровневая система

Состояние двухуровневой системы можно параметризовать тремя переменными следующим образом:

ρ = 1 2 ( I + r ⋅ σ ) , {\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(I+{\boldsymbol {r\cdot \sigma }}),}

где — вектор матриц Паули , а — (трехмерный) вектор Блоха, удовлетворяющий . Компоненты метрики Буреса в этой параметризации можно вычислить как σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} r 2 = d e f r ⋅ r ≤ 1 {\displaystyle r^{2}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\boldsymbol {r\cdot r}}\leq 1}

g = I 4 + r ⊗ r 4 ( 1 − r 2 ) {\displaystyle {\mathsf {g}}={\frac {\mathsf {I}}{4}}+{\frac {\boldsymbol {r\otimes r}}{4(1-r^{2})}}} .

Меру Буреса можно вычислить, извлекая квадратный корень из определителя, чтобы найти

d V B = d 3 r 8 1 − r 2 , {\displaystyle dV_{B}={\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}},}

который можно использовать для расчета объема Буреса как

V B = ∭ r 2 ≤ 1 d 3 r 8 1 − r 2 = π 2 8 . {\displaystyle V_{B}=\iiint _{r^{2}\leq 1}{\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.}

Трехуровневая система

Состояние трехуровневой системы можно параметризовать восемью переменными следующим образом:

ρ = 1 3 ( I + 3 ∑ ν = 1 8 ξ ν λ ν ) , {\displaystyle \rho ={\frac {1}{3}}(I+{\sqrt {3}}\sum _{\nu =1}^{8}\xi _{\nu }\lambda _{\nu }),}

