Соединение политопа

В геометрии многогранное соединение — это фигура, составленная из нескольких многогранников, имеющих общий центр . Они являются трехмерными аналогами многоугольных соединений , таких как гексаграмма .

Внешние вершины соединения могут быть соединены, образуя выпуклый многогранник, называемый его выпуклой оболочкой . Соединение является огранкой его выпуклой оболочки. ^{[ необходима цитата ]}

Другой выпуклый многогранник образован малым центральным пространством, общим для всех членов соединения. Этот многогранник может быть использован в качестве ядра для набора звездчатых форм .

Фактическая точность этого раздела оспаривается . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите обеспечить, чтобы спорные утверждения были получены из надежных источников . ( Ноябрь 2023 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Правильное многогранное соединение можно определить как соединение, которое, подобно правильному многограннику , является вершинно-транзитивным , реберно-транзитивным и гране-транзитивным . В отличие от случая многогранников, это не эквивалентно группе симметрии , действующей транзитивно на его флагах ; соединение двух тетраэдров является единственным правильным соединением с этим свойством. Существует пять правильных соединений многогранников:

Регулярное соединение (символ Коксетера)	Картина	Сферический	Выпуклая оболочка	Общее ядро	Группа симметрии	Подгруппа, ограничивающаяся одним компонентом	Двойное регулярное соединение
Два тетраэдра {4,3}[2{3,3}]{3,4}			Куб [1]	Октаэдр	*432 [4,3] О ч	*332 [3,3] Т д	Два тетраэдра
Пять тетраэдров {5,3}[5{3,3}]{3,5}			Додекаэдр [1]	Икосаэдр [1]	532 [5,3] + Я	332 [3,3] + Т	Хиральный близнец (Энантиоморф)
Десять тетраэдров 2{5,3}[10{3,3}]2{3,5}			Додекаэдр [1]	Икосаэдр	*532 [5,3] I ч	332 [3,3] Т	Десять тетраэдров
Пять кубиков 2{5,3}[5{4,3}]			Додекаэдр [1]	Ромбический триаконтаэдр [1]	*532 [5,3] I ч	3*2 [3,3 ] Ч	Пять октаэдров
Пять октаэдров [5{3,4}]2{3,5}			Икосододекаэдр [1]	Икосаэдр [1]	*532 [5,3] I ч	3*2 [3,3 ] Ч	Пять кубиков

Наиболее известно правильное соединение двух тетраэдров , часто называемое stella octangula , название, данное ему Кеплером . Вершины двух тетраэдров определяют куб , а пересечение этих двух определяет правильный октаэдр , который имеет те же грани, что и соединение. Таким образом, соединение двух тетраэдров является звёздчатой ​​формой октаэдра и, по сути, единственной его конечной звёздчатой ​​формой.

Правильное соединение пяти тетраэдров существует в двух энантиоморфных версиях, которые вместе составляют правильное соединение десяти тетраэдров. ^[1] Правильное соединение десяти тетраэдров можно также рассматривать как соединение пяти звездчатых восьмиугольников. ^[1]

Каждое из правильных тетраэдрических соединений является самодвойственным или двойственным своему хиральному близнецу; правильное соединение пяти кубов и правильное соединение пяти октаэдров являются двойственными друг другу.

Следовательно, правильные многогранные соединения можно также рассматривать как двойственно-правильные соединения .

Обозначение Коксетера для регулярных соединений приведено в таблице выше, включая символы Шлефли . Материал внутри квадратных скобок, [ d { p , q }], обозначает компоненты соединения: d разделяют { p , q }. Материал перед квадратными скобками обозначает расположение вершин соединения: c { m , n }[ d { p , q }] — это соединение d { p , q }, разделяющих вершины { m , n }, подсчитанное c раз. Материал после квадратных скобок обозначает расположение граней соединения: [ d { p , q }] e { s , t } — это соединение d { p , q }, разделяющих грани { s , t }, подсчитанное e раз. Их можно объединить: таким образом, c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t } является соединением d { p , q }, разделяющим вершины { m , n }, подсчитанные c раз, и грани { s , t }, подсчитанные e раз. Это обозначение можно обобщить на соединения в любом количестве измерений. ^[2]

Двойственное соединение состоит из многогранника и его двойственного, расположенных взаимно вокруг общей средней сферы , так что ребро одного многогранника пересекает двойственное ребро двойственного многогранника. Существует пять двойственных соединений правильных многогранников.

