элемент Кокстера

Понятие в геометрии

В математике элемент Коксетера — это элемент неприводимой группы Коксетера , которая является произведением всех простых отражений. Произведение зависит от порядка, в котором они берутся, но различные упорядочения производят сопряженные элементы, которые имеют тот же порядок . Этот порядок известен как число Коксетера . Они названы в честь британо-канадского геометра Х. С. М. Коксетера , который ввел эти группы в 1934 году как абстракции групп отражений . ^[1]

Определения

Обратите внимание, что в этой статье предполагается конечная группа Коксетера . Для бесконечных групп Коксетера существует несколько классов сопряженности элементов Коксетера, и они имеют бесконечный порядок.

Существует много различных способов определения числа Кокстера $h$ неприводимой корневой системы.

Число Кокстера — это порядок любого элемента Кокстера; .
Число Кокстера равно ⁠ ⁠, ${\tfrac {2m}{n}},$ где $n$ — ранг, а $m$ — число отражений. В кристаллографическом случае $m$ — половина числа корней ; а $2 m + n$ — размерность соответствующей полупростой алгебры Ли .
Если наибольший корень — для простых корней $α$ $i$ , то число Кокстера равно $\sum m_{i}\alpha _{i}$ $1+\sum m_{i}.$
Число Кокстера — это высшая степень фундаментального инварианта группы Кокстера, действующей на многочлены.

Число Кокстера для каждого типа Динкина приведено в следующей таблице:

Группа Коксетера		Диаграмма Коксетера	Диаграмма Дынкина	Размышления ^[2] $m={\tfrac {nh}{2}}$	Число Кокстера $h$	Двойное число Кокстера	Степени фундаментальных инвариантов
$А н$	$[3,3...,3]$	...	...	${\frac {n(n+1)}{2}}$	$н + 1$	$н + 1$	$2, 3, 4, ..., n + 1$
$Б н$	$[4,3...,3]$	...	...	$н 2$	$2 н$	$2 н - 1$	$2, 4, 6, ..., 2 н$
$С н$	$[4,3...,3]$	...	...	$н 2$	$2 н$	$н + 1$	$2, 4, 6, ..., 2 н$
$Д н$	$[3,3,...3 1,1]$	...	...	$н (н - 1)$	$2 н - 2$	$2 н - 2$	$п; 2, 4, 6, ..., 2 п - 2$
$Е 6$	$[3 2,2,1]$			$36$	$12$	$12$	$2, 5, 6, 8, 9, 12$
$Е 7$	$[3 3,2,1]$			$63$	$18$	$18$	$2, 6, 8, 10, 12, 14, 18$
$Е 8$	$[3 4,2,1]$			$120$	$30$	$30$	$2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30$
$Ф 4$	$[3,4,3]$			$24$	$12$	$9$	$2, 6, 8, 12$
$Г 2$	$[6]$			$6$	$6$	$4$	$2, 6$
$Н 3$	$[5,3]$		-	$15$	$10$		$2, 6, 10$
$Н 4$	$[5,3,3]$		-	$60$	$30$		$2, 12, 20, 30$
$Я 2 (п)$	$[п]$		-	$п$	$п$		$2, стр.$

Инварианты группы Коксетера, действующие на многочлены, образуют многочленную алгебру, генераторами которой являются фундаментальные инварианты; их степени приведены в таблице выше. Обратите внимание, что если $m$ — степень фундаментального инварианта, то $h + 2 - m$ тоже .

Собственные значения элемента Коксетера — это числа , когда $m$ пробегает степени фундаментальных инвариантов. Поскольку это начинается с $m$ $= 2$ , они включают примитивный корень $h-$ й степени из единицы , который важен в плоскости Коксетера, ниже. $e^{2\pi i{\frac {m-1}{h}}}$ $\zeta _{h}=e^{2\pi i{\frac {1}{h}}},$

Двойственное число Кокстера равно 1 плюс сумма коэффициентов простых корней в наибольшем коротком корне двойственной корневой системы .

