Теорема Ирншоу

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Теорема Эрншоу» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм Оптика История Вычислительный Учебники Феномены
Электростатика Плотность заряда Дирижер закон Кулона Электрет Электрический заряд Электрический диполь Электрическое поле Электрический поток Электрический потенциал Электростатический разряд Электростатическая индукция закон Гаусса Изолятор Диэлектрическая проницаемость Поляризация Потенциальная энергия Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био-Савара Магнитный закон Гаусса Магнитный диполь Магнитное поле Магнитный поток Магнитный скалярный потенциал Магнитный векторный потенциал Намагничивание Проницаемость Правило правой руки
Electrodynamics Bremsstrahlung Cyclotron radiation Displacement current Eddy current Electromagnetic field Electromagnetic induction Electromagnetic pulse Electromagnetic radiation Faraday law Jefimenko equations Larmor formula Lenz law Liénard–Wiechert potential London equations Lorentz force Maxwell equations Maxwell tensor Poynting vector Synchrotron radiation
Electrical network Alternating current Capacitance Current density Direct current Electric current Electric power Electrolysis Electromotive force Impedance Inductance Joule heating Kirchhoff laws Network analysis Ohm law Parallel circuit Resistance Resonant cavities Series circuit Voltage Watt Waveguides
Magnetic circuit AC motor DC motor Electric machine Electric motor Gyrator–capacitor Induction motor Linear motor Magnetomotive force Permeance Reluctance (complex) Reluctance (real) Rotor Stator Transformer
Covariant formulation Electromagnetic tensor Electromagnetism and special relativity Four-current Four-potential Mathematical descriptions Maxwell equations in curved spacetime Relativistic electromagnetism Stress–energy tensor
Scientists Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Helmholtz Henry Hertz Hopkinson Jefimenko Joule Kelvin Kirchhoff Larmor Lenz Liénard Lorentz Maxwell Neumann Ohm Ørsted Poisson Poynting Ritchie Savart Singer Steinmetz Tesla Thomson Volta Weber Wiechert
v t e

Теорема Эрншоу утверждает, что совокупность точечных зарядов не может поддерживаться в стабильной стационарной равновесной конфигурации исключительно за счет электростатического взаимодействия зарядов. Это было впервые доказано британским математиком Сэмюэлем Эрншоу в 1842 году. Обычно ее цитируют в отношении магнитных полей , но впервые она была применена к электростатическому полю .

Теорема Ирншоу применима к классическим силам, подчиняющимся закону обратных квадратов (электрическим и гравитационным ), а также к магнитным силам постоянных магнитов , если магниты твердые (магниты не меняют свою силу в зависимости от внешних полей). Теорема Ирншоу запрещает магнитную левитацию во многих распространенных ситуациях.

Если материалы не являются твердыми, то расширение Вернера Браунбека показывает, что материалы с относительной магнитной проницаемостью больше единицы ( парамагнетизм ) еще больше дестабилизируют, но материалы с проницаемостью меньше единицы ( диамагнитные материалы) допускают стабильные конфигурации.

Неформально, случай точечного заряда в произвольном статическом электрическом поле является простым следствием закона Гаусса . Для того чтобы частица находилась в устойчивом равновесии, малые возмущения («толчки») частицы в любом направлении не должны нарушать равновесие; частица должна «упасть» в свое предыдущее положение. Это означает, что силовые линии поля вокруг положения равновесия частицы должны быть направлены внутрь, к этому положению. Если все окружающие силовые линии поля направлены к точке равновесия, то дивергенция поля в этой точке должна быть отрицательной (т.е. эта точка действует как сток). Однако закон Гаусса гласит, что дивергенция любого возможного электрического силового поля равна нулю в свободном пространстве. В математической нотации электрическая сила F ( r ), вытекающая из потенциала U ( r ), всегда будет бездивергентной (удовлетворять уравнению Лапласа ):

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot (-\nabla U)=-\nabla ^{2}U=0.}$$

Следовательно, в свободном пространстве нет локальных минимумов или максимумов потенциала поля, только седловые точки . Устойчивое равновесие частицы не может существовать, и должна быть неустойчивость в каком-то направлении. Этот аргумент может быть недостаточным, если все вторые производные U равны нулю . ^[1]

Если быть совсем строгим, то, строго говоря, существование устойчивой точки не требует, чтобы все соседние векторы силы были направлены точно к устойчивой точке; векторы силы могли бы, например, закручиваться по спирали к устойчивой точке. Один из методов решения этой проблемы использует тот факт, что, в дополнение к расхождению, ротор любого электрического поля в свободном пространстве также равен нулю (при отсутствии каких-либо магнитных токов).

