Линейная форма

В математике линейная форма ( также известная как линейный функционал , ^[1] однократная форма или ковектор ) — это линейное отображение ^{[nb 1]} векторного пространства в его поле скаляров (часто действительных чисел или комплексных чисел ).

Если V — векторное пространство над полем k , множество всех линейных функционалов от V до k само является векторным пространством над k со сложением и скалярным умножением, определенными поточечно . Это пространство называется двойственным пространством V или иногда алгебраическим двойственным пространством , когда также рассматривается топологическое двойственное пространство . Его часто обозначают Hom( V , k ) , ^[2] или, когда подразумевается поле k , ; ^[3] также используются другие обозначения, такие как , ^{[4] [5]} или ^[2] Когда векторы представлены векторами-столбцами (что обычно бывает, когда базис фиксирован), то линейные функционалы представлены как векторы-строки , а их значения на конкретных векторах задаются матричными произведениями (с вектором-стркой слева).${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V^{\#}}$${\displaystyle V^{\vee }.}$

Функция постоянного нуля , отображающая каждый вектор в ноль, является тривиально линейным функционалом. Любой другой линейный функционал (такой как ниже) является сюръективным (то есть его областью значений являются все k ).

• Индексация в вектор: Второй элемент трехвектора задается единичной формой. То есть, второй элемент равен${\displaystyle [0,1,0].}$${\displaystyle [x,y,z]}$$${\displaystyle [0,1,0]\cdot [x,y,z]=y.}$$
• Среднее : Средний элемент -вектора задается одной формой. То есть,${\displaystyle n}$${\displaystyle \left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right].}$$${\displaystyle \operatorname {mean} (v)=\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right]\cdot v.}$$
• Выборка : Выборку с ядром можно считать одноформной, где одноформной является ядро, смещенное в соответствующее место.
• Чистая текущая стоимость чистого денежного потока , задается одной формой, где - ставка дисконтирования . То есть,${\displaystyle R(t),}$${\displaystyle w(t)=(1+i)^{-t}}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle \mathrm {NPV} (R(t))=\langle w,R\rangle =\int _{t=0}^{\infty }{\frac {R(t)}{(1+i)^{t}}}\,dt.}$$

Предположим, что векторы в реальном координатном пространстве представлены в виде векторов-столбцов${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Для каждого вектора-строки существует линейный функционал, определяемый формулой , и каждый линейный функционал может быть выражен в этой форме.${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle f_{\mathbf {a} }}$$${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}$$

Это можно интерпретировать либо как матричное произведение, либо как скалярное произведение вектора-строки и вектора-столбца :${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

След квадратной матрицы — это сумма всех элементов на ее главной диагонали . Матрицы можно умножать на скаляры, а две матрицы одинаковой размерности можно складывать; эти операции создают векторное пространство из множества всех матриц. След — это линейный функционал на этом пространстве, потому что и для всех скаляров и всех матриц${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)}$${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A{\text{ and }}B.}$

Линейные функционалы впервые появились в функциональном анализе , изучении векторных пространств функций . Типичным примером линейного функционала является интегрирование : линейное преобразование, определяемое интегралом Римана, является линейным функционалом из векторного пространства непрерывных функций на интервале в действительные числа. Линейность следует из стандартных фактов об интеграле:$${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$${\displaystyle C[a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}$$

Пусть обозначает векторное пространство действительных полиномиальных функций степени , определенной на интервале Если то пусть будет оценочным функционалом Отображение линейно, поскольку${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle \leq n}$${\displaystyle [a,b].}$${\displaystyle c\in [a,b],}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$$${\displaystyle f\mapsto f(c)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}$$

Если являются различными точками в , то оценочные функционалы образуют основу двойственного пространства (Лакс (1996) доказывает этот последний факт, используя интерполяцию Лагранжа ).${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}},}$ ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$${\displaystyle P_{n}}$

Функция, имеющая уравнение прямой с (например, ), не является линейным функционалом на , поскольку она не является линейной . ^{[nb 2]} Однако она является аффинно-линейной .${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=a+rx}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle f(x)=1+2x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

В конечных измерениях линейный функционал можно визуализировать в терминах его множеств уровня , множеств векторов, которые отображаются в заданное значение. В трех измерениях множества уровня линейного функционала представляют собой семейство взаимно параллельных плоскостей; в более высоких измерениях они являются параллельными гиперплоскостями . Этот метод визуализации линейных функционалов иногда вводится в текстах по общей теории относительности , таких как «Гравитация» Мизнера, Торна и Уиллера (1973).