Групповой заказ

Существуют соотношения между порядком $g$ группы Коксетера и числом Коксетера $h$ : ^[3] ${\begin{aligned}{}[p]:&\quad {\frac {2h}{g_{p}}}=1\\[4pt][p,q]:&\quad {\frac {8}{g_{p,q}}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2}{q}}-1\\[4pt][p,q,r]:&\quad {\frac {64h}{g_{p,q,r}}}=12-p-2q-r+{\frac {4}{p}}+{\frac {4}{r}}\\[4pt][p,q,r,s]:&\quad {\frac {16}{g_{p,q,r,s}}}={\frac {8}{g_{p,q,r}}}+{\frac {8}{g_{q,r,s}}}+{\frac {2}{ps}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}+1\\[4pt]\vdots \qquad &\qquad \vdots \end{align}}$

Например, $[3,3,5]$ имеет $h = 30$ : ${\begin{aligned}&{\frac {64\times 30}{g_{3,3,5}}}=12-3-6-5+{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}={\frac {2}{15}},\\[4pt]&\therefore g_{3,3,5}={\frac {1920\times 15}{2}}=960\times 15=14400.\end{aligned}}$

элементы Кокстера

Отдельные элементы Коксетера соответствуют ориентациям диаграммы Коксетера (т. е. колчанам Дынкина ): простые отражения, соответствующие исходным вершинам, записываются первыми, вершины, расположенные ниже по течению, — позже, а стоки — последними. (Выбор порядка среди несмежных вершин не имеет значения, поскольку они соответствуют коммутирующим отражениям.) Особым выбором является чередующаяся ориентация, в которой простые отражения разбиваются на два набора несмежных вершин, и все ребра ориентированы от первого ко второму набору. ^[4] Чередующаяся ориентация создает специальный элемент Коксетера $w,$ удовлетворяющий условию , где $w$ $0$ — самый длинный элемент , при условии, что число Коксетера $h$ четное. $w^{h/2}=w_{0},$

Для симметрической группы из $n$ элементов элементы Кокстера — это определенные $n$ -циклы: произведение простых отражений — элемент Кокстера . ^[5] Для четного $n$ элемент Кокстера с чередующейся ориентацией равен: Среди $n$ -циклов имеются различные элементы Кокстера . $A_{n-1}\cong S_{n},$ $(1,2)(2,3)\cdots (n-1,n)$ $(1,2,3,\dots ,n)$ $(1,2)(3,4)\cdots (2,3)(4,5)\cdots =(2,4,6,\ldots ,n{-}2,n,n{-}1,n{-}3,\ldots ,5,3,1).$ $2^{n-2}$ $(n{-}1)!$

Группа диэдра $Dih p$ образуется двумя отражениями, которые образуют угол , и, таким образом, два элемента Кокстера являются их произведением в любом порядке, что является поворотом на ${\tfrac {2\pi }{2p}},$ $\pm {\tfrac {2\pi }{p}}.$

самолет Коксетера

Проекция корневой системы $E 8$ на плоскость Коксетера, демонстрирующая 30-кратную симметрию.

Для заданного элемента Коксетера $w$ существует единственная плоскость $P$ , на которой $w$ действует путем вращения на ⁠ ⁠ ${\tfrac {2\pi }{h}}.$ Это называется плоскостью Коксетера ^[6] и является плоскостью, на которой $P$ имеет собственные значения и ^[7]. Эта плоскость была впервые систематически изучена в (Coxeter 1948), ^[8] и впоследствии использована в (Steinberg 1959) для предоставления единообразных доказательств свойств элементов Коксетера. ^[8] $e^{2\pi i{\frac {1}{h}}}$ $e^{-2\pi i{\frac {1}{h}}}=e^{2\pi i{\frac {h-1}{h}}}.$

Плоскость Коксетера часто используется для рисования диаграмм многомерных многогранников и корневых систем — вершины и ребра многогранника или корни (и некоторые ребра, соединяющие их) ортогонально проецируются на плоскость Коксетера, давая многоугольник Петри с $h$ -кратной вращательной симметрией. ^[9] Для корневых систем ни один корень не отображается в ноль, что соответствует элементу Коксетера, не фиксирующему какой-либо корень или, скорее, ось (не имеющему собственного значения 1 или −1), поэтому проекции орбит под $w$ образуют $h$ -кратные круговые конфигурации ^[9] и есть пустой центр, как на диаграмме $E 8$ справа вверху. Для многогранников вершина может отображаться в ноль, как показано ниже. Проекции на плоскость Коксетера изображены ниже для Платоновых тел .

