Гипотеза термализации собственного состояния
Гипотеза квантовых систем и когда статистическая механика равновесия описывает их точно

Гипотеза термализации собственных состояний (или ETH ) представляет собой набор идей, которые претендуют на объяснение того, когда и почему изолированная квантово-механическая система может быть точно описана с помощью равновесной статистической механики . В частности, она посвящена пониманию того, как системы, изначально подготовленные в далеких от равновесия состояниях, могут со временем эволюционировать в состояние, которое, по-видимому, находится в тепловом равновесии . Фраза « термализация собственных состояний » была впервые придумана Марком Средницки в 1994 году [1] после того, как похожие идеи были введены Джошем Дойчем в 1991 году [2]. Основная философия, лежащая в основе гипотезы термализации собственных состояний, заключается в том, что вместо объяснения эргодичности термодинамической системы через механизм динамического хаоса , как это делается в классической механике , следует вместо этого исследовать свойства матричных элементов наблюдаемых величин в индивидуальных энергетических собственных состояниях системы.

Мотивация

В статистической механике микроканонический ансамбль — это особый статистический ансамбль , который используется для прогнозирования результатов экспериментов, проводимых на изолированных системах, которые, как полагают, находятся в равновесии с точно известной энергией. Микроканонический ансамбль основан на предположении, что при исследовании такой уравновешенной системы вероятность ее нахождения в любом из микроскопических состояний с одинаковой полной энергией имеет одинаковую вероятность. [3] При этом предположении [сноска 1] среднее по ансамблю наблюдаемой величины находится путем усреднения значения этой наблюдаемой по всем микросостояниям с правильной полной энергией: [3] А я {\displaystyle A_{i}} я {\displaystyle я}

А ¯ с л а с с я с а л = 1 Н ∑ я = 1 Н А я {\displaystyle {\bar {A}}_{\mathrm {классическая} }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{i}}

Важно отметить, что эта величина не зависит ни от чего в начальном состоянии, за исключением его энергии.

Предположения об эргодичности хорошо обоснованы в классической механике как результат динамического хаоса , поскольку хаотическая система в общем случае будет проводить одинаковое время в равных областях своего фазового пространства . [3] Если мы подготовим изолированную, хаотическую, классическую систему в некоторой области ее фазового пространства, то, поскольку системе будет позволено развиваться во времени, она будет выбирать все свое фазовое пространство, подчиняясь только небольшому числу законов сохранения (таких как сохранение полной энергии). Если можно обосновать утверждение, что данная физическая система является эргодической, то этот механизм даст объяснение тому, почему статистическая механика успешно делает точные предсказания. Например, было строго доказано, что газ твердых сфер является эргодическим. [3]

Этот аргумент не может быть напрямую распространен на квантовые системы, даже те, которые аналогичны хаотическим классическим системам, поскольку временная эволюция квантовой системы не производит равномерную выборку всех векторов в гильбертовом пространстве с заданной энергией. [сноска 2] При заданном состоянии в нулевой момент времени в базисе собственных состояний энергии

| Ψ ( 0 ) ⟩ = ∑ α с α | Э α ⟩ , {\displaystyle |\Psi (0)\rangle =\sum _{\alpha }c_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle,}

ожидаемое значение любого наблюдаемого равно А ^ {\displaystyle {\шляпа {A}}}

⟨ А ^ ⟩ т ≡ ⟨ Ψ ( т ) | А ^ | Ψ ( т ) ⟩ = ∑ α , β с α ∗ с β А α β е − я ( Э β − Э α ) т / ℏ . {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{t}\equiv \langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle =\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\hbar }.}

Даже если они несоизмеримы, так что это ожидаемое значение дается для длительных времен Э α {\displaystyle E_{\альфа}}

⟨ А ^ ⟩ т ≈ т → ∞ ∑ α | с α | 2 А α α , {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _ {t}{\overset {t\to \infty }{\approx }}\sum _{\alpha }\vert c_{\alpha }\vert ^ {2}А_{\альфа \альфа },}

математическое ожидание постоянно сохраняет знание начального состояния в виде коэффициентов . с α {\displaystyle c_{\альфа}}

В принципе, таким образом, остается открытым вопрос о том, приблизится ли изолированная квантово-механическая система, подготовленная в произвольном начальном состоянии, к состоянию, которое напоминает тепловое равновесие, в котором горстка наблюдаемых достаточна для того, чтобы делать успешные предсказания о системе. Однако, множество экспериментов в холодных атомарных газах действительно наблюдали тепловую релаксацию в системах, которые в очень хорошем приближении полностью изолированы от своей окружающей среды, и для широкого класса начальных состояний. [4] [5] Задача объяснения этой экспериментально наблюдаемой применимости равновесной статистической механики к изолированным квантовым системам является основной целью гипотезы термализации собственного состояния.

