Теорема флуктуации-диссипации
Теорема статистической физики

Теорема флуктуации–диссипации ( FDT ) или соотношение флуктуации–диссипации ( FDR ) является мощным инструментом в статистической физике для прогнозирования поведения систем, которые подчиняются детальному балансу . Учитывая, что система подчиняется детальному балансу, теорема является доказательством того, что термодинамические флуктуации физической переменной предсказывают реакцию, количественно определяемую проводимостью или импедансом ( в их общем смысле, а не только в электромагнитных терминах) той же физической переменной (например, напряжения, разницы температур и т. д.), и наоборот. Теорема флуктуации–диссипации применима как к классическим , так и к квантово-механическим системам.

Теорема флуктуации-диссипации была доказана Гербертом Калленом и Теодором Велтоном в 1951 году [1] и расширена Рёго Кубо . Существуют предшественники общей теоремы, включая объяснение Эйнштейном броуновского движения [2] во время его annus mirabilis и объяснение Гарри Найквиста в 1928 году шума Джонсона в электрических резисторах. [3]

Качественный обзор и примеры

Теорема флуктуации-диссипации гласит, что когда есть процесс, который рассеивает энергию, превращая ее в тепло (например, трение), есть обратный процесс, связанный с тепловыми флуктуациями . Это лучше всего понять, рассмотрев несколько примеров:

  • Сопротивление и броуновское движение
    Если объект движется через жидкость, он испытывает сопротивление (сопротивление воздуха или жидкости). Сопротивление рассеивает кинетическую энергию, превращая ее в тепло. Соответствующее колебание — броуновское движение . Объект в жидкости не стоит на месте, а движется с небольшой и быстро меняющейся скоростью, поскольку молекулы в жидкости сталкиваются с ним. Броуновское движение преобразует тепловую энергию в кинетическую энергию — обратную сопротивлению.
  • Сопротивление и шум Джонсона
    Если электрический ток течет через проволочную петлю с резистором внутри, ток быстро упадет до нуля из-за сопротивления. Сопротивление рассеивает электрическую энергию, превращая ее в тепло ( джоулев нагрев ). Соответствующее колебание — шум Джонсона . Проволочная петля с резистором внутри на самом деле не имеет нулевого тока, в ней есть небольшой и быстро колеблющийся ток, вызванный тепловыми колебаниями электронов и атомов в резисторе. Шум Джонсона преобразует тепловую энергию в электрическую — процесс, обратный сопротивлению.
  • Поглощение света и тепловое излучение
    Когда свет падает на объект, некоторая часть света поглощается, делая объект горячее. Таким образом, поглощение света превращает световую энергию в тепло. Соответствующая флуктуация — тепловое излучение (например, свечение «раскаленного» объекта). Тепловое излучение превращает тепловую энергию в световую — процесс, обратный поглощению света. Действительно, закон Кирхгофа о тепловом излучении подтверждает, что чем эффективнее объект поглощает свет, тем больше теплового излучения он испускает.

Подробные примеры

Теорема о флуктуации-диссипации является общим результатом статистической термодинамики , которая количественно определяет связь между флуктуациями в системе, подчиняющейся детальному равновесию , и реакцией системы на приложенные возмущения.

Броуновское движение

Например, Альберт Эйнштейн в своей статье 1905 года о броуновском движении отметил , что те же случайные силы, которые вызывают хаотичное движение частицы в броуновском движении, также вызвали бы сопротивление, если бы частицу тянули через жидкость. Другими словами, флуктуация покоящейся частицы имеет то же происхождение, что и диссипативная сила трения, против которой нужно совершить работу, если попытаться возмутить систему в определенном направлении.

Из этого наблюдения Эйнштейн смог использовать статистическую механику для выведения соотношения Эйнштейна–Смолуховского.

Д = μ к Б Т {\displaystyle D={\mu \,k_{\rm {B}}T}}

которая связывает постоянную диффузии D и подвижность частицы μ , отношение конечной скорости дрейфа частицы к приложенной силе. k B — постоянная Больцмана , а T — абсолютная температура .

