Теорема о факторах
Полиномиальные нули, связанные с линейными множителями

В алгебре теорема о факторах связывает многочленные множители с многочленными корнями . В частности, если является многочленом, то является множителем тогда и только тогда, когда (то есть является корнем многочлена). Теорема является частным случаем теоремы о многочленных остатках . [1] [2] ф ( х ) {\displaystyle f(x)} х − а {\displaystyle xa} ф ( х ) {\displaystyle f(x)} ф ( а ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} а {\displaystyle а}

Теорема следует из основных свойств сложения и умножения. Из этого следует, что теорема верна также тогда, когда коэффициенты и элемент принадлежат любому коммутативному кольцу , а не только полю . а {\displaystyle а}

В частности, поскольку многомерные полиномы можно рассматривать как одномерные по одной из своих переменных, справедливо следующее обобщение: если и являются многомерными полиномами и не зависит от , то является множителем тогда и только тогда, когда является нулевым полиномом. ф ( Х 1 , … , Х н ) {\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})} г ( Х 2 , … , Х н ) {\displaystyle g(X_{2},\ldots ,X_{n})} г {\displaystyle г} Х 1 {\displaystyle X_{1}} Х 1 − г ( Х 2 , … , Х н ) {\displaystyle X_{1}-g(X_{2},\ldots ,X_{n})} ф ( Х 1 , … , Х н ) {\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})} ф ( г ( Х 2 , … , Х н ) , Х 2 , … , Х н ) {\displaystyle f(g(X_{2},\ldots ,X_{n}),X_{2},\ldots ,X_{n})}

Факторизация многочленов

Две задачи, к которым обычно применяется теорема о факторах, — это разложение многочлена на множители и нахождение корней полиномиального уравнения; прямым следствием теоремы является то, что эти задачи по сути эквивалентны.

Теорема о факторах также используется для удаления известных нулей из многочлена, оставляя все неизвестные нули нетронутыми, таким образом получая многочлен более низкой степени, нули которого может быть легче найти. Абстрактно, метод выглядит следующим образом: [3]

  1. Выведите кандидата на ноль многочлена из его старшего коэффициента и свободного члена . (См. Теорему о рациональных корнях .) а {\displaystyle а} ф {\displaystyle f} а н {\displaystyle а_{н}} а 0 {\displaystyle а_{0}}
  2. Используйте теорему о факторах, чтобы заключить, что является множителем . ( х − а ) {\displaystyle (xa)} ф ( х ) {\displaystyle f(x)}
  3. Вычислите многочлен , например, с помощью деления многочленов в столбик или синтетического деления . г ( х ) = ф ( х ) ( х − а ) {\textstyle g(x)={\dfrac {f(x)}{(xa)}}}
  4. Заключите, что любой корень из является корнем из . Поскольку степень многочлена на единицу меньше, чем у , то «проще» найти оставшиеся нули, изучая . х ≠ а {\displaystyle x\neq a} ф ( х ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} г ( х ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} г {\displaystyle г} ф {\displaystyle f} г {\displaystyle г}

Продолжаем процесс до тех пор, пока многочлен не будет полностью разложен на множители, все множители которого неприводимы по или . ф {\displaystyle f} Р [ х ] {\displaystyle \mathbb {R} [x]} С [ х ] {\displaystyle \mathbb {C} [x]}

Пример

Найдите множители х 3 + 7 х 2 + 8 х + 2. {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2.}

Решение : Пусть — указанный выше многочлен п ( х ) {\displaystyle p(x)}

Постоянный член = 2
Коэффициент х 3 = 1 {\displaystyle x^{3}=1}

Все возможные множители числа 2 — это и . Подставляя , получаем: ± 1 {\displaystyle \pm 1} ± 2 {\displaystyle \pm 2} х = − 1 {\displaystyle х=-1}

( − 1 ) 3 + 7 ( − 1 ) 2 + 8 ( − 1 ) + 2 = 0 {\displaystyle (-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2=0}

Итак, , т.е. является множителем . При делении на , получаем ( х − ( − 1 ) ) {\displaystyle (x-(-1))} ( х + 1 ) {\displaystyle (x+1)} п ( х ) {\displaystyle p(x)} п ( х ) {\displaystyle p(x)} ( х + 1 ) {\displaystyle (x+1)}

Частное = х 2 + 6 х + 2 {\displaystyle x^{2}+6x+2}

Следовательно, п ( х ) = ( х 2 + 6 х + 2 ) ( х + 1 ) {\displaystyle p(x)=(x^{2}+6x+2)(x+1)}

Из них квадратный множитель может быть дополнительно разложен с помощью квадратной формулы , которая дает в качестве корней квадратного уравнения Таким образом, три неприводимых множителя исходного многочлена равны и − 3 ± 7 . {\displaystyle -3\pm {\sqrt {7}}.} х + 1 , {\displaystyle x+1,} х − ( − 3 + 7 ) , {\displaystyle x-(-3+{\sqrt {7}}),} х − ( − 3 − 7 ) . {\displaystyle x-(-3-{\sqrt {7}}).}

Доказательства

Здесь представлено несколько доказательств теоремы.