Эту теорему также можно доказать непосредственно из уравнений силы/энергии для статических магнитных диполей (ниже). Интуитивно, однако, вполне вероятно, что если теорема верна для одного точечного заряда, то она будет верна и для двух противоположных точечных зарядов, соединенных вместе. В частности, она будет верна в пределе, где расстояние между зарядами уменьшается до нуля при сохранении дипольного момента – то есть она будет верна для электрического диполя . Но если теорема верна для электрического диполя, то она будет верна и для магнитного диполя, поскольку (статические) уравнения силы/энергии принимают одинаковую форму как для электрических, так и для магнитных диполей.

В качестве практического следствия эта теорема также утверждает, что не существует возможной статической конфигурации ферромагнетиков , которая могла бы стабильно левитировать объект против силы тяжести, даже если магнитные силы сильнее гравитационных.

Теорема Ирншоу была доказана даже для общего случая протяженных тел, и это так, даже если они гибкие и проводящие, при условии, что они не являются диамагнитными , ^{[2] [3],} поскольку диамагнетизм представляет собой (небольшую) силу отталкивания, но не притяжения.

Однако существует несколько исключений из правил, допускающих магнитную левитацию .

Теорема Ирншоу применима к статическим гравитационным полям.

Теорема Ирншоу применима в инерциальной системе отсчета. Но иногда более естественно работать во вращающейся системе отсчета, которая содержит фиктивную центробежную силу , которая нарушает предположения теоремы Ирншоу. Точки, которые неподвижны во вращающейся системе отсчета (но движутся в инерциальной системе) могут быть абсолютно устойчивыми или абсолютно неустойчивыми. Например, в ограниченной задаче трех тел эффективный потенциал от фиктивной центробежной силы позволяет точкам Лагранжа L4 и L5 лежать в локальных максимумах эффективного потенциального поля, даже если в этих местах имеется лишь пренебрежимо малая масса. (Хотя эти точки Лагранжа лежат в локальных максимумах потенциального поля, а не в локальных минимумах, они все еще абсолютно устойчивы в определенном режиме параметров из-за фиктивной силы Кориолиса , зависящей от скорости, которая не улавливается скалярным потенциальным полем.)

В течение довольно долгого времени теорема Эрншоу ставила поразительный вопрос о том, почему материя стабильна и удерживается вместе, поскольку было найдено много доказательств того, что материя удерживается вместе электромагнитно, несмотря на доказанную нестабильность статических конфигураций зарядов. Поскольку теорема Эрншоу применима только к стационарным зарядам, были попытки объяснить устойчивость атомов с помощью планетарных моделей, таких как сатурнианская модель Нагаоки (1904) и планетарная модель Резерфорда (1911), где точечные электроны вращаются вокруг положительного точечного заряда в центре. Тем не менее, устойчивость таких планетарных моделей была немедленно поставлена ​​под сомнение: электроны имеют ненулевое ускорение при движении по окружности, и, следовательно, они будут излучать энергию через нестационарное электромагнитное поле. Модель Бора 1913 года формально запретила это излучение, не дав объяснения его отсутствия.

С другой стороны, теорема Эрншоу применима только к точечным зарядам, но не к распределенным зарядам. Это привело Дж. Дж. Томсона в 1904 году к его модели сливового пудинга , в которой отрицательные точечные заряды (электроны или «сливы») вложены в распределенный положительный заряд « пудинг », где они могут быть как неподвижными, так и двигаться по окружностям; это конфигурация, которая представляет собой неточечные положительные заряды (а также нестационарные отрицательные заряды), не охватываемые теоремой Эрншоу. В конечном итоге это привело к модели Шредингера 1926 года , в которой существование неизлучающих состояний, в которых электрон не является точкой, а скорее распределенной плотностью заряда, разрешает вышеуказанную головоломку на фундаментальном уровне: не только не было противоречия теореме Эрншоу, но и результирующая плотность заряда и плотность тока являются стационарными, как и соответствующее электромагнитное поле, больше не излучающее энергию в бесконечность. Это дало квантово-механическое объяснение стабильности атома.

На более практическом уровне можно сказать, что принцип исключения Паули и существование дискретных электронных орбиталей ответственны за жесткость объемного вещества.

Хотя более общее доказательство возможно, здесь рассматриваются три конкретных случая. Первый случай — это магнитный диполь постоянной величины, который имеет быструю (фиксированную) ориентацию. Второй и третий случаи — это магнитные диполи, ориентация которых меняется, чтобы оставаться выровненной либо параллельно, либо антипараллельно линиям поля внешнего магнитного поля. В парамагнитных и диамагнитных материалах диполи выровнены параллельно и антипараллельно линиям поля соответственно.

