Изображение (математика)

В математике для функции изображение входного значения — это единственное выходное значение, полученное при передаче . Прообраз выходного значения — это набор входных значений, которые производят .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle у}$

В более общем смысле, оценка каждого элемента заданного подмножества его домена создает набор, называемый « образом под (или через) ». Аналогично, обратный образ (или прообраз ) заданного подмножества кодомена — это набор всех элементов этого отображения на член${\displaystyle f}$${\displaystyle А}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle А}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Б}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Б.}$

Образ функции — это множество всех выходных значений , которые она может производить, то есть образ . Прообраз , то есть прообраз под , всегда равен ( область определения ); поэтому первое понятие используется редко.${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

Изображение и прообраз также могут быть определены для общих бинарных отношений , а не только для функций.

Algebraic structure → Group theory Group theory
Basic notions Subgroup Normal subgroup Group action Quotient group (Semi-)direct product Direct sum Free product Wreath product Group homomorphisms kernel image simple finite infinite continuous multiplicative additive cyclic abelian dihedral nilpotent solvable Glossary of group theory List of group theory topics
Finite groups Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

Слово «изображение» используется в трех связанных смыслах. В этих определениях это функция из множества в множество${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

Если является членом, то изображение под обозначением является значением , когда применяется к альтернативно известно как вывод для аргумента${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$

При заданной функции говорят, что она принимает значение или принимает в качестве значения , если существует некоторое в области определения функции, такое что Аналогично, при заданном множестве говорят, что она принимает значение в , если существует некоторое в области определения функции, такое что Однако принимает [все] значения в и имеет значение в означает, что для каждой точки в области определения .${\displaystyle y,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y.}$${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)\in S.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f(x)\in S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

Пусть будет функцией.${\displaystyle f:X\to Y}$изображение под подмножества есть множество всех для Оно обозначается или когда нет риска путаницы. Используя обозначение set-builder , это определение можно записать как ^{[1] ​​[2]}${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle a\in A.}$${\displaystyle f[A],}$${\displaystyle f(A),}$$${\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}.}$$

Это индуцирует функцию , где обозначает множество мощности множества , которое является множеством всех подмножеств Подробнее см. в разделе Обозначения ниже .${\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle S;}$${\displaystyle S.}$

Образ функции — это образ всей ее области определения , также известной как область определения функции. ^[3] Последнего употребления следует избегать, поскольку слово «область определения» также обычно используется для обозначения области определения${\displaystyle f.}$

Если — произвольное бинарное отношение , то множество называется образом или диапазоном. Двойственно, множество называется областью определения${\displaystyle R}$${\displaystyle X\times Y,}$${\displaystyle \{y\in Y:xRy{\text{ for some }}x\in X\}}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle \{x\in X:xRy{\text{ for some }}y\in Y\}}$${\displaystyle R.}$

Пусть — функция от до Прообраз или прообраз множества под обозначением — это подмножество, определяемое соотношением${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f^{-1}[B],}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}$$

Другие обозначения включают и ^[4] Обратный образ одноэлементного множества , обозначаемый как или , также называется слоем или слоем над или уровнем множества Множество всех слоев над элементами представляет собой семейство множеств, индексированных как${\displaystyle f^{-1}(B)}$${\displaystyle f^{-}(B).}$${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$${\displaystyle f^{-1}[y],}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y.}$

Например, для функции обратный образ будет Опять же, если нет риска путаницы, можно обозначить как и можно также рассматривать как функцию из множества степеней в множество степеней Обозначение не следует путать с обозначением для обратной функции , хотя оно совпадает с обычным для биекций в том, что обратный образ под является образом под${\displaystyle f(x)=x^{2},}$${\displaystyle \{4\}}$${\displaystyle \{-2,2\}.}$${\displaystyle f^{-1}[B]}$${\displaystyle f^{-1}(B),}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f^{-1}.}$

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, не различают исходную функцию от функции образа множеств ; также они не различают обратную функцию (предполагая, что она существует) от функции обратного образа (которая снова связывает множества степеней). При наличии правильного контекста это сохраняет нотацию легкой и обычно не вызывает путаницы. Но при необходимости альтернативой ^[5] является указание явных имен для образа и прообраза как функций между множествами степеней:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$

• ${\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$с${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$с${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$вместо${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$вместо${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

• Альтернативная нотация, используемая в математической логике и теории множеств, — ^{[6] [7]}${\displaystyle f[A]}$${\displaystyle f\,''A.}$
• В некоторых текстах изображение называют диапазоном ^[8], но такого использования следует избегать, поскольку слово «диапазон» также обычно используется для обозначения области значений${\displaystyle f}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f.}$

1. ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$определяется${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}$
   Образ множества под есть Образ функции есть Прообраз есть Прообраз есть также Прообраз под есть пустое множество​​​​​​${\displaystyle \{2,3\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{a,c\}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}$${\displaystyle \{a,b\}}$${\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.}$${\displaystyle \{b,d\}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}$
2. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$определяется${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$
   Образ под есть , а образ есть (множество всех положительных действительных чисел и ноль). Прообраз под есть Прообраз множества под есть пустое множество , потому что отрицательные числа не имеют квадратных корней в множестве действительных чисел.${\displaystyle \{-2,3\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \{4,9\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}$${\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}$${\displaystyle f}$
3. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$определяется${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$
   Волокна представляют собой концентрические окружности вокруг начала координат , самого начала координат и пустого множества (соответственно), в зависимости от того, (соответственно). (Если тогда волокно представляет собой множество всех удовлетворяющих уравнению , то есть окружность с центром в начале координат и радиусом )${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$${\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0}$${\displaystyle a\geq 0,}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,}$${\displaystyle {\sqrt {a}}.}$
4. Если — многообразие и — каноническая проекция из касательного расслоения на , то слои — касательные пространства Это также пример расслоения .${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi :TM\to M}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.}$
5. Факторгруппа — это гомоморфный образ .

Контрпримеры, основанные на действительных числах , определенных путем демонстрации того, что равенство, как правило, не обязательно выполняется для некоторых законов:${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$

Для каждой функции и всех подмножеств справедливы следующие свойства:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle B\subseteq Y,}$

Изображение	Прообраз
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(Y)\right)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)\subseteq B}$ (равно, если , например, является сюръективным) [9] [10]${\displaystyle B\subseteq f(X);}$${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$ (равно, если инъективно) [9] [10]${\displaystyle f}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}$	${\displaystyle \left(f\vert _{A}\right)^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(f(A))\right)=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(B)\right)\right)=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A=\varnothing }$	${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B\,{\text{ if and only if }}{\text{ there exists }}C\subseteq A{\text{ such that }}f(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\,{\text{ if and only if }}\,f(A)\subseteq B}$
${\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\,{\text{ if and only if }}\,f(A)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\,{\text{ if and only if }}\,f^{-1}(B)=X}$
${\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$[9]
${\displaystyle f\left(A\cup f^{-1}(B)\right)\subseteq f(A)\cup B}$[11]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}$[11]
${\displaystyle f\left(A\cap f^{-1}(B)\right)=f(A)\cap B}$[11]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$[11]

Также:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Для функций и с подмножествами справедливы следующие свойства:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle C\subseteq Z,}$

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Для функции и подмножеств справедливы следующие свойства:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle S,T\subseteq Y,}$

Изображение	Прообраз
${\displaystyle A\subseteq B\,{\text{ implies }}\,f(A)\subseteq f(B)}$	${\displaystyle S\subseteq T\,{\text{ implies }}\,f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)}$[11] [12]	${\displaystyle f^{-1}(S\cup T)=f^{-1}(S)\cup f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)}$[11] [12] (равно, если инъективно [13] )${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(S\cap T)=f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B)}$[11] (равно, если инъективно [13] )${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(S\setminus T)=f^{-1}(S)\setminus f^{-1}(T)}$[11]
${\displaystyle f\left(A\triangle B\right)\supseteq f(A)\triangle f(B)}$ (равно, если инъективно)${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}\left(S\triangle T\right)=f^{-1}(S)\triangle f^{-1}(T)}$

Результаты, связывающие образы и прообразы с ( булевой ) алгеброй пересечения и объединения, применимы для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$

(Здесь может быть бесконечно, даже неисчислимо бесконечно .)${\displaystyle S}$

Относительно алгебры подмножеств, описанной выше, функция обратного образа является решеточным гомоморфизмом , тогда как функция образа является лишь полурешеточным гомоморфизмом (то есть она не всегда сохраняет пересечения).

• Биекция, инъекция и сюръекция  – Свойства математических функций
• Волокно (математика)  – множество всех точек в области определения функции, которые отображаются в некоторую заданную точку.
• Изображение (теория категорий)  – термин в теории категорийPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ядро функции  – отношение эквивалентности, выражающее, что два элемента имеют одинаковое изображение под действием функции.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Инверсия множеств  – математическая задача нахождения множества, отображаемого заданной функцией в определенный диапазон.

• Артин, Майкл (1991). Алгебра . Прентис Холл. ISBN 81-203-0871-9.
• Блит, ТС (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Springer. ISBN 1-85233-905-5..
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . Нью-Джерси: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Халмош, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Университетская серия по математике для студентов младших курсов. Компания van Nostrand. ISBN 9780442030643. Збл  0087.04403.
• Келли, Джон Л. (1985). Общая топология . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.

В данной статье использованы материалы из Fibre on PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .