Дзета-функция Сельберга

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Апрель 2022 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Дзета -функция Сельберга была введена Атле Сельбергом  (1956). Она аналогична знаменитой дзета-функции Римана

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

где — множество простых чисел. Дзета-функция Сельберга использует длины простых замкнутых геодезических вместо простых чисел. Если — подгруппа SL(2, R ) , то соответствующая дзета-функция Сельберга определяется следующим образом:${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \zeta _{\Gamma }(s)=\prod _{p}(1-N(p)^{-s})^{-1},}$

или

${\displaystyle Z_{\Gamma }(s)=\prod _{p}\prod _{n=0}^{\infty }(1-N(p)^{-s-n}),}$

где p пробегает классы сопряженности простых геодезических (что эквивалентно классам сопряженности примитивных гиперболических элементов ), а N ( p ) обозначает длину p (что эквивалентно квадрату большего собственного значения p ).${\displaystyle \Gamma }$

Для любой гиперболической поверхности конечной площади существует связанная дзета-функция Сельберга ; эта функция является мероморфной функцией, определенной в комплексной плоскости . Дзета-функция определяется в терминах замкнутых геодезических поверхности.

Нули и полюса дзета-функции Сельберга, Z ( s ), можно описать в терминах спектральных данных поверхности.

Нули находятся в следующих точках:

1. Для каждой формы параболы с собственным значением существует ноль в точке . Порядок нуля равен размерности соответствующего собственного пространства. (Форма параболы является собственной функцией оператора Лапласа–Бельтрами , которая имеет разложение Фурье с нулевым постоянным членом.)${\displaystyle s_{0}(1-s_{0})}$${\displaystyle s_{0}}$
2. Дзета-функция также имеет ноль на каждом полюсе определителя матрицы рассеяния, Порядок нуля равен порядку соответствующего полюса матрицы рассеяния.${\displaystyle \phi (s)}$

Дзета-функция также имеет полюса в точках и может иметь нули или полюса в точках .${\displaystyle 1/2-\mathbb {N} }$${\displaystyle -\mathbb {N} }$

Дзета -функция Ихара считается p-адическим (и теоретико-графовым) аналогом дзета-функции Сельберга.

Для случая, когда поверхность есть , где есть модулярная группа , дзета-функция Сельберга представляет особый интерес. Для этого особого случая дзета-функция Сельберга тесно связана с дзета-функцией Римана .${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle \Gamma }$

В этом случае определитель матрицы рассеяния определяется выражением:

${\displaystyle \varphi (s)=\pi ^{1/2}{\frac {\Gamma (s-1/2)\zeta (2s-1)}{\Gamma (s)\zeta (2s)}}.}$^{[ необходима ссылка ]}

В частности, мы видим, что если дзета-функция Римана имеет ноль при , то определитель матрицы рассеяния имеет полюс при , и, следовательно, дзета-функция Сельберга имеет ноль при . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle s_{0}/2}$${\displaystyle s_{0}/2}$

• формула следа Сельберга

• Фишер, Юрген (1987), Подход к формуле следа Сельберга с помощью дзета-функции Сельберга , Lecture Notes in Mathematics, т. 1253, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0077696, ISBN 978-3-540-15208-8, МР  0892317
• Hejhal, Dennis A. (1976), Формула следа Сельберга для PSL(2,R). Том I , Lecture Notes in Mathematics, том 548, том 548, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0079608, MR  0439755
• Hejhal, Dennis A. (1983), Формула следа Сельберга для PSL(2,R). Том 2 , Lecture Notes in Mathematics, том 1001, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0061302, ISBN 978-3-540-12323-1, МР  0711197
• Иванец, Х. Спектральные методы автоморфных форм, Американское математическое общество, второе издание, 2002.
• Сельберг, Атле (1956), «Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле», J. Indian Math. Soc. , New Series, 20 : 47–87, MR  0088511
• Венков, А. Б. Спектральная теория автоморфных функций. Труды МИАН, 1982.
• Сунады, Т. , L-функции в геометрии и некоторых приложениях, Proc. Taniguchi Symp. 1985, "Кривизна и топология римановых многообразий", Springer Lect. Note in Math. 1201(1986), 266-284.