Рассматриваемые здесь доказательства основаны на следующих принципах.

Энергия U магнитного диполя с магнитным дипольным моментом M во внешнем магнитном поле B определяется выражением$${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}).}$$

Диполь будет устойчиво левитировать только в точках, где энергия имеет минимум. Энергия может иметь минимум только в точках, где Лапласиан энергии больше нуля. То есть, где$${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}>0.}$$

Наконец, поскольку и дивергенция, и ротор магнитного поля равны нулю (при отсутствии тока или изменяющегося электрического поля), лапласианы отдельных компонентов магнитного поля равны нулю. То есть,$${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}=\nabla ^{2}B_{y}=\nabla ^{2}B_{z}=0.}$$

Это доказано в самом конце статьи, поскольку это имеет решающее значение для понимания всего доказательства.

Для магнитного диполя фиксированной ориентации (и постоянной величины) энергия будет определяться как где M _x , My и M _z постоянны. В этом случае лапласиан энергии всегда равен нулю, _{поэтому} диполь не может иметь ни минимума энергии, ни максимума энергии. То есть, нет точки в свободном пространстве, где диполь был бы либо устойчив во всех направлениях, либо неустойчив во всех направлениях.$${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}),}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}U=0,}$$

Магнитные диполи, выровненные параллельно или антипараллельно внешнему полю с величиной диполя, пропорциональной внешнему полю, будут соответствовать парамагнитным и диамагнитным материалам соответственно. В этих случаях энергия будет определяться как где k — константа, большая нуля для парамагнитных материалов и меньшая нуля для диамагнитных материалов.$${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} =-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right),}$$

В этом случае будет показано , что, в сочетании с константой k , показывает, что парамагнитные материалы могут иметь максимумы энергии, но не минимумы энергии, а диамагнитные материалы могут иметь минимумы энергии, но не максимумы энергии. То есть парамагнитные материалы могут быть нестабильными во всех направлениях, но нестабильными во всех направлениях, а диамагнитные материалы могут быть стабильными во всех направлениях, но нестабильными во всех направлениях. Конечно, оба материала могут иметь седловые точки.$${\displaystyle \nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\geq 0,}$$

Наконец, магнитный диполь ферромагнитного материала (постоянного магнита), который ориентирован параллельно или антипараллельно магнитному полю, будет определяться выражением$${\displaystyle \mathbf {M} =k{\mathbf {B} \over |\mathbf {B} |},}$$

поэтому энергия будет дана$${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} }{|\mathbf {B} |}}=-k{\frac {|\mathbf {B} |^{2}}{|\mathbf {B} |}}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)^{\frac {1}{2}};}$$

но это всего лишь квадратный корень энергии для парамагнитного и диамагнитного случая, обсуждавшегося выше, и, поскольку функция квадратного корня монотонно возрастает, любой минимум или максимум в парамагнитном и диамагнитном случае будет минимумом или максимумом и здесь. Однако не известны конфигурации постоянных магнитов, которые стабильно левитируют, поэтому могут быть другие причины, не обсуждаемые здесь, по которым невозможно поддерживать постоянные магниты в ориентациях, антипараллельных магнитным полям (по крайней мере, без вращения — см. спин-стабилизированная магнитная левитация .

Теорема Эрншоу была первоначально сформулирована для электростатики (точечные заряды), чтобы показать, что не существует устойчивой конфигурации набора точечных зарядов. Доказательства, представленные здесь для отдельных диполей, должны быть обобщены на наборы магнитных диполей, поскольку они сформулированы в терминах энергии, которая является аддитивной. Строгое рассмотрение этой темы, однако, в настоящее время выходит за рамки этой статьи.

Будет доказано, что во всех точках свободного пространства$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla U)=\nabla ^{2}U={\partial ^{2}U \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial z}^{2}}=0.}$$

Энергия U магнитного диполя M во внешнем магнитном поле B определяется выражением$${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-M_{x}B_{x}-M_{y}B_{y}-M_{z}B_{z}.}$$

Лапласиан будет$${\displaystyle \nabla ^{2}U=-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)}$$

Раскрывая и переставляя члены (и отмечая, что диполь М постоянен), имеем$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}U&=-M_{x}\left({\partial ^{2}B_{x} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over {\partial z}^{2}}\right)-M_{y}\left({\partial ^{2}B_{y} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over {\partial z}^{2}}\right)-M_{z}\left({\partial ^{2}B_{z} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over {\partial z}^{2}}\right)\\[3pt]&=-M_{x}\nabla ^{2}B_{x}-M_{y}\nabla ^{2}B_{y}-M_{z}\nabla ^{2}B_{z}\end{aligned}}}$$

но лапласианы отдельных компонентов магнитного поля равны нулю в свободном пространстве (не считая электромагнитного излучения), поэтому$${\displaystyle \nabla ^{2}U=-M_{x}0-M_{y}0-M_{z}0=0,}$$

что завершает доказательство.

