Теорема Уилки

В математике теорема Уилки — результат Алекса Уилки о теории упорядоченных полей с экспоненциальной функцией или, что эквивалентно , о геометрической природе экспоненциальных многообразий.

В терминах теории моделей теорема Уилки имеет дело с языком L _exp  = (+, −, ·, <, 0, 1, e ^x ), языком упорядоченных колец с показательной функцией e ^x . Предположим, что φ ( x ₁ , ..., x _m ) — формула на этом языке. Тогда теорема Уилки утверждает, что существует целое число n  ≥  m и многочлены f ₁ , ..., f _r  ∈  Z [ x ₁ , ..., x _n , e ^{x ₁} , ..., e ^{x _n} ] такие, что φ ( x ₁ , ..., x _m ) эквивалентна экзистенциальной формуле

${\displaystyle \exists x_{m+1}\ldots \exists x_{n}\,f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})=\cdots =f_{r}(x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})=0.}$

Таким образом, хотя эта теория не имеет полного устранения кванторов , формулы могут быть представлены в особенно простой форме. Этот результат доказывает, что теория структуры R _exp , то есть действительного упорядоченного поля с экспоненциальной функцией , является модельно полной . ^[1]

В терминах аналитической геометрии теорема утверждает, что любое определимое множество в указанном выше языке — в частности, дополнение к экспоненциальному многообразию — на самом деле является проекцией экспоненциального многообразия. Экспоненциальное многообразие над полем K — это множество точек в K ^{n ,} где конечный набор экспоненциальных многочленов одновременно обращается в нуль. Теорема Уилки утверждает, что если у нас есть любое определимое множество в структуре L _exp K  = ( K , +, −, ·, 0, 1, e ^x ), скажем, X  ⊂  K ^m , то в некоторой более высокой размерности K ⁿ будет существовать экспоненциальное многообразие, такое что проекция этого многообразия вниз на K ^m будет в точности равна X .

Результат можно рассматривать как вариацию теоремы Габриэлова. Эта более ранняя теорема Андрея Габриэлова касалась субаналитических множеств , или языка L _an упорядоченных колец с функциональным символом для каждой собственной аналитической функции на R ^{m ,} ограниченной замкнутым единичным кубом [0, 1] ^m . Теорема Габриэлова утверждает, что любая формула в этом языке эквивалентна экзистенциальной, как и выше. ^[2] Следовательно, теория действительного упорядоченного поля с ограниченными аналитическими функциями является модельно полной.

Теорема Габриелова применима к реальному полю со всеми присоединенными ограниченными аналитическими функциями, тогда как теорема Уилки устраняет необходимость ограничивать функцию, но позволяет добавлять только экспоненциальную функцию. В качестве промежуточного результата Уилки спросил, когда дополнение субаналитического множества может быть определено с использованием тех же аналитических функций, которые описывали исходное множество. Оказывается, требуемыми функциями являются функции Пфаффа . ^[1] В частности, теория действительного упорядоченного поля с ограниченными, полностью определенными функциями Пфаффа является модельно полной. ^[3] Подход Уилки к этому последнему результату несколько отличается от его доказательства теоремы Уилки, и результат, который позволил ему показать, что пфаффова структура является модельно полной, иногда называют теоремой Уилки о дополнении. См. также. ^[4]