В трех измерениях симметрия правильного многогранника , ${p, q},$ с одним направленным многоугольником Петри, обозначенным, определяемым как композиция из 3 отражений, имеет $симметрию$ ротоинверсии Sh $,$ [ $2+, h +],$ порядка $h$ . Добавив зеркало, симметрию можно удвоить до антипризматической симметрии, $Dh d$ , $[2+, h],$ порядка $2 h . В ортогональной 2D$ $-$ проекции это становится диэдральной симметрией , $Dih h$ , $[h]$ , порядка $2 h$ .

Группа Коксетера	$А 3 Т д$	$Б 3 О ч$		$Н 3 Я ч$
Правильный многогранник	Тетраэдр ${3,3}$	Куб ${4,3}$	Октаэдр ${3,4}$	Додекаэдр ${5,3}$	Икосаэдр ${3,5}$
Симметрия	$С 4, [2 +,4 +], (2\times) Д 2d, [2 +,4], (2*2)$	$S 6, [2 +,6 +], (3\times) D 3d, [2 +,6], (2*3)$		$С 10, [2 +,10 +], (5\times) Д 5д, [2 +,10], (2*5)$
Симметрия плоскости Кокстера	$Дих 4, [4], (*4•)$	$Дих 6, [6], (*6•)$		$Дих 10, [10], (*10•)$
Многоугольники Петри Платоновых тел, демонстрирующие 4-кратную, 6-кратную и 10-кратную симметрию.

В четырех измерениях симметрия правильного полихорона , ${p, q, r},$ с одним направленным многоугольником Петри, отмеченным , представляет собой двойной поворот , определяемый как композиция из 4 отражений, с симметрией $+ 1 / h [C h \timesC h]$ ^[10] ( Джон Х. Конвей ), $(C 2h /C 1;C 2h /C 1)$ (#1', Патрик дю Валь (1964) ^[11] ), порядок $h$ .

Группа Коксетера	$А 4$	$Б 4$		$Ф 4$	$Н 4$
Регулярный полихорон	5-клеточный ${3,3,3}$	16-ячеечный ${3,3,4}$	Тессеракт ${4,3,3}$	24-ячеечный ${3,4,3}$	120-ячеечный ${5,3,3}$	600-ячеечный ${3,3,5}$
Симметрия	$+ 1 / 5 [С 5 \timesС 5]$	$+ 1 / 8 [С 8 \timesС 8]$		$+ 1 / 12 [С 12 \timesС 12]$	$+ 1 / 30 [С 30 \timesС 30]$
Симметрия плоскости Кокстера	$Дих 5, [5], (*5•)$	$Дих 8, [8], (*8•)$		$Дих 12, [12], (*12•)$	$Дих 30, [30], (*30•)$
Многоугольники Петри правильных четырехмерных тел, демонстрирующие 5-кратную, 8-кратную, 12-кратную и 30-кратную симметрию.

В пяти измерениях симметрия правильного 5-мерного многогранника { $p, q, r, s} с$ одним обозначенным направленным многоугольником Петри представлена композицией 5 отражений.

Группа Коксетера	$А 5$	$Б 5$		$Д 5$
Регулярный политерон	5-симплекс ${3,3,3,3}$	5-ортоплекс ${3,3,3,4}$	5-куб ${4,3,3,3}$	5-демикуб $h{4,3,3,3}$
Симметрия плоскости Кокстера	$Дих 6, [6], (*6•)$	$Дих 10, [10], (*10•)$		$Дих 8, [8], (*8•)$

В размерностях от 6 до 8 имеются 3 исключительные группы Коксетера; один однородный многогранник из каждой размерности представляет корни исключительных групп Ли $En$ $.$ Элементы Коксетера равны 12, 18 и 30 соответственно.

