Квантовое возрождение

Полное и точное возрождение полугауссовой волновой функции в бесконечной двумерной потенциальной яме в ходе ее временной эволюции. Между ними происходят дробные возрождения, когда масштабированная форма волновой функции реплицирует себя целое число раз по площади ямы.

В квантовой механике квантовое возрождение ^[1] представляет собой периодическое повторение квантовой волновой функции из ее первоначальной формы в течение временной эволюции либо много раз в пространстве в виде множественных масштабированных дробей в виде начальной волновой функции (дробное возрождение), либо приблизительно или точно к ее первоначальной форме с самого начала (полное возрождение). Квантовая волновая функция, периодическая во времени, поэтому демонстрирует полное возрождение каждый период . Явление возрождений наиболее легко наблюдать для волновых функций, являющихся хорошо локализованными волновыми пакетами в начале временной эволюции, например, в атоме водорода. Для водорода дробные возрождения проявляются в виде множественных угловых гауссовых выступов вокруг окружности, нарисованной радиальным максимумом ведущего кругового компонента состояния (с наибольшей амплитудой в разложении собственного состояния) исходного локализованного состояния, а полное возрождение — как исходное гауссово. ^[2] Полные возрождения являются точными для бесконечной квантовой ямы , гармонического осциллятора или атома водорода , в то время как для более коротких времен они являются приблизительными для атома водорода и многих квантовых систем. ^[3]

Сюжет коллапсов и возрождений квантовых осцилляций атомной инверсии JCM. ^[4]

Пример - произвольная усеченная волновая функция квантовой системы с рациональными энергиями

Рассмотрим квантовую систему с энергиями и собственными состояниями $E_{i}$ $\psi _{i}$

H\psi _{i}=E_{i}\psi _{i}

и пусть энергии будут рациональными дробями некоторой константы $C$

E_{i}=C{M_{i} \over N_{i}}

(например, для атома водорода , , . $M_{i}=1$ $N_{i}=i^{2}$ $C=-13.6eV$

Тогда усеченное (до состояний) решение зависящего от времени уравнения Шредингера имеет вид $\mathbb {N} _{max}$

\Psi (t)=\sum _{i=0}^{\mathbb {N} _{max}}a_{i}e^{-i{{E_{i}} \over \hbar }t}\psi _{i}

Супервозрождение инверсии (возвращение полных приближенных возрождений к исходной форме) в модели Джейнса-Каммингса, когда точный спектр в резонансе вокруг среднего числа фотонов аппроксимируется полиномом по квантовому числу фотона , $n_{0}=100$ $n$ $E(n)=a\delta n^{2}+b\delta n+c$ $\delta n=n-n_{0}$

{\displaystyle n_{0}=100} — Супервозрождение инверсии (возвращение полных приближенных возрождений к исходной форме) в модели Джейнса-Каммингса, когда точный спектр в резонансе вокруг среднего числа фотонов аппроксимируется полиномом по квантовому числу фотона , $n_{0}=100$ $n$ $E(n)=a\delta n^{2}+b\delta n+c$ $\delta n=n-n_{0}$

.

Пусть будет наименьшим общим кратным всех и наибольшим общим делителем всех, тогда для каждого — целое число, для каждого — целое число, — полное кратное угла и $L_{cm}$ $N_{i}$ $L_{cd}$ $M_{i}$ $N_{i}$ ${L_{cm}}/N_{i}$ $M_{i}$ ${M_{i}}/L_{cd}$ $2\pi M_{i}{L_{cm}}/(N_{i}L_{cd})$ $2\pi$

\Psi (t)=\Psi (t+T)

после полного возрождения время время

T={2\pi \hbar \over {L_{cd}C}}L_{cm}

.

Для квантовой системы размером с водород и размером с 100 может потребоваться квадриллионы лет, прежде чем она полностью возродится. Особенно, если троянский волновой пакет в атоме водорода создан полями, он существует без каких-либо внешних полей, стробоскопически и вечно повторяясь после охвата почти всего гиперкуба квантовых фаз точно в каждый полный момент возрождения. $\mathbb {N} _{max}$

Поразительным следствием является то, что ни один конечный компьютер не может точно распространять числовую волновую функцию в течение сколь угодно долгого времени. Если номер процессора - это число с плавающей точкой длиной n бит , то это число может быть сохранено компьютером только с конечной точностью после запятой, а энергия равна (до 8 цифр после запятой), например, 2,34576893 = 234576893/100000000 и как конечная дробь она является точно рациональной, и полное возрождение происходит для любой волновой функции любой квантовой системы по истечении времени , которое является ее максимальным показателем и так далее, что может быть неверным для всех квантовых систем или не все стационарные квантовые системы подвергаются полному и точному возрождению численно. $t/2\pi =100000000$