где — восемь матриц Гелл-Манна и 8-мерный вектор Блоха, удовлетворяющие определенным ограничениям. λ ν {\displaystyle \lambda _{\nu }} ξ ∈ R 8 {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{8}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Bures, Donald (1969). "Распространение теоремы Какутани о бесконечных мерах произведения на тензорное произведение полуконечных ω {\displaystyle \omega } *-алгебр" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 135 . American Mathematical Society (AMS): 199. doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0236719-2 . ISSN  0002-9947.
  2. ^ Helstrom, CW (1967). «Минимальная среднеквадратичная ошибка оценок в квантовой статистике». Physics Letters A. 25 ( 2). Elsevier BV: 101–102. Bibcode : 1967PhLA...25..101H. doi : 10.1016/0375-9601(67)90366-0. ISSN  0375-9601.
  3. ^ Facchi, Paolo; Kulkarni, Ravi; Man'ko, VI; Marmo, Giuseppe; Sudarshan, ECG; Ventriglia, Franco (2010). «Классическая и квантовая информация Фишера в геометрической формулировке квантовой механики». Physics Letters A. 374 ( 48): 4801–4803. arXiv : 1009.5219 . Bibcode : 2010PhLA..374.4801F. doi : 10.1016/j.physleta.2010.10.005. ISSN  0375-9601. S2CID  55558124.
  4. ^ Braunstein, Samuel L.; Caves, Carlton M. (1994-05-30). «Статистическое расстояние и геометрия квантовых состояний». Physical Review Letters . 72 (22). Американское физическое общество (APS): 3439–3443. Bibcode : 1994PhRvL..72.3439B. doi : 10.1103/physrevlett.72.3439. ISSN  0031-9007. PMID  10056200.
  5. ^ Слейтер, Пол Б. (1996). «Применение квантовой и классической информации Фишера к двухуровневым комплексным и кватернионным и трехуровневым комплексным системам». Журнал математической физики . 37 (6). AIP Publishing: 2682–2693. Bibcode : 1996JMP....37.2682S. doi : 10.1063/1.531528. ISSN  0022-2488.
  6. ^ К сожалению, некоторые авторы используют другое определение, F ( ρ 1 , ρ 2 ) = tr ( ρ 1 ρ 2 ρ 1 ) {\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})={\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})}
  7. ^ Wootters, WK (1981-01-15). "Статистическое расстояние и гильбертово пространство". Physical Review D. 23 ( 2). Американское физическое общество (APS): 357–362. Bibcode : 1981PhRvD..23..357W. doi : 10.1103/physrevd.23.357. ISSN  0556-2821.
  8. ^ Браунштейн, Сэмюэл Л.; Кейвс, Карлтон М. (1994-05-30). «Статистическое расстояние и геометрия квантовых состояний». Physical Review Letters . 72 (22): 3439–3443. Bibcode : 1994PhRvL..72.3439B. doi : 10.1103/PhysRevLett.72.3439. PMID  10056200.
  9. ^ Деффнер, Себастьян; Кэмпбелл, Стив (2017-11-10). «Пределы квантовой скорости: от принципа неопределенности Гейзенберга до оптимального квантового управления». Журнал физики A: Математическое и теоретическое . 50 (45): 453001. arXiv : 1705.08023 . Bibcode :2017JPhA...50S3001D. doi :10.1088/1751-8121/aa86c6. hdl :11603/19391. ISSN  1751-8113. S2CID  3477317.
  10. ^ Шафранек, Доминик (2017-05-11). «Разрывы квантовой информации Фишера и метрика Буреса». Physical Review A. 95 ( 5): 052320. arXiv : 1612.04581 . Bibcode : 2017PhRvA..95e2320S. doi : 10.1103/physreva.95.052320. ISSN  2469-9926.
  11. ^ Резакхани, AT; Хассани, M.; Алипур, S. (2019-09-12). «Непрерывность квантовой информации Фишера». Physical Review A. 100 ( 3): 032317. arXiv : 1507.01736 . Bibcode : 2019PhRvA.100c2317R. doi : 10.1103/PhysRevA.100.032317. S2CID  51680508.
  12. ^ Париж, Маттео GA (2009). «Квантовая оценка для квантовой технологии». Международный журнал квантовой информации . 07 (supp01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . doi : 10.1142/s0219749909004839. ISSN  0219-7499. S2CID  2365312.
  13. ^ Диттманн, Дж. (1999-01-01). «Явные формулы для метрики Буреса». Журнал физики A: Mathematical and General . 32 (14): 2663–2670. arXiv : quant-ph/9808044 . Bibcode : 1999JPhA...32.2663D. doi : 10.1088/0305-4470/32/14/007. ISSN  0305-4470. S2CID  18298901.
  14. ^ Хюбнер, Маттиас (1992). «Явное вычисление расстояния Буреса для матриц плотности». Physics Letters A. 163 ( 4). Elsevier BV: 239–242. Bibcode : 1992PhLA..163..239H. doi : 10.1016/0375-9601(92)91004-b. ISSN  0375-9601.
  15. ^ Хюбнер, Маттиас (1993). «Вычисление параллельного переноса Ульмана для матриц плотности и метрики Буреса в трехмерном гильбертовом пространстве». Physics Letters A. 179 ( 4–5). Elsevier BV: 226–230. Bibcode :1993PhLA..179..226H. doi :10.1016/0375-9601(93)90668-p. ISSN  0375-9601.
  16. ^ PARIS, MATTEO GA (2009). «Квантовая оценка для квантовой технологии». International Journal of Quantum Information . 07 (supp01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . doi : 10.1142/s0219749909004839. ISSN  0219-7499. S2CID  2365312.
  17. ^ Шафранек, Доминик (2018-04-12). "Простое выражение для квантовой информационной матрицы Фишера". Physical Review A. 97 ( 4): 042322. arXiv : 1801.00945 . Bibcode : 2018PhRvA..97d2322S. doi : 10.1103/physreva.97.042322. ISSN  2469-9926.

Дальнейшее чтение

  • Uhlmann, A. (1992). "Метрика Буреса и геометрическая фаза". В Gielerak, R.; Lukierski, J.; Popowicz, Z. (ред.). Группы и смежные темы . Труды первого симпозиума Макса Борна. стр. 267–274. doi :10.1007/978-94-011-2801-8_23. ISBN 94-010-5244-1.
  • Sommers, HJ; Zyczkowski, K. (2003). "Объем Bures множества смешанных квантовых состояний". Journal of Physics A. 36 ( 39): 10083–10100. arXiv : quant-ph/0304041 . Bibcode : 2003JPhA...3610083S. doi : 10.1088/0305-4470/36/39/308. S2CID  39943897.
  • Диттманн, Дж. (1993). "О римановой геометрии конечномерных смешанных состояний" (PDF) . Семинар Софуса Ли . 73 .
  • Слейтер, Пол Б. (1996). «Квантовая информация Фишера-Бьюреса двухуровневых систем и трехуровневое расширение». J. Phys. A: Math. Gen. 29 ( 10): L271–L275. doi :10.1088/0305-4470/29/10/008.
  • Нильсен, MA; Чуан, IL (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Cambridge University Press. ISBN 0-521-63235-8.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bures_metric&oldid=1215531803"