О-минимальная теория

В математической логике , а точнее в теории моделей , бесконечная структура ( M ,<,...), которая полностью упорядочена с помощью <, называется o-минимальной структурой тогда и только тогда, когда каждое определимое подмножество X  ⊆  M (с параметрами, взятыми из M ) является конечным объединением интервалов и точек.

O-минимальность можно рассматривать как слабую форму исключения кванторов . Структура M является o-минимальной тогда и только тогда, когда каждая формула с одной свободной переменной и параметрами в M эквивалентна бескванторной формуле, включающей только упорядочение, также с параметрами в M. Это аналогично минимальным структурам, которые обладают в точности аналогичным свойством вплоть до равенства.

Теория T является o-минимальной теорией, если каждая модель T является o- минимальной . Известно, что полная теория T o-минимальной структуры является o-минимальной теорией. [ ^1] Этот результат примечателен, поскольку, напротив, полная теория минимальной структуры не обязательно должна быть строго минимальной теорией , то есть может существовать элементарно эквивалентная структура, которая не является минимальной.

O-минимальные структуры могут быть определены без обращения к теории моделей. Здесь мы определяем структуру на непустом множестве M в теоретико-множественной манере, как последовательность S  = ( S _n ), n  = 0,1,2,... такую, что

1. S _n — булева алгебра подмножеств M ⁿ
2. если D  ∈  S _{n ,} то M  ×  D и D  × M лежат в S _{n +1}
3. множество {( x ₁ ,..., x _n ) ∈  M ⁿ  :  x ₁  =  x _n } находится в S _n
4. если D  ∈  S _{n +1} и π  :  M ^{n +1}  →  M ⁿ — отображение проекции на первые n координат, то π ( D ) ∈  S _n .

Для подмножества A из M рассмотрим наименьшую структуру S ( A ), содержащую S , такую, что каждое конечное подмножество из A содержится в S ₁ . Подмножество D из M ⁿ называется A -определимым, если оно содержится в S _n ( A ); в этом случае A называется набором параметров для D . Подмножество называется определимым, если оно A -определимо для некоторого A .

Если M имеет плотный линейный порядок без конечных точек на нем, скажем, <, то структура S на M называется o-минимальной (относительно <), если она удовлетворяет дополнительным аксиомам

6. множество < (={( x , y ) ∈  M ²  :  x  <  y }) находится в S ₂
7. Определимые подмножества M — это в точности конечные объединения интервалов и точек.

«О» означает «порядок», поскольку любая о-минимальная структура требует упорядочения базового множества.

O-минимальные структуры возникли в теории моделей и поэтому имеют более простое — но эквивалентное — определение с использованием языка теории моделей. ^[2] В частности, если L — язык, включающий бинарное отношение <, и ( M ,<,...) — L -структура, где < интерпретируется как удовлетворяющая аксиомам плотного линейного порядка, ^[3] то ( M ,<,...) называется o-минимальной структурой, если для любого определимого множества X  ⊆  M существует конечное число открытых интервалов I ₁ ,..., I _r в M  ∪ {±∞} и конечное множество X ₀ такие, что

${\displaystyle X=X_{0}\cup I_{1}\cup \ldots \cup I_{r}.}$

Примерами о-минимальных теорий являются:

• Полная теория плотных линейных порядков в языке, включающем только упорядочивание.
• RCF, теория действительных замкнутых полей . ^[4]
• Полная теория действительного поля с добавленными ограниченными аналитическими функциями (т.е. аналитическими функциями в окрестности [0,1] ⁿ , ограниченными до [0,1] ⁿ ; обратите внимание, что неограниченная синусоидальная функция имеет бесконечно много корней и поэтому не может быть определена в о-минимальной структуре).
• Полная теория действительного поля с символом для показательной функции по теореме Уилки . В более общем смысле, полная теория действительных чисел с добавлением функций Пфаффа .
• Последние два примера можно объединить: для любого o-минимального расширения действительного поля (такого как действительное поле с ограниченными аналитическими функциями) можно определить его пфаффово замыкание, которое снова является o-минимальной структурой. ^[5] (Пфаффово замыкание структуры, в частности, замкнуто относительно пфаффовых цепей, где вместо полиномов используются произвольные определимые функции.)

В случае RCF определимые множества являются полуалгебраическими множествами . Таким образом, изучение o-минимальных структур и теорий обобщает действительную алгебраическую геометрию . Основное направление современных исследований основано на открытии расширений действительного упорядоченного поля, которые являются o-минимальными. Несмотря на общность применения, можно показать многое о геометрии множеств, определимых в o-минимальных структурах. Существует теорема о разложении клеток, ^{[6] теоремы} Уитни и Вердье о стратификации и хорошее понятие размерности и эйлеровой характеристики.

Более того, непрерывно дифференцируемые определимые функции в о-минимальной структуре удовлетворяют обобщению неравенства Лоясевича ^[7], свойству , которое использовалось для гарантии сходимости некоторых негладких методов оптимизации, таких как метод стохастического субградиента (при некоторых умеренных предположениях). ^{[8] [9] [10]}

• Полуалгебраическое множество
• Действительная алгебраическая геометрия
• Строго минимальная теория
• Слабо о-минимальная структура
• C-минимальная теория
• Топология «ручная»

• van den Dries, Lou (1998). Ручная топология и o-минимальные структуры . Серия заметок о лекциях Лондонского математического общества. Том 248. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-59838-5. Збл  0953.03045.
• Маркер, Дэвид (2000). "Обзор "Ручной топологии и о-минимальных структур"" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 37 (3): 351– 357. doi : 10.1090/S0273-0979-00-00866-1 .
• Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: Введение . Graduate Texts in Mathematics. Том 217. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98760-6. Збл  1003.03034.
• Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "Определимые множества в упорядоченных структурах I" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 295 (2): 565– 592. doi : 10.2307/2000052 . JSTOR  2000052. Zbl  0662.03023.
• Найт, Джулия ; Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1986). «Определимые множества в упорядоченных структурах II». Труды Американского математического общества . 295 (2): 593– 605. doi : 10.2307/2000053 . JSTOR  2000053. Zbl  0662.03024.
• Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1988). «Определимые множества в упорядоченных структурах III». Transactions of the American Mathematical Society . 309 (2): 469– 476. doi : 10.2307/2000920 . JSTOR  2000920. Zbl  0707.03024.
• Wilkie, AJ (1996). "Результаты полноты модели для расширений упорядоченного поля действительных чисел ограниченными функциями Пфаффа и экспоненциальной функцией" (PDF) . Журнал Американского математического общества . 9 (4): 1051– 1095. doi : 10.1090/S0894-0347-96-00216-0 .
• Денеф, Дж.; ван ден Драйс, Л. (1989). " p -адические и вещественные субаналитические множества". Annals of Mathematics . 128 (1): 79– 138. doi :10.2307/1971463. JSTOR  1971463.

• Сервер препринтов Model Theory
• Сервер препринтов по реальной алгебраической и аналитической геометрии