Теорема о сфере
В римановой геометрии теорема о сфере , также известная как теорема о четвертьзащемленной сфере , сильно ограничивает топологию многообразий, допускающих метрики с определенной границей кривизны. Точное утверждение теоремы таково. Если M — полное , односвязное , n -мерное риманово многообразие с секционной кривизной, принимающей значения в интервале , то M гомеоморфно n - сфере . (Если быть точным, мы имеем в виду, что секционная кривизна каждой касательной 2-плоскости в каждой точке должна лежать в .) Другой способ сформулировать результат состоит в том, что если M не гомеоморфно сфере, то невозможно задать метрику на M с четвертьзащемленной кривизной.
![{\displaystyle (1,4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5874b482e7e0a5777f6837be39bbe60f8d3ff80c)
Обратите внимание, что заключение ложно, если секционным кривизнам разрешено принимать значения в замкнутом интервале . Стандартный контрпример — комплексное проективное пространство с метрикой Фубини–Штуди ; секционные кривизны этой метрики принимают значения от 1 до 4, включая конечные точки. Другие контрпримеры можно найти среди симметричных пространств ранга один .
![{\displaystyle [1,4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d586411d3b36b42d74ece1ec4e191d4fe1fc83da)
Теорема о дифференцируемой сфере
Первоначальное доказательство теоремы о сфере не делало вывода о том, что M обязательно диффеоморфна n -сфере. Это осложнение связано с тем, что сферы в более высоких размерностях допускают гладкие структуры , которые не являются диффеоморфными. (Более подробную информацию см. в статье об экзотических сферах .) Однако в 2007 году Саймон Брендл и Ричард Шен использовали поток Риччи , чтобы доказать, что при указанных выше гипотезах M обязательно диффеоморфна n -сфере с ее стандартной гладкой структурой. Более того, доказательство Брендла и Шена использует только более слабое предположение о точечном, а не глобальном защемлении. Этот результат известен как теорема о дифференцируемой сфере .
История теоремы о сфере
Хайнц Хопф предположил, что односвязное многообразие с защемленной секционной кривизной является сферой. [1] В 1951 году Гарри Раух показал, что односвязное многообразие с кривизной в [3/4,1] гомеоморфно сфере. [2] В 1960 году Марсель Бергер и Вильгельм Клингенберг доказали топологическую версию теоремы о сфере с оптимальной константой защемления. [3] [4] Бергер обсуждает историю теоремы в своей книге «Панорамный вид римановой геометрии» , первоначально опубликованной в 2003 году . [5]
Ссылки
- ^ Хопф, Хайнц ( 1932 ), «Дифференциальная геометрия и топологический гештальт», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 41 : 209–228
- ^ Раух, Х. Э. (1951). «Вклад в дифференциальную геометрию в целом». Анналы математики . 54 (1): 38– 55. doi :10.2307/1969309. JSTOR 1969309.
- ^ Бергер, М. (1961). «Les variétés riemanniennes homogenes Normales Simplement connexes à Courbure Strictement Positive». Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Scienze Fisiche e Matematiche (на французском языке). 15 (3): 179–246 . ISSN 0036-9918 . Проверено 15 января 2024 г.
- ^ Клингенберг, Вильгельм (1961). «Über Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Positive Krümmung». Комментарии по математике Helvetici . 35 : 47–54 . doi : 10.1007/BF02567004. eISSN 1420-8946. ISSN 0010-2571. S2CID 124444094 . Проверено 15 января 2024 г.
- ^ Бергер, Марсель (2012). Панорамный вид римановой геометрии . Spring-Verlag. ISBN 978-3-642-62121-5.
- Брендл, Саймон (2010). Поток Риччи и теорема о сфере . Аспирантура по математике. Том 111. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . doi : 10.1090/gsm/111. ISBN 978-0-8218-4938-5. МР 2583938.
- Брендл, Саймон; Шен, Ричард (2009). «Многообразия с 1/4-защемленной кривизной являются пространственными формами». Журнал Американского математического общества . 22 (1): 287– 307. arXiv : 0705.0766 . Bibcode : 2009JAMS...22..287B. doi : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9. MR 2449060.
- Брендл, Саймон; Шен, Ричард (2011). «Кривизна, теоремы о сфере и поток Риччи». Бюллетень Американского математического общества . 48 (1): 1– 32. arXiv : 1001.2278 . doi :10.1090/s0273-0979-2010-01312-4. MR 2738904.