Группы Е
Группа Коксетера	$Е 6$	$Е 7$	$Е 8$
График	1 ₂₂	2 ₃₁	4 ₂₁
Симметрия плоскости Кокстера	$Дих 12, [12], (*12•)$	$Дих 18, [18], (*18•)$	$Дих 30, [30], (*30•)$

Смотрите также

Самый длинный элемент группы Коксетера

Примечания

^ Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Чандлер Дэвис; Эрлих В. Эллерс (2006), Наследие Коксетера: размышления и проекции, AMS Bookstore, стр. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1
^ Коксетер , Правильные многогранники , §12.6 Число отражений, уравнение 12.61
^ Правильные многогранники, стр. 233
^ Джордж Люстиг, Введение в квантовые группы , Биркхаузер (2010)
^ (Хамфрис 1992, стр. 75)
^ Самолеты Коксетера, архив 2018-02-10 на Wayback Machine и другие самолеты Коксетера, архив 2017-08-21 на Wayback Machine Джон Стембридж
^ (Хамфрис 1992, Раздел 3.17, «Действие на плоскости», стр. 76–78)
^ ab (Reading 2010, стр. 2)
^ ab (Стембридж 2007)
^ О кватернионах и октонионах , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит ISBN 978-1-56881-134-5
^ Патрик Дю Валь, Гомографии, кватернионы и вращения , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press , Оксфорд , 1964.

Ссылки

Коксетер, HSM (1948), Правильные многогранники , Метуэн и Ко.
Steinberg, R. (июнь 1959), «Конечные группы отражений», Transactions of the American Mathematical Society , 91 (3): 493–504, doi : 10.1090/S0002-9947-1959-0106428-2 , ISSN 0002-9947, JSTOR 1993261
Хиллер, Говард Геометрия групп Коксетера. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Бостон, Массачусетс-Лондон, 1982. iv+213 стр. ISBN 0-273-08517-4
Хамфрис, Джеймс Э. (1992), Группы отражения и группы Коксетера, Cambridge University Press , стр. 74–76 (Раздел 3.16, Элементы Коксетера ), ISBN 978-0-521-43613-7
Stembridge, John (9 апреля 2007 г.), Coxeter Planes, архивировано из оригинала 10 февраля 2018 г. , извлечено 21 апреля 2010 г.
Стекольщик, Р. (2008), Заметки о преобразованиях Кокстера и переписке Маккея , Springer Monographs in Mathematics, arXiv : math/0510216 , doi :10.1007/978-3-540-77399-3, ISBN 978-3-540-77398-6, S2CID 117958873
Ридинг, Натан (2010), «Непересекающиеся разбиения, кластеры и плоскость Кокстера», Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B63b : 32
Бернштейн, ИН; Гельфанд, ИМ; Пономарев, ВА, "Функторы Кокстера и теорема Габриэля", Успехи математических наук 28 (1973), № 2(170), 19–33. Перевод на сайте Бернштейна.

[1] Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Чандлер Дэвис; Эрлих В. Эллерс (2006), Наследие Коксетера: размышления и проекции, AMS Bookstore, стр. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1

[2] Коксетер , Правильные многогранники , §12.6 Число отражений, уравнение 12.61

[3] Правильные многогранники, стр. 233

[4] Джордж Люстиг, Введение в квантовые группы , Биркхаузер (2010)

[5] (Хамфрис 1992, стр. 75)

[6] Самолеты Коксетера, архив 2018-02-10 на Wayback Machine и другие самолеты Коксетера, архив 2017-08-21 на Wayback Machine Джон Стембридж

[7] (Хамфрис 1992, Раздел 3.17, «Действие на плоскости», стр. 76–78)

[readp2-8] (Reading 2010, стр. 2)

[stem2007-9] (Стембридж 2007)

[10] О кватернионах и октонионах , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит ISBN 978-1-56881-134-5

[11] Патрик Дю Валь, Гомографии, кватернионы и вращения , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press , Оксфорд , 1964.