Ядро — это выпрямление обоих тел. Оболочка — это двойственность этого выпрямления, и ее ромбические грани имеют пересекающиеся ребра двух тел в качестве диагоналей (и имеют четыре их чередующиеся вершины). Для выпуклых тел это выпуклая оболочка .

Двойной состав	Картина	Халл	Основной	Группа симметрии
Два тетраэдра ( Соединение двух тетраэдров , звездчатый октаэдр )		Куб	Октаэдр	*432 [4,3] О ч
Куб и октаэдр ( Соединение куба и октаэдра )		Ромбический додекаэдр	Кубооктаэдр	*432 [4,3] О ч
Додекаэдр и икосаэдр ( Соединение додекаэдра и икосаэдра )		Ромбический триаконтаэдр	Икосододекаэдр	*532 [5,3] I ч
Малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр ( соединение sD и gD )		Медиальный ромбический триаконтаэдр (Выпуклый: Икосаэдр )	Додекадодекаэдр (Выпуклый: Додекаэдр )	*532 [5,3] I ч
Большой икосаэдр и большой звездчатый додекаэдр ( соединение gI и gsD )		Большой ромбический триаконтаэдр (Выпуклый: Додекаэдр )	Большой икосододекаэдр (Выпуклый: Икосододекаэдр )	*532 [5,3] I ч

Тетраэдр самодвойственен, поэтому двойственное соединение тетраэдра с его двойственным является правильным звездчатым октаэдром .

Октаэдрическое и икосаэдрическое двойные соединения являются первыми звёздчатыми формами кубооктаэдра и икосододекаэдра соответственно .

Малое звездчатое додекаэдрическое (или большое додекаэдрическое) двойное соединение имеет большой додекаэдр, полностью расположенный внутри малого звездчатого додекаэдра. ^[3]

В 1976 году Джон Скиллинг опубликовал книгу «Однородные соединения однородных многогранников» , в которой перечислены 75 соединений (включая 6 как бесконечные призматические наборы соединений, №№ 20–25), образованных из однородных многогранников с вращательной симметрией. (Каждая вершина является вершинно-транзитивной , и каждая вершина транзитивна с любой другой вершиной.) Этот список включает пять правильных соединений, указанных выше. [1]

75 однородных соединений перечислены в таблице ниже. Большинство из них показаны окрашенными по отдельности каждым элементом полиэдра. Некоторые хиральные пары групп граней окрашены симметрией граней внутри каждого полиэдра.

• 1-19: Разное (4,5,6,9,17 — 5 правильных соединений )

• 20-25: Симметрия призмы, встроенная в симметрию призмы ,

• 26-45: Симметрия призмы, встроенная в октаэдрическую или икосаэдрическую симметрию ,

• 46-67: Тетраэдрическая симметрия, встроенная в октаэдрическую или икосаэдрическую симметрию,

• 68-75: энантиоморфные пары

Соединение четырех кубов (слева) не является ни правильным соединением, ни дуальным соединением, ни однородным соединением. Его дуальное, соединение четырех октаэдров (справа), является однородным соединением.

• Соединение трех октаэдров
• Соединение четырех кубов

Два многогранника, которые являются соединениями, но их элементы жестко зафиксированы на месте, — это малый сложный икосододекаэдр (соединение икосаэдра и большого додекаэдра ) и большой сложный икосододекаэдр (соединение малого звездчатого додекаэдра и большого икосаэдра ). Если обобщить определение однородного многогранника , то они однородны.