Тепловой шум в резисторе

В 1928 году Джон Б. Джонсон открыл, а Гарри Найквист объяснил шум Джонсона-Найквиста . При отсутствии приложенного тока среднеквадратичное напряжение зависит от сопротивления , и полосы пропускания , в которой измеряется напряжение: [4] Р {\displaystyle R} к Б Т {\displaystyle k_{\rm {B}}T} Δ ν {\displaystyle \Дельта \nu }

⟨ В 2 ⟩ ≈ 4 Р к Б Т Δ ν . {\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx 4Rk_ {\rm {B}}T \,\Delta \nu .}
Простая схема для иллюстрации теплового шума Джонсона-Найквиста в резисторе.

Это наблюдение можно понять через призму теоремы флуктуации-диссипации. Возьмем, к примеру, простую цепь, состоящую из резистора с сопротивлением и конденсатора с малой емкостью . Закон напряжения Кирхгофа дает Р {\displaystyle R} С {\displaystyle С}

В = − Р г В г т + В С {\displaystyle V=-R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}}

и поэтому функция отклика для этой схемы равна

χ ( ω ) ≡ В ( ω ) В ( ω ) = 1 1 С − я ω Р {\displaystyle \chi (\omega )\equiv {\frac {Q(\omega )}{V(\omega )}}={\frac {1}{{\frac {1}{C}}-i\omega R}}}

В пределе низких частот его мнимая часть просто ω ≪ ( Р С ) − 1 {\displaystyle \omega \ll (RC)^{-1}}

Я [ χ ( ω ) ] ≈ ω Р С 2 {\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\approx \omega RC^{2}}

которая затем может быть связана с функцией спектральной плотности мощности напряжения с помощью теоремы о флуктуации-диссипации С В ( ω ) {\displaystyle S_{V}(\omega)}

С В ( ω ) = С В ( ω ) С 2 ≈ 2 к Б Т С 2 ω Я [ χ ( ω ) ] = 2 Р к Б Т {\displaystyle S_{V}(\omega )={\frac {S_{Q}(\omega )}{C^{2}}}\approx {\frac {2k_{\rm {B}}T}{C^{2}\omega }}{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=2Rk_{\rm {B}}T}

Шум напряжения Джонсона-Найквиста наблюдался в пределах небольшой полосы частот , сосредоточенной вокруг . Следовательно ⟨ В 2 ⟩ {\displaystyle \langle V^{2}\rangle } Δ ν = Δ ω / ( 2 π ) {\displaystyle \Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi)} ω = ± ω 0 {\displaystyle \omega =\pm \omega _{0}}

⟨ В 2 ⟩ ≈ С В ( ω ) × 2 Δ ν ≈ 4 Р к Б Т Δ ν {\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx S_{V}(\omega )\times 2\Delta \nu \approx 4Rk_{\rm {B}}T\Delta \nu }

Общая формулировка

Теорему флуктуации-диссипации можно сформулировать многими способами; особенно полезна следующая форма: [ требуется ссылка ] .

Пусть будет наблюдаемой динамической системы с гамильтонианом , подверженным тепловым флуктуациям. Наблюдаемая будет колебаться вокруг своего среднего значения с флуктуациями, характеризующимися спектром мощности . Предположим, что мы можем включить изменяющееся во времени, пространственно постоянное поле , которое изменяет гамильтониан на . Реакция наблюдаемой на зависящее от времени поле характеризуется в первом порядке восприимчивостью или линейной функцией отклика системы х ( т ) {\displaystyle x(t)} ЧАС 0 ( х ) {\displaystyle H_{0}(x)} х ( т ) {\displaystyle x(t)} ⟨ х ⟩ 0 {\displaystyle \langle x\rangle _{0}} С х ( ω ) = ⟨ х ^ ( ω ) х ^ ∗ ( ω ) ⟩ {\ displaystyle S_ {x} (\ омега) = \ langle {\ шляпа {x}} (\ омега) {\ шляпа {x}} ^ {*} (\ омега) \ rangle } ф ( т ) {\displaystyle f(t)} ЧАС ( х ) = ЧАС 0 ( х ) − ф ( т ) х {\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-f(t)x} х ( т ) {\displaystyle x(t)} ф ( т ) {\displaystyle f(t)} χ ( т ) {\displaystyle \чи (т)}

⟨ х ( т ) ⟩ = ⟨ х ⟩ 0 + ∫ − ∞ т ф ( τ ) χ ( т − τ ) г τ , {\displaystyle \langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\int _{-\infty }^{t}\!f(\tau)\chi (t-\tau)\ ,д\тау ,}

