Ограниченный оператор
Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами

В функциональном анализе и теории операторов ограниченный линейный оператор — это линейное преобразование между топологическими векторными пространствами (TVS) , которое отображает ограниченные подмножества в ограниченные подмножества Если и являются нормированными векторными пространствами (специальный тип TVS), то ограничен тогда и только тогда, когда существует такое , что для всех Наименьшее такое называется нормой оператора и обозначается Ограниченный оператор между нормированными пространствами непрерывен , и наоборот. Л : Х → И {\displaystyle L:X\to Y} Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y} Х {\displaystyle X} И . {\displaystyle Y.} Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y} Л {\displaystyle L} М > 0 {\displaystyle М>0} х ∈ Х , {\displaystyle x\in X,} ‖ Л х ‖ И ≤ М ‖ х ‖ Х . {\displaystyle \|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.} М {\displaystyle М} Л {\displaystyle L} ‖ Л ‖ . {\displaystyle \|L\|.}

Понятие ограниченного линейного оператора было распространено с нормированных пространств на все топологические векторные пространства.

За пределами функционального анализа, когда функция называется « ограниченной », это обычно означает, что ее образ является ограниченным подмножеством ее области значений. Линейное отображение обладает этим свойством тогда и только тогда, когда оно тождественно. Следовательно, в функциональном анализе, когда линейный оператор называется «ограниченным», то он никогда не подразумевается в этом абстрактном смысле (имея ограниченный образ). ф : Х → И {\displaystyle f:X\to Y} ф ( Х ) {\displaystyle f(X)} 0. {\displaystyle 0.}

В нормированных векторных пространствах

Каждый ограниченный оператор непрерывен по Липшицу в точке 0. {\displaystyle 0.}

Эквивалентность ограниченности и непрерывности

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен .

Доказательство

Предположим, что ограничено. Тогда для всех векторов с ненулевым значением имеем Переход к нулю показывает, что непрерывен при Более того, поскольку константа не зависит от это показывает, что на самом деле равномерно непрерывен и даже липшицево непрерывен . Л {\displaystyle L} х , час ∈ Х {\displaystyle x,h\in X} час {\displaystyle ч} ‖ Л ( х + час ) − Л ( х ) ‖ = ‖ Л ( час ) ‖ ≤ М ‖ час ‖ . {\displaystyle \|L(x+h)-L(x)\|=\|L(h)\|\leq M\|h\|.} час {\displaystyle ч} Л {\displaystyle L} х . {\displaystyle х.} М {\displaystyle М} х , {\displaystyle x,} Л {\displaystyle L}

Наоборот, из непрерывности в нулевом векторе следует, что существует такой , что для всех векторов с Таким образом, для всех ненулевых имеем Это доказывает, что ограничено. ЧЭД ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ‖ Л ( час ) ‖ = ‖ Л ( час ) − Л ( 0 ) ‖ ≤ 1 {\displaystyle \|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1} час ∈ Х {\displaystyle h\in X} ‖ час ‖ ≤ ε . {\displaystyle \|h\|\leq \varepsilon .} х ∈ Х , {\displaystyle x\in X,} ‖ Л х ‖ = ‖ ‖ х ‖ ε Л ( ε х ‖ х ‖ ) ‖ = ‖ х ‖ ε ‖ Л ( ε х ‖ х ‖ ) ‖ ≤ ‖ х ‖ ε ⋅ 1 = 1 ε ‖ х ‖ . {\displaystyle \|Lx\|=\left\Vert {\|x\| \over \varepsilon }L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert ={\|x\| \over \varepsilon }\left\Vert L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert \leq {\|x\| \over \varepsilon }\cdot 1={1 \over \varepsilon }\|x\|.} Л {\displaystyle L}

