Теорема Ли–Янга

В статистической механике теорема Ли–Янга утверждает, что если статистические суммы некоторых моделей в статистической теории поля с ферромагнитными взаимодействиями рассматриваются как функции внешнего поля, то все нули являются чисто мнимыми (или на единичной окружности после замены переменной). Первая версия была доказана для модели Изинга Т. Д. Ли и К. Н. Янгом (  1952) (Lee & Yang 1952). Позднее их результат был распространен на более общие модели несколькими людьми. Асано в 1970 году распространил теорему Ли–Янга на модель Гейзенберга и предоставил более простое доказательство с использованием сокращений Асано . Саймон и Гриффитс (1973) распространили теорему Ли–Янга на некоторые непрерывные распределения вероятностей, аппроксимировав их суперпозицией моделей Изинга. Ньюман (1974) дал общую теорему, грубо утверждающую, что теорема Ли–Янга верна для ферромагнитного взаимодействия при условии, что она верна для нулевого взаимодействия. Либ и Сокал (1981) обобщили результат Ньюмена с мер на R на меры на многомерном евклидовом пространстве.

Были высказаны некоторые предположения о связи между теоремой Ли–Янга и гипотезой Римана о дзета-функции Римана ; см. (Knauf 1999).

Согласно формализации Ньюмана (1974), гамильтониан задается выражением

${\displaystyle H=-\sum J_{jk}S_{j}S_{k}-\sum z_{j}S_{j}}$

где S _j 's — спиновые переменные, z _{j —} внешнее поле. Система называется ферромагнитной, если все коэффициенты во взаимодействии J _jk являются неотрицательными действительными числами.

Функция распределения определяется выражением

${\displaystyle Z=\int e^{-H}d\mu _{1}(S_{1})\cdots d\mu _{N}(S_{N})}$

где каждое dμ _j является четной мерой на действительных числах R, убывающей на бесконечности так быстро, что все гауссовские функции интегрируемы, т.е.

${\displaystyle \int e^{bS^{2}}d|\mu _{j}(S)|<\infty,\,\forall b\in \mathbb {R}.}$

Говорят, что быстро убывающая мера на действительных числах обладает свойством Ли-Янга, если все нули ее преобразования Фурье действительны, как указано ниже.

${\displaystyle \int e^{hS}d\mu _{j}(S)\neq 0,\,\forall h\in \mathbb {H} _{+}:=\{z\in \mathbb {C} \mid \Re (z)>0\}}$

Теорема Ли–Янга утверждает, что если гамильтониан является ферромагнитным и все меры dμ _j обладают свойством Ли–Янга, а все числа z _j имеют положительную действительную часть, то статистическая сумма отлична от нуля.

${\displaystyle Z(\{z_{j}\})\neq 0,\,\forall z_{j}\in \mathbb {H} _{+}}$

В частности, если все числа z _j равны некоторому числу z , то все нули статистической суммы (рассматриваемой как функция z ) являются мнимыми.

В исходном случае модели Изинга, рассмотренном Ли и Янгом, все меры имеют опору на 2-точечном наборе −1, 1, поэтому функцию распределения можно считать функцией переменной ρ = e ^{π z} . При такой замене переменной теорема Ли–Янга утверждает, что все нули ρ лежат на единичной окружности.

Вот некоторые примеры меры со свойством Ли–Янга:

• Мера модели Изинга, которая имеет поддержку, состоящую из двух точек (обычно 1 и −1) каждая с весом 1/2. Это исходный случай, рассмотренный Ли и Янгом.
• Распределение спина n /2, носитель которого имеет n +1 равноотстоящих точек, каждая из которых имеет вес 1/( n  +1). Это обобщение случая модели Изинга.
• Плотность меры равномерно распределена между −1 и 1.
• Плотность${\displaystyle \exp(-\lambda \cosh(S))\,dS}$
• Плотность для положительного λ и действительного b . Это соответствует ( φ ⁴ ) ₂ евклидовой квантовой теории поля.${\displaystyle \exp(-\lambda S^{4}-bS^{2})\,dS}$
• Плотность при положительном λ не всегда обладает свойством Ли-Янга.${\displaystyle \exp(-\lambda S^{6}-aS^{4}-bS^{2})\,dS}$
• Если dμ обладает свойством Ли-Янга, то же самое относится и к exp( bS ² )  dμ для любого положительного b .
• Если dμ обладает свойством Ли-Янга, то же самое относится и к Q ( S )  dμ для любого четного многочлена Q, все нули которого мнимые.
• Свертка двух мер со свойством Ли-Янга также обладает свойством Ли-Янга.

• Теория Ли–Яна

• Ициксон, Клод; Друфф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория поля. Том 1 , Кембриджские монографии по математической физике, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-34058-8, г-н  1175176
• Кнауф, Андреас (1999), «Теория чисел, динамические системы и статистическая механика», Обзоры по математической физике , 11 (8): 1027– 1060, Bibcode : 1999RvMaP..11.1027K, CiteSeerX  10.1.1.184.8685 , doi : 10.1142/S0129055X99000325, ISSN  0129-055X, MR  1714352
• Ли, ТД; Янг, КН (1952), «Статистическая теория уравнений состояния и фазовых переходов. II. Решеточный газ и модель Изинга», Physical Review , 87 (3): 410– 419, Bibcode : 1952PhRv...87..410L, doi : 10.1103/PhysRev.87.410, ISSN  0031-9007
• Либ, Эллиотт Х.; Сокал, Алан Д. (1981), «Общая теорема Ли-Янга для однокомпонентных и многокомпонентных ферромагнетиков», Communications in Mathematical Physics , 80 (2): 153– 179, Bibcode : 1981CMaPh..80..153L, doi : 10.1007/BF01213009, ISSN  0010-3616, MR  0623156, S2CID  59332042
• Ньюман, Чарльз М. (1974), «Нули функции распределения для обобщенных систем Изинга», Сообщения по чистой и прикладной математике , 27 (2): 143– 159, doi :10.1002/cpa.3160270203, ISSN  0010-3640, MR  0484184
• Саймон, Барри ; Гриффитс, Роберт Б. (1973), «Теория поля (φ4)2 как классическая модель Изинга», Communications in Mathematical Physics , 33 (2): 145–164 , Bibcode : 1973CMaPh..33..145S, CiteSeerX  10.1.1.210.9639 , doi : 10.1007/BF01645626, ISSN  0010-3616, MR  0428998, S2CID  123201243
• Янг, CN; Ли, TD (1952), «Статистическая теория уравнений состояния и фазовых переходов. I. Теория конденсации», Physical Review , 87 (3): 404– 409, Bibcode : 1952PhRv...87..404Y, doi : 10.1103/PhysRev.87.404, ISSN  0031-9007