Электрическая потенциальная энергия

Электростатическую силу F, действующую на заряд q, можно записать через электрическое поле E как$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} ,}$$

По определению, изменение электростатической потенциальной энергии, U _E , точечного заряда q , который переместился из исходного положения r _ref в положение r в присутствии электрического поля E , равно отрицательной работе, выполненной электростатической силой для перемещения заряда из исходного положения r _ref в это положение r .

$${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .}$$

где:

• r = положение в трехмерном пространстве заряда q , используя декартовы координаты r = ( x , y , z ), принимая положение заряда Q в r = (0,0,0), скаляр r = | r | является нормой вектора положения,
• d s = вектор дифференциального смещения вдоль пути C, идущий от r _ref к r ,
• ${\displaystyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}}$это работа, совершаемая электростатической силой для перемещения заряда из исходного положения r _ref в r ,

Обычно U _E устанавливается равным нулю, когда r _ref равен бесконечности: поэтому$${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0}$$$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$$

Когда ротор ∇ × E равен нулю, линейный интеграл выше не зависит от конкретного выбранного пути C , а только от его конечных точек. Это происходит в электрических полях, не зависящих от времени. Когда речь идет об электростатической потенциальной энергии, всегда предполагаются не зависящие от времени электрические поля, поэтому в этом случае электрическое поле является консервативным и можно использовать закон Кулона.

Используя закон Кулона , известно, что электростатическая сила F и электрическое поле E, создаваемые дискретным точечным зарядом Q, направлены радиально от Q. Из определения вектора положения r и вектора смещения s следует, что r и s также направлены радиально от Q. Таким образом, E и d s должны быть параллельны:

$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s}$$

Используя закон Кулона, электрическое поле определяется выражением

$${\displaystyle |\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}$$

и интеграл можно легко вычислить:

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$$

Электростатическая потенциальная энергия U _{E ,} хранящаяся в системе из двух зарядов, равна электростатической потенциальной энергии заряда в электростатическом потенциале, создаваемом другим. То есть, если заряд q ₁ создает электростатический потенциал V ₁ , который является функцией положения r , то$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).}$$

Проделав тот же расчет относительно другого заряда, получим$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).}$$

Электростатическая потенциальная энергия делится между собой и , поэтому общая запасенная энергия равна${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}$$

Это можно обобщить, сказав, что электростатическая потенциальная энергия U _{E ,} хранящаяся в системе из n зарядов q ₁ , q ₂ , …, q _n в положениях r ₁ , r ₂ , …, r _n соответственно, равна:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).}$$

Используя формулу, приведенную в ( 1 ), электростатическая потенциальная энергия системы из трех зарядов будет тогда равна:$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]}$$

Где — электрический потенциал в r _1, созданный зарядами Q ₂ и Q ₃ , — электрический потенциал в r _2, созданный зарядами Q ₁ и Q ₃ , и — электрический потенциал в r _3, созданный зарядами Q ₁ и Q _2. Потенциалы:${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})}$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})}$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})}$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$$$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$$$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$$

Где r _ij — расстояние между зарядами Q _i и Q _j .

Если мы сложим все:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$$

В итоге получаем, что электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе из трех зарядов:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

Можно взять уравнение для электростатической потенциальной энергии непрерывного распределения заряда и выразить его через электростатическое поле .

Так как закон Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме гласит , что$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$это вектор электрического поля
• ${\displaystyle \rho }$это общая плотность заряда , включая дипольные заряды, связанные в материале
• ${\displaystyle dV}$является элементом объема
• ${\displaystyle \Phi }$это электрический потенциал
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$- диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,

затем,$${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}$$

Итак, теперь используем следующее тождество вектора дивергенции

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})}$$

у нас есть

$${\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}$$

используя теорему о расходимости и считая область на бесконечности, где , и используя${\displaystyle \Phi (\infty )=0}$${\displaystyle \nabla \Phi =-\mathbf {E} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}$$

Итак, плотность энергии или энергия на единицу объема электростатического поля равна :${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

Можно собирать заряды в конденсаторе бесконечно малыми порциями, так что объем работы, проделанной для сборки каждой порции в ее конечном месте, может быть выражен как${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.}$$

Полная работа, проделанная для полной зарядки конденсатора таким образом, равна где — полный заряд конденсатора. Эта работа сохраняется в виде электростатической потенциальной энергии, следовательно,$${\displaystyle W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

Примечательно, что это выражение справедливо только если , что справедливо для многозарядных систем, таких как большие конденсаторы с металлическими электродами. Для малозарядных систем важна дискретная природа заряда. Полная энергия, запасенная в малозарядном конденсаторе, равна , которая получается методом сборки заряда с использованием наименьшего физического приращения заряда , где — элементарная единица заряда , а где — общее число зарядов в конденсаторе.${\displaystyle dq\to 0}$$${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$${\displaystyle \Delta q=e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle Q=Ne}$${\displaystyle N}$