Заявление

Предположим, что мы изучаем изолированную квантово-механическую систему многих тел . В этом контексте «изолированный» относится к тому факту, что система не имеет (или, по крайней мере, пренебрежимо мал) взаимодействия с внешней по отношению к ней средой. Если гамильтониан системы обозначается , то полный набор базисных состояний для системы задается в терминах собственных состояний гамильтониана, ЧАС ^ {\displaystyle {\шляпа {H}}}

ЧАС ^ | Э α ⟩ = Э α | Э α ⟩ , {\displaystyle {\hat {H}}|E_{\alpha }\rangle =E_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle,}

где — собственное состояние гамильтониана с собственным значением . Мы будем называть эти состояния просто «собственными энергетическими состояниями». Для простоты предположим, что система не имеет вырождения в собственных энергетических значениях , и что она конечна по размеру, так что собственные энергетические значения образуют дискретный, невырожденный спектр (это не необоснованное предположение, поскольку любая «реальная» лабораторная система будет иметь тенденцию к достаточному беспорядку и достаточно сильным взаимодействиям, чтобы устранить почти все вырождение из системы, и, конечно, будет иметь конечный размер [6] ). Это позволяет нам маркировать собственные энергетические состояния в порядке увеличения собственного значения энергии. Кроме того, рассмотрим некоторые другие квантово-механические наблюдаемые , относительно которых мы хотим сделать тепловые предсказания. Матричные элементы этого оператора, выраженные в базисе собственных энергетических состояний, будут обозначаться как | Э α ⟩ {\displaystyle |E_{\alpha }\rangle } Э α {\displaystyle E_{\альфа}} А ^ {\displaystyle {\шляпа {A}}}

А α β ≡ ⟨ Э α | А ^ | Э β ⟩ . {\displaystyle A_{\alpha \beta}\equiv \langle E_ {\alpha }|{\hat {A}}|E_ {\beta }\rangle .}

Теперь представим, что мы подготавливаем нашу систему в начальном состоянии, для которого ожидаемое значение далеко от его значения, предсказанного в микроканоническом ансамбле, соответствующем рассматриваемой шкале энергий (мы предполагаем, что наше начальное состояние является некоторой суперпозицией собственных энергетических состояний, которые все достаточно «близки» по энергии). Гипотеза термализации собственных состояний гласит, что для произвольного начального состояния ожидаемое значение в конечном итоге будет эволюционировать со временем до своего значения, предсказанного микроканоническим ансамблем, и впоследствии будет демонстрировать только небольшие колебания вокруг этого значения, при условии соблюдения следующих двух условий: [4] А ^ {\displaystyle {\шляпа {A}}} А ^ {\displaystyle {\шляпа {A}}}

  1. Диагональные элементы матрицы плавно изменяются в зависимости от энергии, причем разница между соседними значениями становится экспоненциально малой с размером системы. А α α {\displaystyle A_{\альфа \альфа }} А α + 1 , α + 1 − А α , α {\displaystyle A_{\альфа +1,\альфа +1}-A_{\альфа ,\альфа }}
  2. Недиагональные элементы матрицы , при этом , намного меньше диагональных элементов матрицы и, в частности, сами по себе экспоненциально малы по размеру системы. А α β {\displaystyle A_{\альфа \бета}} α ≠ β {\displaystyle \альфа \neq \бета}

Эти условия можно записать как

А α β ≃ А ¯ δ α β + А 2 ¯ Д Р α β , {\displaystyle A_{\alpha \beta}\simeq {\overline {A}}\delta _{\alpha \beta}+{\sqrt {\frac {\overline {A^{2}}}{\mathcal {D}}}}R_{\alpha \beta},}

где и являются гладкими функциями энергии, — размерность многочастичного гильбертова пространства, а — случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. Наоборот, если квантовая многочастичная система удовлетворяет ETH, ожидается, что матричное представление любого локального оператора в собственном базисе энергии будет следовать приведенному выше анзацу. А ¯ = А ¯ ( Э α ) {\displaystyle {\overline {A}}={\overline {A}}(E_{\alpha })} А 2 ¯ = А 2 ¯ ( Э α , Э β ) {\displaystyle {\overline {A^{2}}}={\overline {A^{2}}}(E_{\альфа},E_{\бета})} Д = е с В {\displaystyle {\mathcal {D}}=e^{sV}} Р α β {\displaystyle R_{\альфа \бета}}

Эквивалентность диагонального и микроканонического ансамблей

Мы можем определить долгосрочное среднее значение математического ожидания оператора согласно выражению А ^ {\displaystyle {\шляпа {A}}}

А ¯ ≡ лим τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ ⟨ Ψ ( т ) | А ^ | Ψ ( т ) ⟩   г т . {\displaystyle {\overline {A}}\equiv \lim _ {\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\langle \Psi ( t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle ~dt.}

Если мы используем явное выражение для временной эволюции этого ожидаемого значения, мы можем записать