В топологических векторных пространствах

Линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами (TVS) называется ограниченным линейным оператором или просто ограниченным , если всякий раз, когда ограничен в , то ограничен в Подмножество TVS называется ограниченным (или, точнее, ограниченным по фон Нейману ), если каждая окрестность начала координат поглощает его. В нормированном пространстве (и даже в полунормированном пространстве ) подмножество ограничено по фон Нейману тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме. Следовательно, для нормированных пространств понятие ограниченного по фон Нейману множества идентично обычному понятию ограниченного по норме подмножества. Ф : Х → И {\displaystyle F:X\to Y} Б ⊆ Х {\displaystyle B\subseteq X} Х {\displaystyle X} Ф ( Б ) {\displaystyle F(B)} И . {\displaystyle Y.}

Непрерывность и ограниченность

Каждый последовательно непрерывный линейный оператор между TVS является ограниченным оператором. [1] Это подразумевает, что каждый непрерывный линейный оператор между метризуемыми TVS является ограниченным. Однако, в общем случае, ограниченный линейный оператор между двумя TVS не обязан быть непрерывным.

Эта формулировка позволяет определить ограниченные операторы между общими топологическими векторными пространствами как оператор, который переводит ограниченные множества в ограниченные множества. В этом контексте все еще верно, что каждое непрерывное отображение ограничено, однако обратное неверно; ограниченный оператор не обязан быть непрерывным. Это также означает, что ограниченность больше не эквивалентна непрерывности Липшица в этом контексте.

Если область является борнологическим пространством (например, псевдометризуемым TVS , пространством Фреше , нормированным пространством ), то линейный оператор в любые другие локально выпуклые пространства ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Для пространств LF имеет место более слабое обратное утверждение; любое ограниченное линейное отображение из пространства LF является последовательно непрерывным .

Если — линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами и если существует окрестность начала координат в такая, что — ограниченное подмножество, то является непрерывным. [2] Этот факт часто обобщают, говоря, что линейный оператор, ограниченный в некоторой окрестности начала координат, обязательно непрерывен. В частности, любой линейный функционал, ограниченный в некоторой окрестности начала координат, является непрерывным (даже если его область определения не является нормированным пространством ). Ф : Х → И {\displaystyle F:X\to Y} У {\displaystyle U} Х {\displaystyle X} Ф ( У ) {\displaystyle F(U)} И , {\displaystyle Y,} Ф {\displaystyle F}

Борнологические пространства

Борнологические пространства — это в точности те локально выпуклые пространства, для которых каждый ограниченный линейный оператор в другое локально выпуклое пространство обязательно непрерывен. То есть локально выпуклое TVS является борнологическим пространством тогда и только тогда, когда для каждого локально выпуклого TVS линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. [3] Х {\displaystyle X} И , {\displaystyle Y,} Ф : Х → И {\displaystyle F:X\to Y}

Каждое нормированное пространство является борнологическим.

Характеристика ограниченных линейных операторов

Пусть — линейный оператор между топологическими векторными пространствами (не обязательно Хаусдорфовыми). Следующие операторы эквивалентны: Ф : Х → И {\displaystyle F:X\to Y}

  1. Ф {\displaystyle F} (локально) ограничен; [3]
  2. (Определение): отображает ограниченные подмножества своей области в ограниченные подмножества своей области значений; [3] Ф {\displaystyle F}
  3. Ф {\displaystyle F} отображает ограниченные подмножества своей области в ограниченные подмножества своего изображения ; [3] Я ⁡ Ф := Ф ( Х ) {\displaystyle \operatorname {Im} F:=F(X)}
  4. Ф {\displaystyle F} отображает каждую нулевую последовательность в ограниченную последовательность; [3]
    • Нулевая последовательность по определению — это последовательность, которая сходится к началу координат.
    • Таким образом, любое линейное отображение, которое последовательно непрерывно в начале координат, обязательно является ограниченным линейным отображением.
  5. Ф {\displaystyle F} отображает каждую сходящуюся нулевую последовательность Макки в ограниченное подмножество [примечание 1] И . {\displaystyle Y.}
    • Говорят, что последовательность сходится по Макки к началу координат , если существует расходящаяся последовательность положительных действительных чисел, такая, что является ограниченным подмножеством х ∙ = ( х я ) я = 1 ∞ {\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} Х {\displaystyle X} г ∙ = ( г я ) я = 1 ∞ → ∞ {\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty } г ∙ = ( г я х я ) я = 1 ∞ {\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} Х . {\displaystyle X.}