Сначала рассматривается случай парамагнитного или диамагнитного диполя. Энергия определяется как$${\displaystyle U=-k|\mathbf {B} |^{2}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right).}$$

Расширяя и переставляя термины,$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}&=\nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\&=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}+B_{x}\nabla ^{2}B_{x}+B_{y}\nabla ^{2}B_{y}+B_{z}\nabla ^{2}B_{z}\right)\end{aligned}}}$$

но поскольку Лапласиан каждого отдельного компонента магнитного поля равен нулю,$${\displaystyle \nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}\right);}$$

и поскольку квадрат величины всегда положителен,$${\displaystyle \nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}\geq 0.}$$

Как обсуждалось выше, это означает, что лапласиан энергии парамагнитного материала никогда не может быть положительным (отсутствие устойчивой левитации), а лапласиан энергии диамагнитного материала никогда не может быть отрицательным (отсутствие нестабильности во всех направлениях).

Кроме того, поскольку энергия диполя фиксированной величины, выровненного с внешним полем, будет равна квадратному корню из приведенной выше энергии, применим тот же анализ.

Здесь доказано, что лапласиан каждого отдельного компонента магнитного поля равен нулю. Это показывает необходимость привлечения свойств магнитных полей, что дивергенция магнитного поля всегда равна нулю, а ротор магнитного поля равен нулю в свободном пространстве. (То есть, при отсутствии тока или изменяющегося электрического поля.) См. уравнения Максвелла для более подробного обсуждения этих свойств магнитных полей.

Рассмотрим лапласиан x-компоненты магнитного поля$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}B_{x}&={\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}}$$

Поскольку ротор B равен нулю, то мы имеем$${\displaystyle {\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}={\frac {\partial B_{y}}{\partial x}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}={\frac {\partial B_{z}}{\partial x}},}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}.}$$

Но поскольку B _x непрерывен, порядок дифференцирования не имеет значения, давая$${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}\left({\partial B_{x} \over \partial x}+{\partial B_{y} \over \partial y}+{\partial B_{z} \over \partial z}\right)={\partial \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B} ).}$$

Дивергенция B равна нулю, поэтому$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B} )=0.}$$

Лапласиан y - компоненты магнитного поля B _y field и Лапласиан z - компоненты магнитного поля B _z можно вычислить аналогично. В качестве альтернативы можно использовать тождество , в котором оба члена в скобках обращаются в нуль.$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} =\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right),}$$

Теорема Эрншоу не имеет исключений для неподвижных постоянных ферромагнетиков . Однако теорема Эрншоу не обязательно применима к движущимся ферромагнетикам, ^[4] определенным электромагнитным системам, псевдолевитации и диамагнитным материалам. Таким образом, они могут показаться исключениями, хотя на самом деле они используют ограничения теоремы.

Спин-стабилизированная магнитная левитация : вращающиеся ферромагнетики (например, левитрон ) могут во время вращения левитировать с помощью магнитного поля, используя только постоянные ферромагнетики, при этом система добавляет гироскопические силы. ^[4] (Вращающийся ферромагнетик не является «неподвижным ферромагнетиком»).

Переключение полярности электромагнита или системы электромагнитов может левитировать систему путем непрерывного расхода энергии. Поезда на магнитной подвеске являются одним из применений.

Псевдолевитация ограничивает движение магнитов, обычно используя некоторую форму троса или стены. Это работает, потому что теорема показывает только, что есть некоторое направление, в котором будет нестабильность. Ограничение движения в этом направлении допускает левитацию с менее чем полными 3 измерениями, доступными для движения (обратите внимание, что теорема доказана для 3 измерений, а не для 1D или 2D).

Диамагнитные материалы исключены, поскольку они проявляют только отталкивание против магнитного поля, тогда как теорема требует материалов, которые обладают как отталкиванием, так и притяжением. Примером этого является знаменитая левитирующая лягушка (см. Диамагнетизм ).

• Электростатическая левитация
• Магнитная левитация

• Скотт, У. Т. (1959). «Кто был Эрншоу?». Американский журнал физики . 27 (6): 418– 419. Bibcode : 1959AmJPh..27..418S. doi : 10.1119/1.1934886.

• «Возможность левитации», обсуждение теоремы Эрншоу и ее следствий для левитации, а также несколько способов левитации с помощью электромагнитных полей.