Если является множителем, то сразу следует, что Итак, далее будет доказано только обратное. х − а {\displaystyle xa} ф ( х ) , {\displaystyle f(x),} ф ( а ) = 0. {\displaystyle f(a)=0.}

Доказательство 1

Это доказательство начинается с проверки утверждения для . То есть, оно покажет, что для любого многочлена , для которого , существует многочлен такой, что . Для этого запишем явно как . Теперь заметим, что , поэтому . Таким образом, . Этот случай теперь доказан. а = 0 {\displaystyle а=0} ф ( х ) {\displaystyle f(x)} ф ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} г ( х ) {\displaystyle g(x)} ф ( х ) = х ⋅ г ( х ) {\displaystyle f(x)=x\cdot g(x)} ф ( х ) {\displaystyle f(x)} с 0 + с 1 х 1 + … + с н х н {\displaystyle c_{0}+c_{1}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n}} 0 = ф ( 0 ) = с 0 {\displaystyle 0=f(0)=c_{0}} с 0 = 0 {\displaystyle c_{0}=0} ф ( х ) = х ( с 1 + с 2 х 1 + … + с н х н − 1 ) = х ⋅ г ( х ) {\displaystyle f(x)=x(c_{1}+c_{2}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n-1})=x\cdot g(x)}

Осталось доказать теорему для общего случая, сведя ее к случаю. Для этого заметим, что — многочлен с корнем в . Из доказанного выше следует, что для некоторого многочлена . Наконец, . а {\displaystyle а} а = 0 {\displaystyle а=0} ф ( х + а ) {\displaystyle f(x+a)} х = 0 {\displaystyle x=0} ф ( х + а ) = х ⋅ г ( х ) {\displaystyle f(x+a)=x\cdot g(x)} г ( х ) {\displaystyle g(x)} ф ( х ) = ф ( ( х − а ) + а ) = ( х − а ) ⋅ г ( х − а ) {\ displaystyle f (x) = f ((xa) + a) = (xa) \ cdot g (xa)}

Доказательство 2

Во-первых, заметим, что всякий раз, когда и принадлежат любому коммутативному кольцу (одному и тому же), то тождество истинно. Это показывается путем умножения скобок. х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} х н − у н = ( х − у ) ( у н − 1 + х 1 у н − 2 + … + х н − 2 у 1 + х н − 1 ) {\displaystyle x^{n}-y^{n}=(xy)(y^{n-1}+x^{1}y^{n-2}+\dotsc +x^{n-2} y^{1}+x^{n-1})}

Пусть , где — любое коммутативное кольцо. Запишем для последовательности коэффициентов . Предположим для некоторого . Заметим тогда, что . Заметим, что каждое слагаемое имеет в качестве множителя по факторизации выражений вида , который обсуждался выше. Таким образом, заключаем, что является множителем . ф ( Х ) ∈ Р [ Х ] {\displaystyle f(X)\in R\left[X\right]} Р {\displaystyle R} ф ( Х ) = ∑ я с я Х я {\displaystyle f(X)=\sum _{i}c_{i}X^{i}} ( с я ) я {\displaystyle (c_{i})_{i}} ф ( а ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} а ∈ Р {\displaystyle a\in R} ф ( Х ) = ф ( Х ) − ф ( а ) = ∑ я с я ( Х я − а я ) {\displaystyle f(X)=f(X)-f(a)=\sum _{i}c_{i}(X^{i}-a^{i})} Х − а {\displaystyle Xa} х н − у н {\displaystyle x^{n}-y^{n}} Х − а {\displaystyle Xa} ф ( Х ) {\displaystyle f(X)}

Доказательство 3

Теорема может быть доказана с помощью евклидова деления многочленов : Выполним евклидово деление на , чтобы получить , где . Поскольку , то следует, что является константой. Наконец, заметим, что . Таким образом . ф ( х ) {\displaystyle f(x)} ( х − а ) {\displaystyle (xa)} ф ( х ) = ( х − а ) В ( х ) + Р ( х ) {\displaystyle f(x)=(xa)Q(x)+R(x)} градус ⁡ ( Р ) < градус ⁡ ( х − а ) {\displaystyle \deg(R)<\deg(xa)} градус ⁡ ( Р ) < градус ⁡ ( х − а ) {\displaystyle \deg(R)<\deg(xa)} Р {\displaystyle R} 0 = ф ( а ) = Р {\displaystyle 0=f(a)=R} ф ( х ) = ( х − а ) В ( х ) {\displaystyle f(x)=(xa)Q(x)}

Евклидово деление, описанное выше, возможно в любом коммутативном кольце, поскольку является моническим многочленом , и, следовательно, алгоритм деления многочленов в столбик не требует деления коэффициентов. ( х − а ) {\displaystyle (xa)}

Следствие из других теорем

Это также следствие теоремы о полиномиальных остатках , но и наоборот, может быть использовано для ее доказательства.

Когда полиномы являются многомерными, а коэффициенты образуют алгебраически замкнутое поле , Nullstellensatz является существенным и глубоким обобщением.

Ссылки

  1. ^ Салливан, Майкл (1996), Алгебра и тригонометрия , Prentice Hall, стр. 381, ISBN 0-13-370149-2
  2. ^ Сехгал, ВК; Гупта, Сонал, Longman ICSE Mathematics Class 10 , Дорлинг Киндерсли (Индия), стр. 119, ISBN 978-81-317-2816-1.
  3. ^ Бансал, РК, Всесторонняя математика IX , Laxmi Publications, стр. 142, ISBN 81-7008-629-9.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Factor_theorem&oldid=1251241107"