где возмущение адиабатически (очень медленно) включается при . τ = − ∞ {\displaystyle \tau =-\infty }

Теорема флуктуации-диссипации связывает двусторонний спектр мощности (т.е. как положительные, так и отрицательные частоты) с мнимой частью преобразования Фурье восприимчивости : х {\displaystyle x} χ ^ ( ω ) {\displaystyle {\hat {\chi }}(\omega)} χ ( т ) {\displaystyle \чи (т)} С х ( ω ) = − 2 к Б Т ω Я ⁡ χ ^ ( ω ) . {\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\mathrm {B} }T}{\omega }}\operatorname {Im} {\hat {\chi }}(\omega ).}

что выполняется в соответствии с соглашением о преобразовании Фурье . Левая часть описывает колебания в , правая часть тесно связана с энергией, рассеиваемой системой при накачке колебательным полем . Спектр колебаний показывает линейный отклик, поскольку прошлые колебания вызывают будущие колебания посредством линейного отклика на себя. ф ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ ф ( т ) е − я ω т г т {\displaystyle f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt} х {\displaystyle x} ф ( т ) = Ф грех ⁡ ( ω т + ϕ ) {\displaystyle f(t)=F\sin(\omega t+\phi )}

Это классическая форма теоремы; квантовые флуктуации учитываются заменой на (предел для которого равен ). Доказательство можно найти с помощью редукции LSZ , тождества из квантовой теории поля. [ необходима цитата ] 2 к Б Т / ω {\displaystyle 2k_{\mathrm {B} }T/\omega } ℏ кот ⁡ ( ℏ ω / 2 к Б Т ) {\displaystyle \hbar \, \coth (\hbar \omega /2k_ {\ mathrm {B} }T)} ℏ → 0 {\displaystyle \hbar \to 0} 2 к Б Т / ω {\displaystyle 2k_{\mathrm {B} }T/\omega }

Теорему флуктуации-диссипации можно простым образом обобщить на случай пространственно-зависимых полей, на случай нескольких переменных или на случай квантовой механики. [1]

Вывод

Классическая версия

Выведем теорему флуктуации-диссипации в форме, приведенной выше, используя те же обозначения. Рассмотрим следующий тестовый случай: поле f было включено в течение бесконечного времени и выключается в момент t =0

ф ( т ) = ф 0 θ ( − т ) , {\displaystyle f(t)=f_{0}\theta (-t),}

где - функция Хевисайда . Мы можем выразить математическое ожидание через распределение вероятностей W ( x ,0) и вероятность перехода θ ( т ) {\displaystyle \тета (т)} х {\displaystyle x} П ( х ′ , т | х , 0 ) {\displaystyle P(x',t|x,0)}

⟨ х ( т ) ⟩ = ∫ г х ′ ∫ г х х ′ П ( х ′ , т | х , 0 ) Вт ( х , 0 ) . {\displaystyle \langle x(t)\rangle =\int dx'\int dx\,x'P(x',t|x,0)W(x,0).}

Функция распределения вероятностей W ( x ,0) является равновесным распределением и, следовательно, задается распределением Больцмана для гамильтониана ЧАС ( х ) = ЧАС 0 ( х ) − х ф 0 {\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}}

Вт ( х , 0 ) = опыт ⁡ ( − β ЧАС ( х ) ) ∫ г х ′ опыт ⁡ ( − β ЧАС ( х ′ ) ) , {\displaystyle W(x,0)={\frac {\exp(-\beta H(x))}{\int dx'\,\exp(-\beta H(x'))}}\,,}

где . Для слабого поля можно разложить правую часть β − 1 = к Б Т {\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T} β х ф 0 ≪ 1 {\displaystyle \beta xf_{0}\ll 1}

Вт ( х , 0 ) ≈ Вт 0 ( х ) [ 1 + β ф 0 ( х − ⟨ х ⟩ 0 ) ] , {\displaystyle W(x,0)\approx W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(x-\langle x\rangle _{0})],}

вот равновесное распределение в отсутствие поля. Подставляя это приближение в формулу для получаем W 0 ( x ) {\displaystyle W_{0}(x)} ⟨ x ( t ) ⟩ {\displaystyle \langle x(t)\rangle }

