Проводник (теория классов поля)

В алгебраической теории чисел проводник конечного абелева расширения локальных или глобальных полей обеспечивает количественную меру разветвления в расширении. Определение проводника связано с отображением Артина .

Пусть L / K — конечное абелево расширение неархимедовых локальных полей . Проводник L / K , обозначаемый , — это наименьшее неотрицательное целое число n такое, что высшая единичная группа${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$

${\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}_{K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,\left(\operatorname {mod} {\mathfrak {m}}_{K}^{n}\right)\right\}}$

содержится в N _{L / K} ( L ^× ), где N _{L / K} — это карта нормы поля , а — максимальный идеал K . ^[1] Эквивалентно, n — это наименьшее целое число, такое что локальное отображение Артина тривиально на . Иногда проводник определяется как , где n — как указано выше. ^[2]${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}}$${\displaystyle U_{K}^{(n)}}$${\displaystyle {\mathfrak {м}}_{К}^{н}}$

Кондуктор расширения измеряет разветвление. Качественно расширение неразветвлено тогда и только тогда, когда кондуктор равен нулю, ^[3] и оно ручно разветвлено тогда и только тогда, когда кондуктор равен 1. ^[4] Точнее, кондуктор вычисляет нетривиальность групп высшего ветвления : если s — наибольшее целое число, для которого « нижняя нумерация » группы высшего ветвления G _s нетривиальна, то , где η _{L / K} — функция, которая переводит из «нижней нумерации» в « верхнюю нумерацию » групп высшего ветвления. ^[5]${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\eta _{L/K}(s)+1}$

Проводник L / K также связан с проводниками Артина персонажей группы Галуа Gal( L / K ). В частности, ^[6]

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}(L/K)}=\operatorname {lcm} \limits _{\chi }{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}}$

где χ изменяется по всем мультипликативным комплексным характерам Gal( L / K ), — кондуктор Артина χ, а lcm — наименьшее общее кратное .${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\chi }}$

Проводник может быть определен таким же образом для L / K не обязательно абелева конечного расширения Галуа локальных полей. ^[7] Однако он зависит только от L ^ab / K , максимального абелева расширения K в L , из-за «теоремы об ограничении нормы», которая утверждает, что в этой ситуации ^{[8] [9]}

${\displaystyle N_{L/K}\left(L^{\times }\right)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left(\left(L^{\text{ab}}\right)^{\times }\right).}$

Кроме того, проводник может быть определен, когда L и K могут быть немного более общими, чем локальными, а именно, если они являются полными полями с квазиконечным полем вычетов. ^[10]

В основном для глобальных проводников проводник тривиального расширения R / R определяется как 0, а проводник расширения C / R определяется как 1. ^[11]

Проводник абелева расширения L / K числовых полей может быть определен, аналогично локальному случаю, с помощью отображения Артина. В частности, пусть θ : I ^m → Gal( L / K ) будет глобальным отображением Артина , где модуль m является определяющим модулем для L / K ; мы говорим, что взаимность Артина выполняется для m, если θ факторизуется через группу классов лучей по модулю m . Мы определяем проводник L / K , обозначаемый , как наибольший общий множитель всех модулей, для которых выполняется взаимность; на самом деле взаимность выполняется для , поэтому это наименьший такой модуль. ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$

• Принимая за основу поле рациональных чисел, теорема Кронекера–Вебера утверждает, что алгебраическое числовое поле K является абелевым над Q тогда и только тогда, когда оно является подполем циклотомического поля , где обозначает примитивный корень степени n из единицы. ^[15] Если n — наименьшее целое число, для которого это выполняется, то кондуктором K является n , если K зафиксировано комплексным сопряжением, и в противном случае.${\displaystyle \mathbf {Q} \left(\zeta _{n}\right)}$${\displaystyle \дзета _{n}}$${\displaystyle n\infty}$
• Пусть L / K будет , где d — целое число, свободное от квадратов . Тогда, ^[16]${\displaystyle \mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} }$

  ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} \right) = {\begin{cases}\left| \Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|& {\text{for }}d>0\\\infty \left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d<0\ конец {случаи}}}$

где - дискриминант .​${\displaystyle \Delta _ {\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}}$${\displaystyle \mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} }$

Глобальный проводник является продуктом локальных проводников: ^[17]

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}\left(L_{\mathfrak {p}}/K_{\mathfrak {p}}\right)}.}$

Как следствие, конечное простое число разветвлено в L / K тогда и только тогда, когда оно делит . ^[18] Бесконечное простое число v встречается в проводнике тогда и только тогда, когда v является действительным и становится комплексным в L .${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$

• Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (2009) [1967], Теория полей классов , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4426-7, г-н  2467155
• Коэн, Анри (2000), Продвинутые темы в вычислительной теории чисел , Graduate Texts in Mathematics , т. 193, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98727-9
• Януш, Джеральд (1973), Поля алгебраических чисел , Чистая и прикладная математика, т. 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4, ЗБЛ  0307.12001
• Милн, Джеймс (2008), Теория полей классов (ред. v4.0) , получено 22.02.2010
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Серр, Жан-Пьер (1967), «Локальная теория полей классов», в Cassels, JWS ; Фрёлих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел, Труды учебной конференции в Университете Сассекса, Брайтон, 1965 , Лондон: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, МР  0220701