А ¯ = лим τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ [ ∑ α , β = 1 Д с α ∗ с β А α β е − я ( Э β − Э α ) т / ℏ ]   г т . {\displaystyle {\overline {A}}=\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left[\sum _{\alpha ,\beta =1}^{D}c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\hbar }\right]~dt.}

Интеграцию в этом выражении можно выполнить явно, и результат будет следующим:

А ¯ = ∑ α = 1 Д | с α | 2 А α α + я ℏ лим τ → ∞ [ ∑ α ≠ β Д с α ∗ с β А α β Э β − Э α ( е − я ( Э β − Э α ) τ / ℏ − 1 τ ) ] . {\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }+i\hbar \lim _{\tau \to \infty }\left[\sum _{\alpha \neq \beta }^{D}{\frac {c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }}{E_{\beta }-E_{\alpha }}}\left({\frac {e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)\tau /\hbar }-1}{\tau }}\right)\right].}

Каждый из членов во второй сумме будет становиться меньше, когда предел будет стремиться к бесконечности. Предполагая, что фазовая когерентность между различными экспоненциальными членами во второй сумме никогда не станет достаточно большой, чтобы конкурировать с этим распадом, вторая сумма будет стремиться к нулю, и мы находим, что долгосрочное среднее значение ожидаемого значения дается как [6]

A ¯ = ∑ α = 1 D | c α | 2 A α α . {\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }.}

Это предсказание для среднего по времени наблюдаемого называется его предсказанным значением в диагональном ансамбле , [7] Наиболее важным аспектом диагонального ансамбля является то, что он явно зависит от начального состояния системы, и поэтому, по-видимому, сохраняет всю информацию относительно подготовки системы. Напротив, предсказанное значение в микроканоническом ансамбле дается равновзвешенным средним по всем собственным энергетическим состояниям в пределах некоторого энергетического окна, центрированного вокруг средней энергии системы [5] A ^ {\displaystyle {\hat {A}}}

⟨ A ⟩ mc = 1 N ∑ α ′ = 1 N A α ′ α ′ , {\displaystyle \langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '},}

где — число состояний в соответствующем энергетическом окне, а штрих на индексах суммы указывает на то, что суммирование ограничено этим соответствующим микроканоническим окном. Это предсказание абсолютно не ссылается на начальное состояние системы, в отличие от диагонального ансамбля. Из-за этого неясно, почему микроканонический ансамбль должен обеспечивать такое точное описание долгосрочных средних значений наблюдаемых в таком широком разнообразии физических систем. N {\displaystyle {\mathcal {N}}}

Однако предположим, что матричные элементы фактически постоянны в соответствующем энергетическом окне, с достаточно малыми флуктуациями. Если это так, то это постоянное значение A может быть эффективно вытащено из суммы, и предсказание диагонального ансамбля просто равно этому значению, A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }}

A ¯ = ∑ α = 1 D | c α | 2 A α α ≈ A ∑ α = 1 D | c α | 2 = A , {\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }\approx A\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}=A,}

где мы предположили, что начальное состояние нормализовано соответствующим образом. Аналогично, предсказание микроканонического ансамбля становится

⟨ A ⟩ mc = 1 N ∑ α ′ = 1 N A α ′ α ′ ≈ 1 N ∑ α ′ = 1 N A = A . {\displaystyle \langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '}\approx {\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A=A.}

Таким образом, два ансамбля находятся в согласии.

Это постоянство значений в малых энергетических окнах является основной идеей, лежащей в основе гипотезы термализации собственного состояния. Обратите внимание, что, в частности, она утверждает, что ожидаемое значение в единственном собственном энергетическом состоянии равно значению, предсказанному микроканоническим ансамблем, построенным в этом энергетическом масштабе. Это составляет основу квантовой статистической механики, которая радикально отличается от той, которая построена на понятиях динамической эргодичности. [1] A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }} A ^ {\displaystyle {\hat {A}}}

Тесты

Несколько численных исследований малых решетчатых систем, по-видимому, предварительно подтверждают предсказания гипотезы термализации собственного состояния во взаимодействующих системах, которые, как ожидается, будут термализоваться. [5] Аналогично, системы, которые являются интегрируемыми, имеют тенденцию не подчиняться гипотезе термализации собственного состояния. [5]