⟨ x ( t ) ⟩ = ⟨ x ⟩ 0 + β f 0 A ( t ) , {\displaystyle \langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\beta f_{0}A(t),} ( * )

где A ( t ) — автокорреляционная функция x в отсутствие поля:

A ( t ) = ⟨ [ x ( t ) − ⟨ x ⟩ 0 ] [ x ( 0 ) − ⟨ x ⟩ 0 ] ⟩ 0 . {\displaystyle A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}]\rangle _{0}.}

Обратите внимание, что при отсутствии поля система инвариантна относительно временных сдвигов. Мы можем переписать, используя восприимчивость системы, и, следовательно, найти с помощью приведенного выше уравнения (*) ⟨ x ( t ) ⟩ − ⟨ x ⟩ 0 {\displaystyle \langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}}

f 0 ∫ 0 ∞ d τ χ ( τ ) θ ( τ − t ) = β f 0 A ( t ) {\displaystyle f_{0}\int _{0}^{\infty }d\tau \,\chi (\tau )\theta (\tau -t)=\beta f_{0}A(t)}

Следовательно,

− χ ( t ) = β d A ( t ) d t θ ( t ) . {\displaystyle -\chi (t)=\beta {dA(t) \over dt}\theta (t).} ( ** )

Чтобы сделать утверждение о частотной зависимости, необходимо провести преобразование Фурье уравнения (**) . Интегрируя по частям, можно показать, что

− χ ^ ( ω ) = i ω β ∫ 0 ∞ e − i ω t A ( t ) d t − β A ( 0 ) . {\displaystyle -{\hat {\chi }}(\omega )=i\omega \beta \int _{0}^{\infty }e^{-i\omega t}A(t)\,dt-\beta A(0).}

Так как является действительным и симметричным, то отсюда следует, что A ( t ) {\displaystyle A(t)}

2 Im ⁡ [ χ ^ ( ω ) ] = − ω β A ^ ( ω ) . {\displaystyle 2\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )]=-\omega \beta {\hat {A}}(\omega ).}

Наконец, для стационарных процессов теорема Винера–Хинчина утверждает, что двусторонняя спектральная плотность равна преобразованию Фурье автокорреляционной функции:

S x ( ω ) = A ^ ( ω ) . {\displaystyle S_{x}(\omega )={\hat {A}}(\omega ).}

Следовательно, следует, что

S x ( ω ) = − 2 k B T ω Im ⁡ [ χ ^ ( ω ) ] . {\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )].}

Квантовая версия

Теорема флуктуации-диссипации связывает корреляционную функцию интересующей наблюдаемой величины (меру флуктуации) с мнимой частью функции отклика в частотной области (меру диссипации). Связь между этими величинами можно найти с помощью так называемой формулы Кубо [5] ⟨ x ^ ( t ) x ^ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle } Im [ χ ( ω ) ] = [ χ ( ω ) − χ ∗ ( ω ) ] / 2 i {\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i}

χ ( t − t ′ ) = i ℏ θ ( t − t ′ ) ⟨ [ x ^ ( t ) , x ^ ( t ′ ) ] ⟩ {\displaystyle \chi (t-t')={\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')\langle [{\hat {x}}(t),{\hat {x}}(t')]\rangle }

что следует, в соответствии с предположениями теории линейного отклика , из временной эволюции ансамблевого среднего наблюдаемого в присутствии возмущающего источника. После преобразования Фурье формула Кубо позволяет записать мнимую часть функции отклика как ⟨ x ^ ( t ) ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle }

Im [ χ ( ω ) ] = 1 2 ℏ ∫ − ∞ + ∞ ⟨ x ^ ( t ) x ^ ( 0 ) − x ^ ( 0 ) x ^ ( t ) ⟩ e i ω t d t . {\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]={\frac {1}{2\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)-{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.}

В каноническом ансамбле второй член можно переформулировать как

⟨ x ^ ( 0 ) x ^ ( t ) ⟩ = Tr  e − β H ^ x ^ ( 0 ) x ^ ( t ) = Tr  x ^ ( t ) e − β H ^ x ^ ( 0 ) = Tr  e − β H ^ e β H ^ x ^ ( t ) e − β H ^ ⏟ x ^ ( t − i ℏ β ) x ^ ( 0 ) = ⟨ x ^ ( t − i ℏ β ) x ^ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle ={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)={\text{Tr }}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0)={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}\underbrace {e^{\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}} _{{\hat {x}}(t-i\hbar \beta )}{\hat {x}}(0)=\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle }

где во втором равенстве мы переместили, используя циклическое свойство следа. Далее, в третьем равенстве мы вставили рядом со следом и интерпретировали как оператор эволюции времени с мнимым временным интервалом . Мнимый временной сдвиг превращается в фактор после преобразования Фурье x ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {x}}(t)} e − β H ^ e β H ^ {\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}} e − β H ^ {\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}} e − i ℏ H ^ Δ t {\displaystyle e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}} Δ t = − i ℏ β {\displaystyle \Delta t=-i\hbar \beta } e − β ℏ ω {\displaystyle e^{-\beta \hbar \omega }}

∫ − ∞ + ∞ ⟨ x ^ ( t − i ℏ β ) x ^ ( 0 ) ⟩ e i ω t d t = e − β ℏ ω ∫ − ∞ + ∞ ⟨ x ^ ( t ) x ^ ( 0 ) ⟩ e i ω t d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta \hbar \omega }\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt}

и, таким образом, выражение для можно легко переписать как квантовое флуктуационно-диссипативное соотношение [6] Im [ χ ( ω ) ] {\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}

S x ( ω ) = 2 ℏ [ n B E ( ω ) + 1 ] Im [ χ ( ω ) ] {\displaystyle S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}

где спектральная плотность мощности — это преобразование Фурье автокорреляции , а — функция распределения Бозе-Эйнштейна . Тот же расчет также дает S x ( ω ) {\displaystyle S_{x}(\omega )} ⟨ x ^ ( t ) x ^ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle } n B E ( ω ) = ( e β ℏ ω − 1 ) − 1 {\displaystyle n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}}

S x ( − ω ) = e − β ℏ ω S x ( ω ) = 2 ℏ [ n B E ( ω ) ] Im [ χ ( ω ) ] ≠ S x ( + ω ) {\displaystyle S_{x}(-\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\neq S_{x}(+\omega )}

Таким образом, в отличие от того, что получено в классическом случае, спектральная плотность мощности не является точно частотно-симметричной в квантовом пределе. Последовательно, имеет мнимую часть, происходящую из правил коммутации операторов. [7] Дополнительный член " " в выражении на положительных частотах также можно рассматривать как связанный со спонтанным излучением . Часто цитируемый результат также представляет собой симметризованную спектральную плотность мощности ⟨ x ^ ( t ) x ^ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle } + 1 {\displaystyle +1} S x ( ω ) {\displaystyle S_{x}(\omega )}

S x ( ω ) + S x ( − ω ) 2 = 2 ℏ [ n B E ( ω ) + 1 2 ] Im [ χ ( ω ) ] = ℏ coth ⁡ ( ℏ ω 2 k B T ) Im [ χ ( ω ) ] . {\displaystyle {\frac {S_{x}(\omega )+S_{x}(-\omega )}{2}}=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+{\frac {1}{2}}\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right){\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right].}

" " можно рассматривать как связанное с квантовыми флуктуациями или с нулевым движением наблюдаемой . При достаточно высоких температурах, т.е. квантовый вклад незначителен, и мы получаем классическую версию. + 1 / 2 {\displaystyle +1/2} x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} n B E ≈ ( β ℏ ω ) − 1 ≫ 1 {\displaystyle n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1}

Нарушения в стеклообразных системах

В то время как теорема о флуктуации-диссипации обеспечивает общее соотношение между реакцией систем, подчиняющихся детальному балансу , когда детальный баланс нарушается, сравнение флуктуаций с диссипацией является более сложным. Ниже так называемой температуры стекла стеклообразные системы не уравновешены и медленно приближаются к своему равновесному состоянию. Это медленное приближение к равновесию является синонимом нарушения детального баланса. Таким образом, эти системы требуют больших временных масштабов для изучения, пока они медленно движутся к равновесию. T g {\displaystyle T_{\rm {g}}}