Раздел для пар энантиоморфов в списке Скиллинга не содержит соединения двух больших плосконосых додеко-икосододекаэдров , поскольку грани пентаграммы совпали бы. Удаление совпадающих граней приводит к соединению двадцати октаэдров .

Ортогональные проекции

75 {4,3,3}	75 {3,3,4}

В 4-мерном пространстве существует большое количество правильных соединений правильных многогранников. Коксетер перечисляет несколько из них в своей книге «Правильные многогранники» . ^[4] МакМаллен добавил шесть в своей статье « Новые правильные соединения 4-многогранников» . ^[5]

Самодуалы:

Двойные пары:

Однородные соединения и двойственные с выпуклыми 4-мерными многогранниками:

Верхний индекс (var) в таблицах выше указывает на то, что маркированные соединения отличаются от других соединений с таким же количеством компонентов.

Самодвойные звездные соединения:

Двойные пары сложных звезд:

Однородные составные звезды и двойные :

Двойные позиции:

В терминах теории групп , если G — группа симметрии полиэдрального соединения, и группа действует транзитивно на полиэдры (так что каждый полиэдр может быть отправлен в любой из других, как в однородных соединениях), то если H — стабилизатор одного выбранного полиэдра, полиэдры можно отождествить с орбитальным пространством G / H — ​​смежный класс gH соответствует тому, в какой полиэдр g отправляет выбранный полиэдр.

Существует восемнадцать двухпараметрических семейств правильных составных мозаик евклидовой плоскости. В гиперболической плоскости известны пять однопараметрических семейств и семнадцать отдельных случаев, но полнота этого списка не была перечислена.

Евклидовы и гиперболические составные семейства 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p — целое число) аналогичны сферической звезде октагонгуле 2 {3,3}.

Несколько примеров евклидовых и гиперболических регулярных соединений

Самодвойственный	Двойные		Самодвойственный
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}

Известное семейство регулярных евклидовых составных сот в любом количестве измерений представляет собой бесконечное семейство соединений гиперкубических сот , все из которых имеют общие вершины и грани с другими гиперкубическими сотами. Это соединение может иметь любое количество гиперкубических сот.

Существуют также дуально-правильные соединения мозаики. Простым примером является соединение E ² шестиугольной мозаики и ее дуальной треугольной мозаики , которая имеет общие ребра с дельтовидной тригексагональной мозаикой . Евклидовы соединения двух гиперкубических сот являются как правильными, так и дуально-правильными.

• Список соединений правильных многогранников

• MathWorld: Соединение многогранников
• Составные многогранники – из Virtual Reality Polyhedra
  • Однородные соединения однородных многогранников
• 75 однородных соединений однородных многогранников Скиллинга
• Однородные соединения однородных многогранников Скиллинга
• Полиэдральные соединения
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• Соединение малого звёздчатого додекаэдра и большого додекаэдра {5/2,5}+{5,5/2}
• Клитцинг, Ричард. «Составные многогранники».

• Скиллинг, Джон (1976), «Однородные соединения однородных многогранников», Математические труды Кембриджского философского общества , 79 (3): 447– 457, Bibcode : 1976MPCPS..79..447S, doi : 10.1017/S0305004100052440, MR  0397554, S2CID  123279687.
• Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники , Кембридж{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ).
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Кембридж, Англия: Cambridge University Press, стр.  51–53.
• Харман, Майкл Г. (1974), Полиэдральные соединения, неопубликованная рукопись.
• Гесс, Эдмунд (1876), «Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder», Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg , 11 : 5–97.
• Пачоли, Лука (1509), De Divina Proportione.
• Правильные многогранники , (3-е издание, 1973), издание Дувра, ISBN 0-486-61480-8 
• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7.стр. 87 Пять правильных соединений
• МакМаллен, Питер (2018), «Новые регулярные соединения 4-многогранников», Новые тенденции в интуитивной геометрии , Математические исследования общества Бойяи, т. 27, стр.  307–320 , doi :10.1007/978-3-662-57413-3_12, ISBN 978-3-662-57412-6.