персонаж Хекке

В теории чисел характер Гекке является обобщением характера Дирихле , введенным Эрихом Гекке для построения класса L -функций, большего, чем L -функции Дирихле , и естественным описанием дзета-функций Дедекинда и некоторых других, имеющих функциональные уравнения, аналогичные уравнениям дзета-функции Римана .

Характер Гекке — это характер группы классов иделей числового поля или поля глобальных функций . Он однозначно соответствует характеру группы иделей , которая тривиальна на главных иделях , посредством композиции с проекционным отображением.

Это определение зависит от определения характера, которое немного различается у разных авторов: он может быть определен как гомоморфизм ненулевых комплексных чисел (также называемый «квазихарактером») или как гомоморфизм единичной окружности в C («унитарный»). Любой квазихарактер (группы классов иделей) может быть записан однозначно как унитарный характер, умноженный на действительную степень нормы, поэтому между этими двумя определениями нет большой разницы.

Кондуктором характера Гекке χ называется наибольший идеал m такой, что χ является характером Гекке по модулю m . Здесь мы говорим, что χ является характером Гекке по модулю m, если χ (рассматриваемый как характер на группе иделей) тривиален на группе конечных иделей, каждая v-адическая компонента которых лежит в 1 + m O _v .

Größencharakter (часто пишется как Grössencharakter, Grossencharacter и т. д.), происхождение характера Гекке, восходящее к Гекке, определяется в терминах характера на дробных идеалах . Для числового поля K пусть m = m _f m _∞ будет K - модулем , где m _f , «конечная часть» , является целым идеалом K , а m _∞ , «бесконечная часть», является (формальным) произведением действительных позиций K. Пусть I _m обозначает группу дробных идеалов K, взаимно простых с m _{f ,} и пусть P _m обозначает подгруппу главных дробных идеалов ( a ), где a близко к 1 в каждой позиции m в соответствии с кратностями ее множителей: для каждой конечной позиции v в m _f , ord _v ( a − 1) по крайней мере так же велик, как показатель для v в m _f , и a положителен при каждом действительном вложении в m _∞ . Характер Грёссена с модулем m — это групповой гомоморфизм из I _m в ненулевые комплексные числа такой, что на идеалах ( a ) в P _m его значение равно значению в a непрерывного гомоморфизма в ненулевые комплексные числа из произведения мультипликативных групп всех архимедовых пополнений K , где каждая локальная компонента гомоморфизма имеет ту же самую действительную часть (в показателе степени). (Здесь мы вкладываем a в произведение архимедовых пополнений K, используя вложения, соответствующие различным архимедовым позициям на K. ) Таким образом, Größencharakter может быть определен на группе классов лучей по модулю m , которая является отношением I _m / P _m .

Строго говоря, Гекке сделал условие о поведении на главных идеалах для тех, кто допускает полностью положительный генератор. Так что, в терминах определения, данного выше, он действительно работал только с модулями, где появлялись все действительные места. Роль бесконечной части m _∞ теперь подпадает под понятие типа бесконечности.

Оба по сути являются одним и тем же понятием, имеющим соответствие 1 к 1. Идеальное определение намного сложнее идельного, и мотивацией Гекке для его определения было построение L -функций (иногда называемых L -функциями Гекке ) ^[1] , которые расширяют понятие L -функции Дирихле от рациональных чисел до других числовых полей. Для Größencharakter χ ее L -функция определяется как ряд Дирихле

${\displaystyle \sum _{(I,m)=1}\chi (I)N(I)^{-s}=L(s,\chi )}$

проведенное над целочисленными идеалами, взаимно простыми с модулем m характера Гроэссена. Обозначение N(I) означает идеальную норму . Условие общей действительной части, управляющее поведением характера Гроэссена на подгруппах P _m, подразумевает, что эти ряды Дирихле абсолютно сходятся в некоторой правой полуплоскости. Гекке доказал, что эти L -функции имеют мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость, будучи аналитическими, за исключением простого полюса порядка 1 при s = 1, когда характер тривиален. Для примитивного характера Гроэссена (определенного относительно модуля аналогично примитивным характерам Дирихле) Гекке показал, что эти L -функции удовлетворяют функциональному уравнению, связывающему значения L -функции характера и L -функции его комплексно-сопряженного характера.