Для изучения нарушения соотношения флуктуации-диссипации в стеклообразных системах, в частности спиновых стеклах , исследователи провели численное моделирование макроскопических систем (т.е. больших по сравнению с их корреляционными длинами), описываемых трехмерной моделью Эдвардса-Андерсона, с использованием суперкомпьютеров. [8] В их моделировании система изначально готовится при высокой температуре, быстро охлаждается до температуры ниже температуры стекла и оставляется для уравновешивания в течение очень длительного времени под магнитным полем . Затем, в более позднее время , исследуются две динамические наблюдаемые, а именно функция отклика и функция спин-временной корреляции, где — спин, живущий на узле кубической решетки объема , а — плотность намагниченности. Соотношение флуктуации-диссипации в этой системе можно записать в терминах этих наблюдаемых как T = 0.64 T g {\displaystyle T=0.64T_{\rm {g}}} T g {\displaystyle T_{\rm {g}}} t w {\displaystyle t_{\rm {w}}} H {\displaystyle H} t + t w {\displaystyle t+t_{\rm {w}}} χ ( t + t w , t w ) ≡ ∂ m ( t + t w ) ∂ H | H = 0 {\displaystyle \chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv \left.{\frac {\partial m(t+t_{\rm {w}})}{\partial H}}\right|_{H=0}} C ( t + t w , t w ) ≡ 1 V ∑ x ⟨ S x ( t w ) S x ( t + t w ) ⟩ | H = 0 {\displaystyle C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv {\frac {1}{V}}\left.\sum _{x}\langle S_{x}(t_{\rm {w}})S_{x}(t+t_{\rm {w}})\rangle \right|_{H=0}} S x = ± 1 {\displaystyle S_{x}=\pm 1} x {\displaystyle x} V {\displaystyle V} m ( t ) ≡ 1 V ∑ x ⟨ S x ( t ) ⟩ {\textstyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle } T χ ( t + t w , t w ) = 1 − C ( t + t w , t w ) {\displaystyle T\chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})=1-C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})}

Их результаты подтверждают ожидание того, что если система находится в равновесии в течение более длительного времени, то соотношение флуктуации-диссипации становится более удовлетворительным.

В середине 1990-х годов при изучении динамики моделей спинового стекла было обнаружено обобщение теоремы о флуктуации-диссипации, справедливое для асимптотических нестационарных состояний, где температура, фигурирующая в соотношении равновесия, заменяется эффективной температурой с нетривиальной зависимостью от временных масштабов. [9] Предполагается, что это соотношение справедливо в стеклообразных системах за пределами моделей, для которых оно было первоначально обнаружено.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ ab HB Callen ; TA Welton (1951). «Необратимость и обобщенный шум». Physical Review . 83 (1): 34–40. Bibcode :1951PhRv...83...34C. doi :10.1103/PhysRev.83.34.
  2. ^ Эйнштейн, Альберт (май 1905 г.). «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flussigkeiten suspendierten Teilchen». Аннален дер Физик . 322 (8): 549–560. Бибкод : 1905АнП...322..549Е. дои : 10.1002/andp.19053220806 .
  3. ^ Найквист Х (1928). «Тепловое возбуждение электрического заряда в проводниках». Physical Review . 32 (1): 110–113. Bibcode : 1928PhRv...32..110N. doi : 10.1103/PhysRev.32.110.
  4. ^ Бланделл, Стивен Дж.; Бланделл, Кэтрин М. (2009). Концепции в теплофизике . OUP Oxford.
  5. ^ Кубо Р. (1966). «Теорема флуктуации-диссипации». Reports on Progress in Physics . 29 (1): 255–284. Bibcode :1966RPPh...29..255K. doi :10.1088/0034-4885/29/1/306. S2CID  250892844.
  6. ^ Hänggi Peter, Ingold Gert-Ludwig (2005). "Фундаментальные аспекты квантового броуновского движения". Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 15 (2): 026105. arXiv : quant-ph/0412052 . Bibcode : 2005Chaos..15b6105H. doi : 10.1063/1.1853631. PMID  16035907. S2CID  9787833.
  7. ^ Клерк, AA; Деворе, MH; Гирвин, SM; Марквардт, Флориан; Шелькопф, RJ (2010). «Введение в квантовый шум, измерение и усиление». Reviews of Modern Physics . 82 (2): 1155. arXiv : 0810.4729 . Bibcode : 2010RvMP...82.1155C. doi : 10.1103/RevModPhys.82.1155. S2CID  119200464.
  8. ^ Байти-Хеси Марко, Калоре Энрико, Крус Андрес, Антонио Фернандес Луис, Мигель Хиль-Нарвион Хосе, Гордильо-Герреро Антонио, Иньигес Давид, Майорано Андреа, Маринари Энсо, Мартин-Майор Виктор, Монфорте-Гарсия Хорхе, Муньос Судупе Антонио, Наварро Денис, Паризи Джорджио, Перес-Гавиро Серхио, Риччи-Терсенги Федерико, Хесус Руис-Лоренцо Хуан, Фабио Скифано Себастьяно, Сеоан Беатрис, Таранкон Альфонсо, Трипиччоне Раффаэле, Илланес Давид (2017). «Эквивалентность статики и динамики через соотношение флуктуации и диссипации дает возможность проникнуть в фазу спинового стекла на основе неравновесных измерений». Труды Национальной академии наук . 114 (8): 1838–1843. arXiv : 1610.01418 . Bibcode : 2017PNAS..114.1838B . doi : 10.1073/pnas.1621242114 . PMC 5338409. PMID  28174274. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  9. ^ Cugliandolo LF ; Kurchan J. (1993). "Аналитическое решение неравновесной динамики дальнодействующей модели спинового стекла". Physical Review Letters . 71 (1): 173–176. arXiv : cond-mat/9303036 . Bibcode :1993PhRvL..71..173C. doi :10.1103/PhysRevLett.71.173. PMID  10054401. S2CID  8591240.