В системе с рациональными энергиями, т.е. там, где существует квантовое точное полное возрождение, его существование немедленно доказывает квантовую теорему о возвращении Пуанкаре , а время полного квантового возрождения равно времени возвращения Пуанкаре. В то время как рациональные числа плотны в действительных числах, а произвольная функция квантового числа может быть аппроксимирована произвольно точно с помощью аппроксимаций Паде с коэффициентами произвольной десятичной точности для произвольно долгого времени, каждая квантовая система, следовательно, возрождается почти точно. Это также означает, что возвращение Пуанкаре и полное возрождение математически одно и то же ^[5] , и общепринято, что возвращение называется полным возрождением, если оно происходит после разумного и физически измеримого времени, которое может быть обнаружено реалистичным аппаратом, и это происходит из-за очень специального энергетического спектра, имеющего большой базовый энергетический зазор, энергии которого являются произвольными (не обязательно гармоническими) кратными.

Смотрите также

Теорема о возвращении Пуанкаре

Ссылки

^ JH Eberly; NB Narozhny & JJ Sanchez-Mondragon (1980). «Периодический спонтанный коллапс и возрождение в простой квантовой модели». Phys. Rev. Lett . 44 (20): 1323–1326. Bibcode : 1980PhRvL..44.1323E. doi : 10.1103/PhysRevLett.44.1323.
^ Z. Dacic Gaeta & CR Stroud, Jr. (1990). «Классическая и квантово-механическая динамика квазиклассического состояния атома водорода». Phys. Rev. A. 42 ( 11): 6308–6313. Bibcode : 1990PhRvA..42.6308G. doi : 10.1103/PhysRevA.42.6308. PMID 9903927.
^ Чжан, Цзян-Мин; Хак, Масудул (2014). «Негладкая и разрешенная по уровню динамика, проиллюстрированная с помощью периодически управляемой модели сильной связи». Scienceopen Research . arXiv : 1404.4280 . doi : 10.14293/S2199-1006.1.SOR-PHYS.A2CEM4.v1 . S2CID 57487218.
^ AA Karatsuba; EA Karatsuba (2009). "Формула повторного суммирования для коллапса и возрождения в модели Джейнса–Каммингса". J. Phys. A: Math. Theor . 42 (19): 195304, 16. Bibcode :2009JPhA...42s5304K. doi :10.1088/1751-8113/42/19/195304. S2CID 120269208.
^ Bocchieri, P.; Loinger, A. (1957). «Квантовая теорема о возвращении». Phys. Rev. 107 (2): 337–338. Bibcode :1957PhRv..107..337B. doi :10.1103/PhysRev.107.337.

[1] JH Eberly; NB Narozhny & JJ Sanchez-Mondragon (1980). «Периодический спонтанный коллапс и возрождение в простой квантовой модели». Phys. Rev. Lett . 44 (20): 1323–1326. Bibcode : 1980PhRvL..44.1323E. doi : 10.1103/PhysRevLett.44.1323.

[2] Z. Dacic Gaeta & CR Stroud, Jr. (1990). «Классическая и квантово-механическая динамика квазиклассического состояния атома водорода». Phys. Rev. A. 42 ( 11): 6308–6313. Bibcode : 1990PhRvA..42.6308G. doi : 10.1103/PhysRevA.42.6308. PMID 9903927.

[3] Чжан, Цзян-Мин; Хак, Масудул (2014). «Негладкая и разрешенная по уровню динамика, проиллюстрированная с помощью периодически управляемой модели сильной связи». Scienceopen Research . arXiv : 1404.4280 . doi : 10.14293/S2199-1006.1.SOR-PHYS.A2CEM4.v1 . S2CID 57487218.

[4] AA Karatsuba; EA Karatsuba (2009). "Формула повторного суммирования для коллапса и возрождения в модели Джейнса–Каммингса". J. Phys. A: Math. Theor . 42 (19): 195304, 16. Bibcode :2009JPhA...42s5304K. doi :10.1088/1751-8113/42/19/195304. S2CID 120269208.

[5] Bocchieri, P.; Loinger, A. (1957). «Квантовая теорема о возвращении». Phys. Rev. 107 (2): 337–338. Bibcode :1957PhRv..107..337B. doi :10.1103/PhysRev.107.337.