Если — различные точки в [ a , b ] , то линейные функционалы, определенные выше, образуют базис двойственного пространства P _n , пространства полиномов степени Интегральный функционал I также является линейным функционалом на P _n , и поэтому может быть выражен как линейная комбинация этих базисных элементов. В символах есть коэффициенты для которых для всех Это составляет основу теории числовых квадратур . ^[6]${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)}$${\displaystyle \leq n.}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$$${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}$$${\displaystyle f\in P_{n}.}$

Линейные функционалы особенно важны в квантовой механике . Квантово-механические системы представлены гильбертовыми пространствами , которые антиизоморфны своим собственным дуальным пространствам. Состояние квантово-механической системы можно определить с помощью линейного функционала. Для получения дополнительной информации см . обозначение скобок .

В теории обобщенных функций некоторые виды обобщенных функций, называемые распределениями, могут быть реализованы как линейные функционалы на пространствах тестовых функций .

Каждая невырожденная билинейная форма на конечномерном векторном пространстве V индуцирует изоморфизм V → V ^∗  : v ↦ v ^∗ такой, что $${\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,}$$

где билинейная форма на V обозначается (например, в евклидовом пространстве — скалярное произведение v и w ).${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle \langle v,w\rangle =v\cdot w}$

Обратный изоморфизм — V ^∗ → V  : v ^∗ ↦ v , где v — единственный элемент V такой, что для всех$${\displaystyle \langle v,w\rangle =v^{*}(w)}$$${\displaystyle w\in V.}$

Определенный выше вектор v ^∗ ∈ V ^∗ называется двойственным вектором${\displaystyle v\in V.}$

В бесконечномерном гильбертовом пространстве аналогичные результаты справедливы по теореме Рисса о представлении . Существует отображение V ↦ V ^∗ из V в его непрерывное сопряженное пространство V ^∗ .

Пусть векторное пространство V имеет базис , не обязательно ортогональный . Тогда двойственное пространство имеет базис, называемый двойственным базисом, определяемый специальным свойством, что${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}$$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}}$$

Или, более кратко,$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}}$$

где — дельта Кронекера . Здесь верхние индексы базисных функционалов — это не показатели степени, а контравариантные индексы.${\displaystyle \delta _{ij}}$

Линейный функционал, принадлежащий двойственному пространству, может быть выражен как линейная комбинация базисных функционалов с коэффициентами («компонентами») u _i ,${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle {\tilde {V}}}$$${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.}$$

Тогда, применяя функционал к базисному вектору, получаем${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$$${\displaystyle {\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)\right]}$$

из-за линейности скалярных множителей функционалов и поточечной линейности сумм функционалов. Тогда$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\mathbf {e} }_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}}$$

Таким образом, каждый компонент линейного функционала можно извлечь, применив функционал к соответствующему базисному вектору.

Когда пространство V несет скалярное произведение , то можно явно записать формулу для двойственного базиса данного базиса. Пусть V имеет (не обязательно ортогональный) базис В трех измерениях ( n = 3 ) двойственный базис можно записать явно для где ε — символ Леви-Чивиты , а скалярное произведение (или скалярное произведение ) на V.${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.}$$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$${\displaystyle i=1,2,3,}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

В более высоких измерениях это обобщается следующим образом: где — оператор звезды Ходжа .$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$${\displaystyle \star }$

Модули над кольцом являются обобщениями векторных пространств, что снимает ограничение, что коэффициенты принадлежат полю . Если задан модуль M над кольцом R , линейная форма на M является линейным отображением из M в R , где последний рассматривается как модуль над собой. Пространство линейных форм всегда обозначается Hom _k ( V , k ) , независимо от того, является ли k полем или нет. Это правый модуль , если V является левым модулем.

Существование «достаточного количества» линейных форм на модуле эквивалентно проективности . ^[8]

Предположим, что — векторное пространство над Ограничение скалярного умножения до приводит к действительному векторному пространству ^[9], называемому реализацией Любое векторное пространство над также является векторным пространством над , наделенным сложной структурой ; то есть существует действительное векторное подпространство такое, что мы можем (формально) записать как -векторные пространства.${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle X=X_{\mathbb {R} }\oplus X_{\mathbb {R} }i}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Каждый линейный функционал на является комплекснозначным, в то время как каждый линейный функционал на является вещественнозначным. Если то линейный функционал на одном из или нетривиален (то есть не тождественен ) тогда и только тогда, когда он сюръективен (потому что если то для любого скаляра ), где образ линейного функционала на есть в то время как образ линейного функционала на есть Следовательно, единственная функция на , которая является как линейным функционалом на , так и линейной функцией на есть тривиальный функционал; другими словами, где обозначает алгебраическое сопряженное пространство пространства . Однако каждый -линейный функционал на является -линейным оператором (то есть он аддитивен и однороден по ), но если он не тождественен, то он не является -линейным функционалом на , потому что его область значений (которая равна ) двумерна по Наоборот, ненулевой -линейный функционал имеет область значений слишком малую, чтобы быть -линейным функционалом.${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \dim X\neq 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varphi (x)\neq 0}$${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle \varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\},}$${\displaystyle \,{\cdot }^{\#}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Если то обозначим его действительную часть через , а мнимую часть через Тогда и являются линейными функционалами от и Из того, что для всех следует, что для всех ^[9] и, следовательно, что и ^[10]${\displaystyle \varphi \in X^{\#}}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi _{i}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}.}$${\displaystyle z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle \varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix).}$