Некоторые аналитические результаты также могут быть получены, если сделать определенные предположения о природе высоковозбужденных энергетических собственных состояний. Оригинальная статья 1994 года на ETH Марка Средницкого изучала, в частности, пример квантового газа твердых сфер в изолированной коробке. Это система, которая, как известно, демонстрирует классический хаос. [1] Для состояний достаточно высокой энергии гипотеза Берри утверждает, что собственные функции энергии в этой многочастичной системе твердых сферических частиц будут, по-видимому, вести себя как суперпозиции плоских волн , причем плоские волны входят в суперпозицию со случайными фазами и гауссово-распределенными амплитудами [1] (точное понятие этой случайной суперпозиции разъясняется в статье). При этом предположении можно показать, что с точностью до поправок, которые пренебрежимо малы в термодинамическом пределе , функция распределения импульса для каждой отдельной различимой частицы равна распределению Максвелла–Больцмана [1]

f M B ( p , T α ) = ( 2 π m k T ) − 3 / 2 e − p 2 / 2 m k T α , {\displaystyle f_{\rm {MB}}\left(\mathbf {p} ,T_{\alpha }\right)=\left(2\pi mkT\right)^{-3/2}e^{-\mathbf {p} ^{2}/2mkT_{\alpha }},}

где - импульс частицы, m - масса частицы, k - постоянная Больцмана , а " температура " связана с энергией собственного состояния согласно обычному уравнению состояния идеального газа , p {\displaystyle \mathbf {p} } T α {\displaystyle T_{\alpha }}

E α = 3 2 N k T α , {\displaystyle E_{\alpha }={\frac {3}{2}}NkT_{\alpha },}

где N — число частиц в газе. Этот результат является особым проявлением ETH, поскольку он приводит к предсказанию значения наблюдаемой величины в одном собственном энергетическом состоянии , которое согласуется с предсказанием, полученным из микроканонического (или канонического) ансамбля. Обратите внимание, что не было выполнено никакого усреднения по начальным состояниям, и не было использовано ничего похожего на H-теорему . Кроме того, можно также вывести соответствующие распределения Бозе–Эйнштейна или Ферми–Дирака , если наложить соответствующие коммутационные соотношения для частиц, составляющих газ. [1]

В настоящее время не совсем понятно, насколько высокой должна быть энергия собственного состояния газа твердых сфер, чтобы он подчинялся ETH. [1] Грубый критерий заключается в том, что средняя тепловая длина волны каждой частицы должна быть достаточно меньше радиуса частиц твердых сфер, чтобы система могла исследовать особенности, которые приводят к классическому хаосу (а именно, тот факт, что частицы имеют конечный размер [1] ). Однако вполне возможно, что это условие может быть ослаблено, и, возможно, в термодинамическом пределе собственные энергетические состояния произвольно низких энергий будут удовлетворять ETH (кроме самого основного состояния , которое должно иметь определенные особые свойства, например, отсутствие каких-либо узлов [1] ).

Альтернативы

Часто предлагаются три альтернативных объяснения термализации изолированных квантовых систем:

  1. Для начальных состояний, представляющих физический интерес, коэффициенты демонстрируют большие флуктуации от собственного состояния к собственному состоянию, причем это совершенно не коррелирует с флуктуациями от собственного состояния к собственному состоянию. Поскольку коэффициенты и матричные элементы некоррелированы, суммирование в диагональном ансамбле фактически выполняет несмещенную выборку значений в соответствующем энергетическом окне. Для достаточно большой системы эта несмещенная выборка должна привести к значению, близкому к истинному среднему значению значений в этом окне, и будет эффективно воспроизводить предсказание микроканонического ансамбля. Однако этот механизм может быть невыгоден по следующей эвристической причине. Обычно интерес представляют физические ситуации, в которых начальное ожидаемое значение далеко от своего равновесного значения. Чтобы это было правдой, начальное состояние должно содержать некоторую конкретную информацию о , и поэтому становится подозрительным, действительно ли начальное состояние представляет собой несмещенную выборку значений в соответствующем энергетическом окне. Более того, независимо от того, правда это или нет, это все равно не дает ответа на вопрос о том, когда произвольные начальные состояния придут в равновесие, если они вообще когда-либо придут. c α {\displaystyle c_{\alpha }} A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }} A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }} A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }} A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }}
  2. Для начальных состояний, представляющих физический интерес, коэффициенты фактически постоянны и вообще не колеблются. В этом случае диагональный ансамбль точно такой же, как микроканонический ансамбль, и нет никакой тайны в том, почему их предсказания идентичны. Однако это объяснение нежелательно по тем же причинам, что и первое. c α {\displaystyle c_{\alpha }}
  3. Доказано, что интегрируемые квантовые системы термализуются при условии простой регулярной зависимости параметров от времени, что предполагает, что космологическое расширение Вселенной и интегрируемость наиболее фундаментальных уравнений движения в конечном итоге ответственны за термализацию. [8]

Временные колебания ожидаемых значений

Условие, которое ETH накладывает на диагональные элементы наблюдаемой, отвечает за равенство предсказаний диагонального и микроканонического ансамблей. [6] Однако равенство этих долгосрочных средних не гарантирует, что флуктуации во времени вокруг этого среднего будут небольшими. То есть равенство долгосрочных средних не гарантирует, что ожидаемое значение стабилизируется на этом долгосрочном среднем значении и затем останется там в течение большей части времени. A ^ {\displaystyle {\hat {A}}}