Рассмотрим характер ψ группы классов иделей, взятый как отображение в единичную окружность, которое равно 1 на главных иделях и на исключительном конечном множестве S, содержащем все бесконечные позиции. Тогда ψ порождает характер χ группы идеалов I ^S , свободной абелевой группы на простых идеалах, не содержащихся в S . ^[2] Возьмем униформизирующий элемент π для каждого простого числа p , не содержащегося в S , и определим отображение Π из I ^S в классы иделей, отображая каждое p в класс иделя, который равен π в координате p и равен 1 во всех остальных местах. Пусть χ будет композицией Π и ψ. Тогда χ корректно определен как характер на группе идеалов. ^[3]

В противоположном направлении, данному допустимому характеру χ класса I ^S соответствует единственный характер класса иделей ψ. ^[4] Здесь допустимость относится к существованию модуля m, основанного на множестве S, такого, что характер χ равен 1 на идеалах, которые равны 1 mod m . ^[5]

Персонажи являются «большими» в том смысле, что тип бесконечности, когда он присутствует нетривиально, означает, что эти персонажи не имеют конечного порядка. Персонажи Гекке конечного порядка все, в некотором смысле, объясняются теорией полей классов : их L -функции являются L -функциями Артина , как показывает взаимность Артина . Но даже такое простое поле, как гауссово поле, имеет персонажи Гекке, которые выходят за рамки конечного порядка серьезным образом (см. пример ниже). Более поздние разработки в теории комплексного умножения показали, что надлежащее место «больших» персонажей было в предоставлении L -функций Хассе–Вейля для важного класса алгебраических многообразий (или даже мотивов ).

• Характер Дирихле — это характер Гекке конечного порядка. Он определяется значениями на множестве вполне положительных главных идеалов, которые равны 1 относительно некоторого модуля m . ^[5]
• Характер Гильберта — это характер Дирихле проводника 1. ^[5] Число характеров Гильберта — это порядок группы классов поля. Теория полей классов отождествляет характеры Гильберта с характерами группы Галуа поля классов Гильберта.

• Для поля рациональных чисел группа классов иделей изоморфна произведению положительных вещественных чисел со всеми единичными группами p -адических целых чисел. Поэтому квазихарактер можно записать как произведение степени нормы на характер Дирихле.${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
• Характер Гекке χ гауссовых целых чисел проводника 1 имеет вид

χ(( а )) знак равно | а | ^s ( а /| а |) ^{4 н}

для s мнимого и n целого числа, где a является генератором идеала ( a ). Единственными единицами являются степени i , поэтому множитель 4 в показателе степени гарантирует, что характер хорошо определен на идеалах.

Первоначальное доказательство Гекке функционального уравнения для L ( s , χ) использовало явную тета-функцию . Докторская диссертация Джона Тейта 1950 года в Принстоне, написанная под руководством Эмиля Артина , систематически применила двойственность Понтрягина , чтобы устранить необходимость в каких-либо специальных функциях. Похожую теорию независимо разработал Кенкичи Ивасава , которая была предметом его доклада на ICM 1950 года. Более поздняя переформулировка на семинаре Бурбаки Вейлем 1966 года показала, что части доказательства Тейта могут быть выражены теорией распределений : пространство распределений (для тестовых функций Шварца–Брюа ) на группе аделей K, преобразующихся под действием иделей заданным χ, имеет размерность 1.

Алгебраический характер Гекке — это характер Гекке, принимающий алгебраические значения: они были введены Вейлем в 1947 году под названием тип A ₀ . Такие характеры встречаются в теории полей классов и теории комплексного умножения . ^[6]

Действительно, пусть E — эллиптическая кривая, определенная над числовым полем F с комплексным умножением на мнимое квадратичное поле K , и предположим, что K содержится в F. Тогда существует алгебраический характер Гекке χ для F с исключительным множеством S — множеством простых чисел плохой редукции E вместе с бесконечными местами. Этот характер обладает тем свойством, что для простого идеала p хорошей редукции значение χ( p ) является корнем характеристического многочлена эндоморфизма Фробениуса. Как следствие, дзета-функция Хассе–Вейля для E является произведением двух рядов Дирихле , для χ и его комплексно сопряженного . [ ^7]

• Касселс, Дж. В. С .; Фрёлих, Альбрехт , ред. (1967). Алгебраическая теория чисел . Academic Press. Zbl  0153.07403.
• Heilbronn, H. (1967). "VIII. Дзета-функции и L-функции". В Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (ред.). Алгебраическая теория чисел . Academic Press. стр.  204–230 .
• Husemöller, Dale H. (1987). Эллиптические кривые . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 111. С приложением Рут Лоуренс. Springer-Verlag . ISBN 0-387-96371-5. Збл  0605.14032.
• Husemöller, Dale (2002). Эллиптические кривые . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 111 (второе изд.). Springer-Verlag . doi :10.1007/b97292. ISBN 0-387-95490-2. Збл  1040.11043.
• W. Narkiewicz (1990). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (2-е изд.). Springer-Verlag / Польское научное издательство PWN . С. 334–343. ISBN 3-540-51250-0. Збл  0717.11045.
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• J. Tate, Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке (диссертация Тейта 1950 г.), перепечатано в Algebraic Number Theory edd JWS Cassels , A. Fröhlich (1967) стр. 305–347. Zbl  1179.11041
• Тейт, Дж. Т. (1967). "VII. Глобальная теория полей классов". В Cassels, Дж. В. С .; Фрёлих, Альбрехт (ред.). Алгебраическая теория чисел . Academic Press. стр.  162–203 . Zbl  1179.11041.
• Вейль, Андре (1966), Functions Zetas et Distributions (PDF) , vol. 312, Семинария Бурбаки