если и локально выпуклы , то к этому списку можно добавить следующее: Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y}

  1. Ф {\displaystyle F} отображает ограниченные диски в ограниченные диски. [4]
  2. Ф − 1 {\displaystyle F^{-1}} отображает диски, питающиеся пищей , в диски, питающиеся пищей, в [4] И {\displaystyle Y} Х . {\displaystyle X.}

если является борнологическим пространством и локально выпукло, то к этому списку можно добавить следующее: Х {\displaystyle X} И {\displaystyle Y}

  1. Ф {\displaystyle F} последовательно непрерывна в некоторой (или, что эквивалентно, в каждой) точке своей области определения. [5]
    • Последовательно непрерывное линейное отображение между двумя TVS всегда ограничено [1], но для справедливости обратного требуются дополнительные предположения (например, что область является борнологической, а кодоменом является локально выпуклая).
    • Если домен также является последовательным пространством , то он является последовательно непрерывным тогда и только тогда, когда он непрерывен. Х {\displaystyle X} Ф {\displaystyle F}
  2. Ф {\displaystyle F} последовательно непрерывен в начале координат .

Примеры

  • Любой линейный оператор между двумя конечномерными нормированными пространствами ограничен, и такой оператор можно рассматривать как умножение на некоторую фиксированную матрицу .
  • Любой линейный оператор, определенный на конечномерном нормированном пространстве, ограничен.
  • На пространстве последовательностей , в конечном счете равных нулю последовательностей действительных чисел, рассматриваемом с нормой, линейный оператор действительных чисел, возвращающий сумму последовательности, ограничен с нормой оператора 1. Если же то же самое пространство рассматривается с нормой , тот же самый оператор не ограничен. с 00 {\displaystyle c_{00}} ℓ 1 {\displaystyle \ell ^{1}} ℓ ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }}
  • Многие интегральные преобразования являются ограниченными линейными операторами. Например, если — непрерывная функция, то оператор, определенный на пространстве непрерывных функций на , снабженном равномерной нормой и со значениями в пространстве с , заданными формулой , ограничен. Этот оператор на самом деле является компактным оператором . Компактные операторы образуют важный класс ограниченных операторов. К : [ а , б ] × [ с , г ] → Р {\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} } Л {\displaystyle L} С [ а , б ] {\displaystyle C[a,b]} [ а , б ] {\displaystyle [а,б]} С [ с , г ] {\displaystyle C[c,d]} Л {\displaystyle L} ( Л ф ) ( у ) = ∫ а б К ( х , у ) ф ( х ) г х , {\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,}
  • Оператор Лапласа (его область определения — пространство Соболева , и он принимает значения в пространстве квадратично интегрируемых функций ) ограничен. Δ : ЧАС 2 ( Р н ) → Л 2 ( Р н ) {\displaystyle \Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,}
  • Оператор сдвига в пространстве Lp всех последовательностей действительных чисел с ограничен. Его операторная норма, как легко видеть, равна ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} ( х 0 , х 1 , х 2 , … ) {\displaystyle \left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)} x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + ⋯ < ∞ , {\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,} L ( x 0 , x 1 , x 2 , … ) = ( 0 , x 0 , x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)} 1. {\displaystyle 1.}

Неограниченные линейные операторы

Пусть — пространство всех тригонометрических полиномов с нормой X {\displaystyle X} [ − π , π ] , {\displaystyle [-\pi ,\pi ],}

‖ P ‖ = ∫ − π π | P ( x ) | d x . {\displaystyle \|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.}