Чтобы вывести условия, необходимые для того, чтобы ожидаемое значение наблюдаемой величины демонстрировало небольшие временные колебания вокруг своего среднего значения, мы изучаем среднеквадратичную амплитуду временных колебаний, определяемую как [6]

( A t − A ¯ ) 2 ¯ ≡ lim τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ ( A t − A ¯ ) 2 d t , {\displaystyle {\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}dt,}

где — сокращенная запись для ожидаемого значения в момент времени t. Это выражение можно вычислить явно, и можно обнаружить, что [6] A t {\displaystyle A_{t}} A ^ {\displaystyle {\hat {A}}}

( A t − A ¯ ) 2 ¯ = ∑ α ≠ β | c α | 2 | c β | 2 | A α β | 2 . {\displaystyle {\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}=\sum _{\alpha \neq \beta }|c_{\alpha }|^{2}|c_{\beta }|^{2}|A_{\alpha \beta }|^{2}.}

Временные флуктуации относительно долгосрочного среднего значения будут небольшими до тех пор, пока недиагональные элементы удовлетворяют условиям, налагаемым на них ETH, а именно, что они становятся экспоненциально малыми в размере системы. [6] [5] Обратите внимание, что это условие допускает возможность изолированных времен возрождения , в которых фазы когерентно выравниваются, чтобы производить большие флуктуации вдали от долгосрочного среднего значения. [4] Количество времени, которое система проводит вдали от долгосрочного среднего значения, гарантированно будет небольшим, пока указанная выше средняя квадратичная амплитуда достаточно мала. [6] [4] Однако, если система представляет собой динамическую симметрию, она будет периодически колебаться вокруг долгосрочного среднего значения. [9]

Квантовые флуктуации и тепловые флуктуации

Ожидаемое значение квантово-механической наблюдаемой представляет собой среднее значение, которое будет измерено после выполнения повторных измерений на ансамбле идентично подготовленных квантовых состояний. Поэтому, хотя мы и изучали это ожидаемое значение как основной объект интереса, неясно, в какой степени оно представляет физически значимые величины. В результате квантовых флуктуаций ожидаемое значение наблюдаемой обычно не является тем, что будет измерено в ходе одного эксперимента на изолированной системе . Однако было показано, что для наблюдаемой, удовлетворяющей ETH, квантовые флуктуации в ее ожидаемом значении обычно будут того же порядка величины, что и тепловые флуктуации , которые были бы предсказаны в традиционном микроканоническом ансамбле. [6] [5] Это придает дополнительную достоверность идее о том, что ETH является базовым механизмом, ответственным за термализацию изолированных квантовых систем.

Общая действительность

В настоящее время не существует известного аналитического вывода гипотезы термализации собственного состояния для общих взаимодействующих систем. [5] Однако было подтверждено, что она верна для широкого спектра взаимодействующих систем с использованием точных числовых методов диагонализации , в пределах неопределенности этих методов. [4] [5] Также было доказано, что она верна в некоторых особых случаях в полуклассическом пределе, где справедливость ETH основывается на справедливости теоремы Шнирельмана, которая гласит, что в системе, которая является классически хаотичной, математическое ожидание оператора в собственном энергетическом состоянии равно его классическому, микроканоническому среднему при соответствующей энергии. [10] Вопрос о том, можно ли показать, что она верна в более общем случае во взаимодействующих квантовых системах, остается открытым. Также известно, что она явно неверна в некоторых интегрируемых системах , в которых наличие большого числа констант движения препятствует термализации . [4] A ^ {\displaystyle {\hat {A}}}

Также важно отметить, что ETH делает заявления о конкретных наблюдаемых в каждом конкретном случае — он не делает никаких заявлений о том, будет ли каждая наблюдаемая в системе подчиняться ETH. На самом деле, это, безусловно, не может быть правдой. При наличии базиса собственных энергетических состояний всегда можно явно построить оператор , который нарушает ETH, просто записав оператор как матрицу в этом базисе, элементы которой явно не подчиняются условиям, налагаемым ETH. И наоборот, всегда тривиально возможно найти операторы, которые удовлетворяют ETH, записав матрицу, элементы которой специально выбраны для подчинения ETH. В свете этого можно прийти к выводу, что ETH несколько тривиальна в своей полезности. Однако важно иметь в виду, что эти операторы, построенные таким образом, могут не иметь никакого физического значения. Хотя можно построить эти матрицы, неясно, соответствуют ли они наблюдаемым, которые можно было бы реально измерить в эксперименте, или имеют ли они какое-либо сходство с физически интересными величинами. Произвольный эрмитов оператор в гильбертовом пространстве системы не обязательно должен соответствовать чему-то, что является физически измеримой наблюдаемой величиной. [11]