Ссылки

  • HB Callen, TA Welton (1951). «Необратимость и обобщенный шум». Physical Review . 83 (1): 34–40. Bibcode : 1951PhRv...83...34C. doi : 10.1103/PhysRev.83.34.
  • Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц (1980). Статистическая физика . Курс теоретической физики . Т. 5 (3-е изд.).
  • Умберто Марини Беттоло Маркони; Андреа Пуглиси; Ламберто Рондони; Анджело Вульпиани (2008). «Флуктуация-Диссипация: теория отклика в статистической физике». Отчеты по физике . 461 (4–6): 111–195. arXiv : 0803.0719 . Бибкод : 2008PhR...461..111M. doi :10.1016/j.physrep.2008.02.002. S2CID  118575899.

Дальнейшее чтение

  • Аудиозапись лекции профессора Э. У. Карлсона из Университета Пердью
  • Знаменитый текст Кубо: Теорема о флуктуации-диссипации
  • Вебер Дж. (1956). «Теорема о флуктуационной диссипации». Physical Review . 101 (6): 1620–1626. arXiv : 0710.4394 . Bibcode : 1956PhRv..101.1620W. doi : 10.1103/PhysRev.101.1620.
  • Felderhof BU (1978). «О выводе теоремы о флуктуации-диссипации». Journal of Physics A. 11 ( 5): 921–927. Bibcode :1978JPhA...11..921F. doi :10.1088/0305-4470/11/5/021.
  • Cristani A, Ritort F (2003). «Нарушение теоремы флуктуации-диссипации в стеклообразных системах: основные понятия и численные доказательства». Journal of Physics A . 36 (21): R181–R290. arXiv : cond-mat/0212490 . Bibcode :2003JPhA...36R.181C. doi :10.1088/0305-4470/36/21/201. S2CID  14144683.
  • Чандлер Д. (1987). Введение в современную статистическую механику. Oxford University Press. С. 231–265. ISBN 978-0-19-504277-1.
  • Reichl LE (1980). Современный курс статистической физики . Остин, Техас: Издательство Техасского университета. С. 545–595. ISBN 0-292-75080-3.
  • Плишке М., Бергерсен Б. (1989). Равновесная статистическая физика . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. С. 251–296. ISBN 0-13-283276-3.
  • Патрия РК (1972). Статистическая механика . Оксфорд: Pergamon Press. стр. 443, 474–477. ISBN 0-08-018994-6.
  • Хуан К (1987). Статистическая механика . Нью-Йорк: John Wiley and Sons. стр. 153, 394–396. ISBN 0-471-81518-7.
  • Callen HB (1985). Термодинамика и введение в термостатистику . Нью-Йорк: John Wiley and Sons. С. 307–325. ISBN 0-471-86256-8.
  • Мазонка, Олег (2016). "Просто как число Пи: соотношение флуктуации и диссипации" (PDF) . Журнал ссылок . 16 .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fluctuation–dissipation_theorem&oldid=1249041783"