Присваивание определяет биективный ^[10] -линейный оператор , обратным которому является отображение, определенное присваиванием , которое отправляет в линейный функционал, определенный как Действительная часть равна и биекция является -линейным оператором, что означает, что и для всех и ^[10] Аналогично для мнимой части, присваивание индуцирует -линейную биекцию , обратным которой является отображение , определенное отправкой в ​​линейный функционал на , определенный как${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$${\displaystyle g\mapsto L_{g}}$${\displaystyle g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }$${\displaystyle L_{g}:X\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.}$$${\displaystyle L_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle L_{g+h}=L_{g}+L_{h}}$${\displaystyle L_{rg}=rL_{g}}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$${\displaystyle g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}.}$${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$${\displaystyle I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\mapsto I(ix)+iI(x).}$

Это соотношение было открыто Генри Лёвигом в 1934 году (хотя обычно его приписывают Ф. Мюррею), ^[11] и может быть обобщено на произвольные конечные расширения поля естественным образом. Оно имеет много важных следствий, некоторые из которых будут сейчас описаны.

Предположим, что есть линейный функционал с действительной частью и мнимой частью${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$

Тогда если и только если тогда и только если${\displaystyle \varphi =0}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }=0}$${\displaystyle \varphi _{i}=0.}$

Предположим, что является топологическим векторным пространством . Тогда является непрерывным тогда и только тогда, когда его действительная часть непрерывна, тогда и только тогда, когда мнимая часть непрерывна. То есть, либо все три из и непрерывны, либо ни один из них не является непрерывным. Это остается верным, если слово «непрерывный» заменить на слово « ограниченный ». В частности, тогда и только тогда, когда где штрих обозначает непрерывное двойственное пространство пространства . ^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$

Пусть Если для всех скаляров единичной длины (имеется в виду ), то ^{[доказательство 1] [12]} Аналогично, если обозначает комплексную часть , то подразумевает Если является нормированным пространством с нормой , а если является замкнутым единичным шаром, то супремумы выше являются нормами операторов (определенными обычным образом) и так что ^[12] Этот вывод распространяется на аналогичное утверждение для поляр сбалансированных множеств в общих топологических векторных пространствах .${\displaystyle B\subseteq X.}$${\displaystyle uB\subseteq B}$${\displaystyle u\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |u|=1}$ $${\displaystyle \sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.}$$${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle iB\subseteq B}$$${\displaystyle \sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$${\displaystyle \varphi _{i}}$ $${\displaystyle \|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.}$$

• Если — комплексное гильбертово пространство с (комплексным) скалярным произведением , которое антилинейно по первой координате (и линейно по второй), то становится действительным гильбертовым пространством, если наделить его действительной частью Явно, это действительное скалярное произведение на определяется как для всех и оно индуцирует ту же норму на как , поскольку для всех векторов Применение теоремы Рисса о представлении к (соответственно к ) гарантирует существование единственного вектора (соответственно ) такого, что (соответственно ) для всех векторов Теорема также гарантирует, что и Легко проверить, что Теперь и предыдущие равенства подразумевают то же самое заключение, которое было сделано выше.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle .}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle }$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle {\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$${\displaystyle f_{\varphi }\in X}$${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle }$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}}$${\displaystyle \left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}.}$${\displaystyle f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.}$${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|}$${\displaystyle \|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }},}$

Ниже все векторные пространства находятся либо над действительными числами , либо над комплексными числами.${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Если — топологическое векторное пространство , то пространство непрерывных линейных функционалов — непрерывное сопряженное — часто называют просто сопряженным пространством. Если — банахово пространство , то его (непрерывное) сопряженное пространство также является таковым. Чтобы отличить обычное сопряженное пространство от непрерывного сопряженного пространства, первое иногда называют алгебраическим сопряженным пространством . В конечных размерностях каждый линейный функционал непрерывен, поэтому непрерывное сопряженное пространство совпадает с алгебраическим сопряженным пространством, но в бесконечных размерностях непрерывное сопряженное пространство является собственным подпространством алгебраического сопряженного пространства.${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Линейный функционал f на (не обязательно локально выпуклом ) топологическом векторном пространстве X непрерывен тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма p на X такая, что ^[13]${\displaystyle |f|\leq p.}$