Обычно постулируется, что ETH выполняется для "операторов малого числа тел" [4], наблюдаемых , которые включают только небольшое число частиц. Примерами этого могут служить занятие заданного импульса в газе частиц [4] [5] или занятие определенного места в решетчатой ​​системе частиц. [5] Обратите внимание, что хотя ETH обычно применяется к "простым" операторам малого числа тел, таким как эти [4], эти наблюдаемые не обязательно должны быть локальными в пространстве [5] - оператор числа импульса в приведенном выше примере не представляет локальную величину. [5]

Также был значительный интерес к случаю, когда изолированные, неинтегрируемые квантовые системы не могут термализоваться, несмотря на предсказания традиционной статистической механики. Неупорядоченные системы, которые демонстрируют локализацию многих тел , являются кандидатами на этот тип поведения, с возможностью возбужденных энергетических собственных состояний, термодинамические свойства которых больше напоминают свойства основных состояний. [12] [13] Остается открытым вопрос о том, может ли полностью изолированная, неинтегрируемая система без статического беспорядка когда-либо не термализоваться. Одной из интригующих возможностей является реализация «квантовых распутанных жидкостей». [14] Также открытым вопросом является то, должны ли все собственные состояния подчиняться ETH в термализирующейся системе.

Гипотеза термализации собственных состояний тесно связана с квантовой природой хаоса (см. квантовый хаос ). Кроме того, поскольку классически хаотическая система также эргодична, почти все ее траектории в конечном итоге равномерно исследуют все доступное фазовое пространство, что означало бы, что собственные состояния квантовой хаотической системы равномерно (с точностью до случайных флуктуаций) заполняют квантовое фазовое пространство в полуклассическом пределе . В частности, существует теорема квантовой эргодичности, показывающая, что математическое ожидание оператора сходится к соответствующему микроканоническому классическому среднему значению как . Однако теорема квантовой эргодичности оставляет открытой возможность неэргодических состояний, таких как квантовые шрамы . В дополнение к обычным шрамам [15] [16] [17] [18] существуют два других типа квантовых шрамов, которые дополнительно иллюстрируют нарушение слабой эргодичности в квантовых хаотических системах: вызванные возмущением [19] [20] [21] [22] [23] и многочастичные квантовые шрамы. [24] Поскольку первые возникают в результате комбинированного эффекта особых почти вырожденных невозмущенных состояний и локализованной природы возмущения (потенциальные ожоги), [19] [23] рубцевание может замедлить процесс термализации в неупорядоченных квантовых точках и ямах, что дополнительно иллюстрируется тем фактом, что эти квантовые рубцы могут использоваться для распространения квантовых волновых пакетов в неупорядоченной наноструктуре с высокой точностью. [20] С другой стороны, предполагалось, что последняя форма рубцевания [24] [25] является виновником неожиданно медленной термализации холодных атомов, наблюдаемой экспериментально. [26] ℏ → 0 {\displaystyle \hbar \rightarrow 0} ℏ → 0 {\displaystyle \hbar \rightarrow 0}

Смотрите также

Сноски

  1. ^ В качестве альтернативы канонический ансамбль может быть использован в ситуациях, в которых известна только средняя энергия системы, и кто-то хочет найти конкретное распределение вероятностей для микросостояний системы, которое максимизирует энтропию системы . В любом случае, кто-то предполагает, что разумные физические предсказания могут быть сделаны относительно системы, основываясь на знании только небольшого числа физических величин (энергия, число частиц, объем и т. д.).
  2. ^ В качестве интуитивного объяснения того, почему квантовый хаос должен обрабатываться иначе, чем классический хаос, некоторые авторы противопоставляют линейность уравнения Шредингера нелинейной природе уравнений движения для классических хаотических систем, подчеркивая, в частности, что внутреннее произведение между векторами в гильбертовом пространстве сохраняется в отличие от экспоненциального разделения между классическими точками в фазовом пространстве. Однако это вводит в заблуждение, поскольку уравнение Шредингера эквивалентно уравнению фон Неймана, специализированному для случая чистого состояния, а уравнение фон Неймана напрямую аналогично классическим уравнениям Лиувилля, которые также являются линейными. Другими словами, это кажущееся различие между квантовой и классической механикой является лишь артефактом сравнения различных представлений динамических уравнений; как только классическая механика и квантовая механика ставятся на равные позиции, их динамические уравнения становятся линейными, так что линейность сама по себе не может отвечать за различные инструменты, необходимые для изучения квантового и классического хаоса.

Ссылки

  1. ^ abcdefghi Марк Средницки (1994). «Хаос и квантовая термализация». Physical Review E. 50 ( 2): 888– 901. arXiv : cond-mat/9403051v2 . Bibcode : 1994PhRvE..50..888S. doi : 10.1103/PhysRevE.50.888. PMID  9962049. S2CID  16065583.
  2. ^ Deutsch, JM (февраль 1991). «Квантовая статистическая механика в замкнутой системе». Physical Review A. 43 ( 4): 2046–2049 . Bibcode : 1991PhRvA..43.2046D. doi : 10.1103/PhysRevA.43.2046. PMID  9905246.
  3. ^ abcd Райхл, Линда Э. (2009). Современный курс статистической физики (3-е изд.). Wiley-VCH. ISBN 978-3527407828.
  4. ^ abcdefghi Маркос Ригол; Средницки, Марк (2012). «Альтернативы термализации собственных состояний». Physical Review Letters . 108 (11): 110601. arXiv : 1108.0928 . Bibcode : 2012PhRvL.108k0601R. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.110601. PMID  22540449. S2CID  20474607.
  5. ^ abcdefghijkl Маркос Ригол; Дунько, Ваня; Ольшаний, Максим (2009). «Термализация и ее механизм для общих изолированных квантовых систем». Nature . 452 (7189): 854– 8. arXiv : 0708.1324 . Bibcode :2008Natur.452..854R. doi :10.1038/nature06838. PMID  18421349. S2CID  4384040.
  6. ^ abcdefgh Марк Средницки (1999). «Подход к тепловому равновесию в квантованных хаотических системах». Журнал физики A: Mathematical and General . 32 (7): 1163– 1175. arXiv : cond-mat/9809360 . Bibcode :1999JPhA...32.1163S. doi :10.1088/0305-4470/32/7/007. S2CID  15771750.
  7. ^ Эми К. Кэссиди; Кларк, Чарльз В.; Ригол, Маркос (2011). «Обобщенная термализация в интегрируемой решеточной системе». Physical Review Letters . 106 (14): 140405. arXiv : 1008.4794 . Bibcode : 2011PhRvL.106n0405C. doi : 10.1103/PhysRevLett.106.140405. PMID  21561173. S2CID  11926058.
  8. ^ F. Li; VY Chernyak; NA Sinitsyn (2018). "Quantum annealing and thermalization: insights from integrability". Physical Review Letters . 121 (19): 190601. arXiv : 1804.00371 . Bibcode :2018arXiv180400371L. doi :10.1103/PhysRevLett.121.190601. PMID  30468584. S2CID  53594139.
  9. ^ Буча, Берислав; Тиндалл, Джозеф; Якш, Дитер (15 апреля 2019 г.). "Нестационарная когерентная квантовая динамика многих тел через диссипацию". Nature Communications . 10 (1): 1730. arXiv : 1804.06744 . Bibcode :2019NatCo..10.1730B. doi :10.1038/s41467-019-09757-y. ISSN  2041-1723. PMC 6465298 . PMID  30988312. 
  10. ^ Санджай Хортикар; Средницки, Марк (1998). «Случайные матричные элементы и собственные функции в хаотических системах». Physical Review E. 57 ( 6): 7313. arXiv : chao-dyn/9711020 . Bibcode : 1998PhRvE..57.7313H. doi : 10.1103/PhysRevE.57.7313. S2CID  18466081.
  11. ^ Баллентайн, Лесли Э. (1998). Квантовая механика: современное развитие . World Scientific Publishing . ISBN 981-02-4105-4.
  12. ^ Дэвид А. Хьюз; Нандкишор, Рахул; Оганесян, Вадим; Пал, Ариджит; Сонди, СЛ (2013). «Локализация защищенного квантового порядка». Physical Review B. 88 ( 1): 014206. arXiv : 1304.1158 . Bibcode : 2013PhRvB..88a4206H. doi : 10.1103/PhysRevB.88.014206. S2CID  106398202.
  13. ^ DM Basko; Aleiner, IL; Altshuler, BL (2006). «Переход металл-изолятор в слабовзаимодействующей многоэлектронной системе с локализованными одночастичными состояниями». Annals of Physics . 321 (5): 1126– 1205. arXiv : cond-mat/0506617 . Bibcode : 2006AnPhy.321.1126B. doi : 10.1016/j.aop.2005.11.014. S2CID  18345541.
  14. ^ Tarun Grover; Fisher, Matthew PA (2013). "Quantum Disentangled Liquids". Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2014 (10): P10010. arXiv : 1307.2288 . Bibcode : 2014JSMTE..10..010G. doi : 10.1088/1742-5468/2014/10/P10010. S2CID  118646968.
  15. ^ Хеллер, Эрик Дж. (15 октября 1984 г.). «Собственные функции связанного состояния классически хаотических гамильтоновых систем: шрамы периодических орбит». Physical Review Letters . 53 (16): 1515– 1518. Bibcode :1984PhRvL..53.1515H. doi :10.1103/PhysRevLett.53.1515.
  16. ^ Каплан, Л. (1 января 1999 г.). "Шрамы в квантовых хаотических волновых функциях". Нелинейность . 12 (2): R1 – R40 . doi :10.1088/0951-7715/12/2/009. ISSN  0951-7715. S2CID  250793219.
  17. ^ Каплан, Л.; Хеллер, Э.Дж. (10 апреля 1998 г.). «Линейная и нелинейная теория шрамов собственных функций». Annals of Physics . 264 (2): 171– 206. arXiv : chao-dyn/9809011 . Bibcode : 1998AnPhy.264..171K. doi : 10.1006/aphy.1997.5773. ISSN  0003-4916. S2CID  120635994.
  18. ^ Хеллер, Эрик (5 июня 2018 г.). Полуклассический путь к динамике и спектроскопии. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-9029-3. OCLC  1104876980.
  19. ^ аб Кески-Рахконен, Дж.; Руханен, А.; Хеллер, Э.Дж.; Рясянен, Э. (21 ноября 2019 г.). «Квантовые шрамы Лиссажу». Письма о физических отзывах . 123 (21): 214101. arXiv : 1911.09729 . Бибкод : 2019PhRvL.123u4101K. doi : 10.1103/PhysRevLett.123.214101. PMID  31809168. S2CID  208248295.
  20. ^ Аб Луукко, Пертту Дж. Дж.; Друри, Байрон; Клалес, Анна; Каплан, Лев; Хеллер, Эрик Дж.; Рясянен, Эса (28 ноября 2016 г.). «Сильное квантовое рубцевание местными примесями». Научные отчеты . 6 (1): 37656. arXiv : 1511.04198 . Бибкод : 2016NatSR...637656L. дои : 10.1038/srep37656. ISSN  2045-2322. ПМК 5124902 . ПМИД  27892510. 
  21. ^ Кески-Рахконен, Дж.; Луукко, PJJ; Каплан, Л.; Хеллер, Э.Дж.; Рясянен, Э. (20 сентября 2017 г.). «Управляемые квантовые шрамы в полупроводниковых квантовых точках». Физический обзор B . 96 (9): 094204. arXiv : 1710.00585 . Бибкод : 2017PhRvB..96i4204K. doi : 10.1103/PhysRevB.96.094204. S2CID  119083672.
  22. ^ Кески-Рахконен, Дж; Луукко, PJJ; Оберг, С; Рясянен, Э. (21 января 2019 г.). «Влияние рубцевания на квантовый хаос в неупорядоченных квантовых ямах». Физический журнал: конденсированное вещество . 31 (10): 105301. arXiv : 1806.02598 . Бибкод : 2019JPCM...31j5301K. дои : 10.1088/1361-648x/aaf9fb. ISSN  0953-8984. PMID  30566927. S2CID  51693305.
  23. ^ Аб Кески-Рахконен, Йоонас (2020). Квантовый хаос в неупорядоченных двумерных наноструктурах. Университет Тампере. ISBN 978-952-03-1699-0.
  24. ^ ab Turner, CJ; Michailidis, AA; Abanin, DA; Serbyn, M.; Papić, Z. (июль 2018 г.). «Нарушение слабой эргодичности из-за квантовых многотельных шрамов». Nature Physics . 14 (7): 745– 749. arXiv : 1711.03528 . Bibcode :2018NatPh..14..745T. doi :10.1038/s41567-018-0137-5. ISSN  1745-2481. S2CID  51681793.
  25. ^ Тернер, CJ; Михайлидис, AA; Абанин, DA; Сербин, M.; Папич, Z. (22 октября 2018 г.). «Квантовые шрамированные собственные состояния в цепочке атомов Ридберга: запутывание, разрушение термализации и устойчивость к возмущениям». Physical Review B. 98 ( 15): 155134. arXiv : 1806.10933 . Bibcode : 2018PhRvB..98o5134T. doi : 10.1103/PhysRevB.98.155134. S2CID  51746325.
  26. ^ Берниен, Ханнес; Шварц, Сильвен; Кислинг, Александр; Левин, Гарри; Омран, Ахмед; Пихлер, Ханнес; Чой, Сунвон; Зибров, Александр С.; Эндрес, Мануэль; Грейнер, Маркус; Вулетич, Владан (ноябрь 2017 г.). «Исследование динамики многих тел на квантовом симуляторе с 51 атомом». Nature . 551 (7682): 579– 584. arXiv : 1707.04344 . Bibcode :2017Natur.551..579B. doi :10.1038/nature24622. ISSN  1476-4687. PMID  29189778. S2CID  205261845.
  • «Обзор гипотезы термализации собственных состояний» Марка Средницкого, Калифорнийский университет в Санта-Барбаре, Программа KITP: Квантовая динамика в далеких от равновесия термически изолированных системах
  • «Гипотеза термализации собственного состояния» Марка Средницки, Калифорнийский университет в Санта-Барбаре, семинар быстрого реагирования KITP: Черные дыры: дополнительность, размытость или огонь?
  • «Квантовые распутанные жидкости» Мэтью П.А. Фишера, Калифорнийский университет в Санта-Барбаре, Конференция KITP: от ренормализационной группы к квантовой гравитации. Чествование науки Джо Полчински
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Eigenstate_thermalization_hypothesis&oldid=1193767723"