Оператор , отображающий многочлен в его производную, не ограничен. Действительно, для с мы имеем в то время как так не ограничен. L : X → X {\displaystyle L:X\to X} v n = e i n x {\displaystyle v_{n}=e^{inx}} n = 1 , 2 , … , {\displaystyle n=1,2,\ldots ,} ‖ v n ‖ = 2 π , {\displaystyle \|v_{n}\|=2\pi ,} ‖ L ( v n ) ‖ = 2 π n → ∞ {\displaystyle \|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty } n → ∞ , {\displaystyle n\to \infty ,} L {\displaystyle L}

Свойства пространства ограниченных линейных операторов

Пространство всех ограниченных линейных операторов из в обозначается через . X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} B ( X , Y ) {\displaystyle B(X,Y)}

  • B ( X , Y ) {\displaystyle B(X,Y)} — нормированное векторное пространство.
  • Если является банаховым, то и ; в частности, двойственные пространства являются банаховыми. Y {\displaystyle Y} B ( X , Y ) {\displaystyle B(X,Y)}
  • Для любого ядро ​​является замкнутым линейным подпространством . A ∈ B ( X , Y ) {\displaystyle A\in B(X,Y)} A {\displaystyle A} X {\displaystyle X}
  • Если является банаховым и нетривиальным, то является банаховым. B ( X , Y ) {\displaystyle B(X,Y)} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Доказательство: Предположим ради противоречия , что сходится к , но не ограничено в Выберите открытую сбалансированную окрестность начала отсчета в , которая не поглощает последовательность Заменяя подпоследовательностью, если необходимо, можно предположить без потери общности, что для каждого положительного целого числа Последовательность сходится по Макки к началу отсчета (так как ограничено в ), поэтому по предположению ограничено в Так что выберите действительное число , такое что для каждого целого числа Если это целое число, то так как сбалансировано, что является противоречием. QED Это доказательство легко обобщается, чтобы дать еще более сильные характеристики " ограничено". Например, слово "такое, что является ограниченным подмножеством " в определении "Макки, сходящегося к началу отсчета" можно заменить на "такое, что в " x ∙ = ( x i ) i = 1 ∞ {\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} 0 {\displaystyle 0} F ( x ∙ ) = ( F ( x i ) ) i = 1 ∞ {\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }} Y . {\displaystyle Y.} V {\displaystyle V} Y {\displaystyle Y} V {\displaystyle V} F ( x ∙ ) . {\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right).} x ∙ {\displaystyle x_{\bullet }} F ( x i ) ∉ i 2 V {\displaystyle F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V} i . {\displaystyle i.} z ∙ := ( x i / i ) i = 1 ∞ {\displaystyle z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }} ( i z i ) i = 1 ∞ = ( x i ) i = 1 ∞ → 0 {\displaystyle \left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0} X {\displaystyle X} F ( z ∙ ) = ( F ( z i ) ) i = 1 ∞ {\displaystyle F\left(z_{\bullet }\right)=\left(F\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }} Y . {\displaystyle Y.} r > 1 {\displaystyle r>1} F ( z i ) ∈ r V {\displaystyle F\left(z_{i}\right)\in rV} i . {\displaystyle i.} i > r {\displaystyle i>r} V {\displaystyle V} F ( x i ) ∈ r i V ⊆ i 2 V , {\displaystyle F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,} F {\displaystyle F} ( r i x i ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} X . {\displaystyle X.} ( r i x i ) i = 1 ∞ → 0 {\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0} X . {\displaystyle X.}
  1. ^ ab Wilansky 2013, стр. 47–50.
  2. ^ Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 156–175.
  3. ^ abcde Narici & Beckenstein 2011, стр. 441–457.
  4. ^ ab Narici & Beckenstein 2011, стр. 444.
  5. ^ Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 451–457.

Библиография

  • «Ограниченный оператор», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Крейциг, Эрвин: Вводный функциональный анализ с приложениями , Wiley, 1989
  • Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
  • Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bounded_operator&oldid=1234843552"