Непрерывные линейные функционалы обладают полезными свойствами для анализа : линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро ​​замкнуто, ^[14] а нетривиальный непрерывный линейный функционал является открытым отображением , даже если (топологическое) векторное пространство неполное. ^[15]

Вектор подпространства называется максимальным , если (имея в виду и ) и не существует векторного подпространства такого , что Вектор подпространства является максимальным тогда и только тогда, когда оно является ядром некоторого нетривиального линейного функционала на (то есть для некоторого линейного функционала на , который не равен тождественно 0 ). Аффинная гиперплоскость в является трансляцией максимального векторного подпространства. По линейности подмножество является аффинной гиперплоскостью тогда и только тогда, когда существует некоторый нетривиальный линейный функционал на , такой что ^[11] Если является линейным функционалом и является скаляром, то Это равенство можно использовать для связи различных множеств уровня Более того, если то ядро ​​может быть восстановлено из аффинной гиперплоскости с помощью${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\subsetneq X}$${\displaystyle M\subseteq X}$${\displaystyle M\neq X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\subsetneq N\subsetneq X.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M=\ker f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H=f^{-1}(1)=\{x\in X:f(x)=1\}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s\neq 0}$${\displaystyle f^{-1}(s)=s\left(f^{-1}(1)\right)=\left({\frac {1}{s}}f\right)^{-1}(1).}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f\neq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle H:=f^{-1}(1)}$${\displaystyle \ker f=H-H.}$

Любые два линейных функционала с одинаковым ядром пропорциональны (т.е. скалярно кратны друг другу). Этот факт можно обобщить до следующей теоремы.

Если f — нетривиальный линейный функционал на X с ядром N , удовлетворяет и U — сбалансированное подмножество X , то тогда и только тогда, когда для всех ^[15]${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)=1,}$${\displaystyle N\cap (x+U)=\varnothing }$${\displaystyle |f(u)|<1}$${\displaystyle u\in U.}$

Любой (алгебраический) линейный функционал на векторном подпространстве может быть расширен на все пространство; например, описанные выше оценочные функционалы могут быть расширены на векторное пространство полиномов на всех Однако это расширение не всегда может быть выполнено с сохранением непрерывности линейного функционала. Семейство теорем Хана–Банаха дает условия, при которых это расширение может быть выполнено. Например,${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Пусть X — топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным сопряженным пространством ${\displaystyle X'.}$

Для любого подмножества H следующие условия эквивалентны: ^[19]${\displaystyle X',}$

1. H равностепенно непрерывна ;
2. H содержится в поляре некоторой окрестностив X ;${\displaystyle 0}$
3. (пре) поляра H является окрестностью в X ;${\displaystyle 0}$

Если H является равностепенно непрерывным подмножеством , то следующие множества также равностепенно непрерывны: слабо-* замыкание, сбалансированная оболочка , выпуклая оболочка и выпуклая сбалансированная оболочка . ^[19] Более того, теорема Алаоглу подразумевает, что слабо-* замыкание равностепенно непрерывного подмножества является слабо-* компактным (и, таким образом, каждое равностепенно непрерывное подмножество слабо-* относительно компактно). ^{[20] [19]}${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$

• Прерывистое линейное отображение
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Положительный линейный функционал  – упорядоченное векторное пространство с частичным порядкомPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Мультилинейная форма  – отображение нескольких векторов в базовое поле скаляров, линейное по каждому аргументу.
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости

• Акслер, Шелдон (2015), Линейная алгебра, выполненная правильно , Бакалаврские тексты по математике (3-е изд.), Springer , ISBN 978-3-319-11079-0
• Бишоп, Ричард ; Голдберг, Сэмюэл (1980), «Глава 4», Тензорный анализ многообразий, Dover Publications, ISBN 0-486-64039-6
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Interscience Publishers. ISBN 0-471-60848-3. OCLC  18412261.
• Халмош, Пол Ричард (1974), Конечномерные векторные пространства , Бакалаврские тексты по математике (1958, 2-е изд.), Springer , ISBN 0-387-90093-4
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008), A (Краткое) Введение в линейную алгебру , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4419-9
• Лакс, Питер (1996), Линейная алгебра , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11111-5
• Мизнер, Чарльз В.; Торн , Кип С.; Уиллер , Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шютц, Бернард (1985), «Глава 3», Первый курс общей теории относительности , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Ту, Лоринг В. (2011), Введение в многообразия , Universitext (2-е изд.), Springer , ISBN 978-0-8218-4419-9
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.