Явные формулы для L-функций

В математике явные формулы для L-функций — это соотношения между суммами по комплексным нулям L-функции и суммами по степеням простых чисел , введенные Риманом (1859) для дзета-функции Римана . Такие явные формулы применялись также к вопросам ограничения дискриминанта алгебраического числового поля и кондуктора числового поля .

В своей статье 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины » Риман набросал явную формулу (она не была полностью доказана до 1895 года фон Мангольдтом , см. ниже) для нормализованной функции подсчета простых чисел π ₀ ( x ) , которая связана с функцией подсчета простых чисел π( x ) соотношением ^{[ требуется ссылка ]}

${\displaystyle \пи _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left[\,\пи (x+h)+\пи (xh)\,\right]\,,}$

который берет арифметическое среднее предела слева и предела справа в точках разрыва. ^[a] Его формула была дана в терминах связанной функции

${\displaystyle f(x)=\пи _{0}(x)+{\frac {1}{2}}\,\пи _{0}(x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\,\пи _{0}(x^{1/3})+\cdots }$

в котором степень простого числа p ⁿ считается как 1 ⁄ n простого числа. Нормализованная функция подсчета простых чисел может быть восстановлена ​​из этой функции с помощью

^[1]${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\,\mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\,f(x^{1/6})-\cdots ,}$

где μ ( n ) — функция Мёбиуса . Формула Римана тогда имеет вид

${\displaystyle f(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{~t\,(t^{2}-1)~\log(t)~}}}$

включающая сумму по нетривиальным нулям ρ дзета-функции Римана. Сумма не является абсолютно сходящейся , но может быть оценена путем взятия нулей в порядке абсолютного значения их мнимой части. Функция li , встречающаяся в первом члене, является (несмещенной) логарифмической интегральной функцией, заданной главным значением Коши расходящегося интеграла

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\,\log(t)\,}}\,.}$

Члены li( x ^ρ ), включающие нули дзета-функции, требуют некоторой осторожности в их определении, поскольку li имеет точки ветвления в 0 и 1 и определяются аналитическим продолжением по комплексной переменной ρ в области x > 1 и Re( ρ ) > 0 . Другие члены также соответствуют нулям: доминирующий член li( x ) исходит из полюса в s = 1 , рассматриваемого как нуль кратности −1, а остальные малые члены исходят из тривиальных нулей. Эта формула говорит, что нули дзета-функции Римана управляют колебаниями простых чисел вокруг их «ожидаемых» положений. (Графики сумм первых нескольких членов этого ряда см. в Zagier 1977.)

Первое строгое доказательство вышеупомянутой формулы было дано фон Мангольдтом в 1895 году: оно началось с доказательства следующей формулы для функции Чебышёва ψ  ^[2]

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\,ds=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2})}$

где LHS — это обратное преобразование Меллина с

${\displaystyle \sigma >1\,,\quad \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad {\text{and}}\quad \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (x-h))}$

а правая часть получается из теоремы о вычетах , а затем преобразуется в формулу, которую на самом деле набросал сам Риман.

Этот ряд также условно сходится и сумму по нулям следует снова брать в порядке возрастания мнимой части: ^[3]

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\to \infty }S(x,T)}$  где  ${\displaystyle S(x,T)=\sum _{\rho :\left|\Im \rho \right|\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,.}$

Ошибка, возникающая при усечении суммы до S ( x , T ) , всегда меньше, чем ln( x ) по абсолютному значению, а при делении на натуральный логарифм x имеет абсолютное значение, меньшее, чем x ⁄ T , деленное на расстояние от x до ближайшей простой степени. ^[4]

Существует несколько немного отличающихся способов сформулировать явную формулу. ^[5] Форма явной формулы Андре Вейля гласит:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (1)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\Phi (\rho )\\&=\sum _{p,m}{\frac {\log(p)}{p^{m/2}}}{\Big (}F(\log(p^{m}))+F(-\log(p^{m})){\Big )}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\Psi (t)\,dt\end{aligned}}}$

где

• ρ пробегает нетривиальные нули дзета-функции
• p пробегает положительные простые числа
• m пробегает положительные целые числа
• F — гладкая функция, все производные которой быстро убывают.
• ${\displaystyle \varphi }$является преобразованием Фурье функции F :$${\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{itx}\,dx}$$
• ${\displaystyle \Phi (1/2+it)=\varphi (t)}$
• ${\displaystyle \Psi (t)=-\log(\pi )+\operatorname {Re} (\psi (1/4+it/2))}$, где — дигамма-функция Γ ′ /Γ .${\displaystyle \psi }$

Грубо говоря, явная формула гласит, что преобразование Фурье нулей дзета-функции — это набор простых степеней плюс некоторые элементарные множители. Как только это сказано, формула исходит из того факта, что преобразование Фурье является унитарным оператором, так что скалярное произведение во временной области равно скалярному произведению преобразований Фурье в частотной области.

Члены формулы возникают следующим образом.

• Члены в правой части происходят от логарифмической производной , при этом члены, соответствующие простому числу p, происходят из эйлерова множителя p , а член в конце, включающий Ψ, происходит из гамма-множителя ( эйлерова множителя на бесконечности).$${\displaystyle \zeta ^{*}(s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$$
• Левая часть представляет собой сумму по всем нулям ζ  ^*, подсчитанную с учетом кратностей, поэтому полюса в точках 0 и 1 считаются нулями порядка −1.

Явную формулу Вейля можно понять так. Цель состоит в том, чтобы иметь возможность записать это:

${\displaystyle {\frac {d}{du}}\left[\sum _{n\leq e^{|u|}}\Lambda (n)+{\frac {1}{2}}\ln(1-e^{-2|u|})\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u},}$

где Λ — функция Мангольдта .

Так что преобразование Фурье нетривиальных нулей равно степени простых чисел, симметризированной плюс младший член. Конечно, сумма, участвующая в этом, не сходится, но трюк в том, чтобы использовать унитарное свойство преобразования Фурье, которое заключается в том, что оно сохраняет скалярное произведение:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(u)g^{*}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }F(t)G^{*}(t)\,dt}$

где — преобразования Фурье . На первый взгляд, это кажется формулой только для функций, но на самом деле во многих случаях она работает и тогда, когда — распределение. Следовательно, устанавливая, где — дельта Дирака , и тщательно выбирая функцию и ее преобразование Фурье, мы получаем приведенную выше формулу.${\displaystyle F,G}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right],}$$${\displaystyle \delta (u)}$${\displaystyle f}$

Дзета-функцию Римана можно заменить L-функцией Дирихле характера Дирихле χ. Тогда сумма по простым степеням получает дополнительные множители χ ( p ^m ), а члены Φ(1) и Φ(0) исчезают, поскольку L-ряд не имеет полюсов. 

В более общем случае дзета-функция Римана и ряд L можно заменить дзета-функцией Дедекинда алгебраического числового поля или рядом Гекке L. Сумма по простым числам тогда заменяется суммой по простым идеалам.

Первоначально Риманом явная формула использовалась для того, чтобы дать точную формулу для числа простых чисел, меньших заданного числа. Для этого возьмем F (log( y )) равным y ^1/2 /log( y ) для 0 ≤  y  ≤  x и 0 в других местах. Тогда главный член суммы справа — это число простых чисел, меньших x . Главный член слева — это Φ (1); который оказывается доминирующим членом теоремы о простых числах , а главная поправка — это сумма по нетривиальным нулям дзета-функции. (В использовании этого случая есть небольшая техническая проблема, заключающаяся в том, что функция F не удовлетворяет условию гладкости.)

Согласно гипотезе Гильберта–Полиа , комплексные нули ρ должны быть собственными значениями некоторого линейного оператора T. Сумма по нулям явной формулы тогда (по крайней мере формально) задается следом:

${\displaystyle \sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr} (F({\widehat {T}})).\!}$

Разработка явных формул для широкого класса L-функций была дана Вейлем (1952), который первым распространил эту идею на локальные дзета-функции и сформулировал версию обобщенной гипотезы Римана в этой обстановке как утверждение положительности для обобщенной функции на топологической группе . Более поздняя работа Алена Конна продвинулась гораздо дальше в функционально-аналитический фон, предоставив формулу следа, справедливость которой эквивалентна такой обобщенной гипотезе Римана. Несколько иная точка зрения была дана Мейером (2005), который вывел явную формулу Вейля с помощью гармонического анализа на адельных пространствах.

• формула следа Сельберга
• Дзета-функция Сельберга

• Ингхэм, AE (1990) [1932], Распределение простых чисел , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, т. 30, переиздано с предисловием RC Vaughan (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39789-6, MR  1074573, Zbl  0715.11045
• Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Graduate Texts in Mathematics, т. 110 (2-е изд.), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-94225-4, ЗБЛ  0811.11001
• Риман, Бернхард (1859), «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse», Monatsberichte der Berliner Akademie
• Вейль, Андре (1952), «Sur les «explicies» de la theorie des nombres premiers» [О «явных формулах» в теории простых чисел], Comm. Сем. Математика. унив. Лунд [Медд. Лундсский университет. Мат. Sem.] (на французском языке), Tome Supplémentaire: 252–265 , MR  0053152, Zbl  0049.03205
• фон Мангольдт, Ганс (1895), "Zu Riemanns Abhandlung "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"[О статье Римана «Число простых чисел меньше заданной величины»], Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке), 114 : 255–305 , ISSN  0075-4102, JFM  26.0215.03, MR  1580379
• Мейер, Ральф (2005), «О представлении группы классов иделей, связанной с простыми числами и нулями L -функций», Duke Math. J. , 127 (3): 519– 595, arXiv : math/0311468 , doi : 10.1215/s0012-7094-04-12734-4, ISSN  0012-7094, MR  2132868, S2CID  119176169, Zbl  1079.11044
• Загир, Дон (1977), «Первые 50 миллионов простых чисел», The Mathematical Intelligencer , 1 (S2): 7– 19, doi :10.1007/bf03351556, S2CID  37866599

• Эдвардс, Х. М. (1974), Дзета-функция Римана , Чистая и прикладная математика, т. 58, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, ЗБЛ  0315.10035
• Ризель, Ганс (1994), Простые числа и компьютерные методы факторизации , Progress in Mathematics, т. 126 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5, ЗБЛ  0821.11001