Группа размышлений

В теории групп и геометрии группа отражений — это дискретная группа , которая порождается набором отражений конечномерного евклидова пространства . Группа симметрии правильного многогранника или разбиения евклидова пространства конгруэнтными копиями правильного многогранника обязательно является группой отражений. Группы отражений также включают группы Вейля и кристаллографические группы Кокстера . В то время как ортогональная группа порождается отражениями (по теореме Картана–Дьедонне ), она является непрерывной группой (на самом деле, группой Ли ), а не дискретной группой, и обычно рассматривается отдельно.

Пусть E — конечномерное евклидово пространство . Конечная группа отражений — это подгруппа общей линейной группы E , которая порождается набором ортогональных отражений относительно гиперплоскостей , проходящих через начало координат. Аффинная группа отражений — это дискретная подгруппа аффинной группы E , которая порождается набором аффинных отражений E (без требования, чтобы гиперплоскости отражений проходили через начало координат).

Соответствующие понятия могут быть определены над другими полями , что приводит к комплексным группам отражений и аналогам групп отражений над конечным полем .

В двух измерениях конечные группы отражений являются диэдральными группами , которые генерируются отражением относительно двух прямых, образующих угол и соответствующих диаграмме Кокстера. Наоборот, циклические точечные группы в двух измерениях не генерируются отражениями и не содержат их — они являются подгруппами индекса 2 диэдральной группы.${\displaystyle 2\пи /n}$ ${\displaystyle I_{2}(н).}$

Бесконечные группы отражений включают группы фриза и и группы обоев , , , и . Если угол между двумя линиями является иррациональным кратным пи, группа, порожденная отражениями относительно этих линий, бесконечна и недискретна, следовательно, она не является группой отражений.${\displaystyle *\infty \infty }$${\displaystyle *22\infty}$ ${\стиль_отображения **}$${\displaystyle *2222}$${\displaystyle *333}$${\displaystyle *442}$${\displaystyle *632}$

Конечные группы отражений — это точечные группы C _nv , D _nh и группы симметрии пяти Платоновых тел . Двойственные правильные многогранники (куб и октаэдр, а также додекаэдр и икосаэдр) порождают изоморфные группы симметрии. Классификация конечных групп отражений R ³ является примером классификации ADE .

Группа отражений W допускает представление особого вида, открытого и изученного Г. С. М. Коксетером . ^[1] Отражения в гранях фиксированной фундаментальной «камеры» являются генераторами r _i группы W порядка 2. Все соотношения между ними формально вытекают из соотношений

${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{c_{ij}}=1,}$

выражая тот факт, что произведение отражений r _i и r _j относительно двух гиперплоскостей H _i и H _{j ,} встречающихся под углом, представляет собой поворот на угол, фиксирующий подпространство H _i  ∩  H _j коразмерности 2. Таким образом, рассматриваемая как абстрактная группа, каждая группа отражений является группой Кокстера .${\displaystyle \пи /c_{ij}}$${\displaystyle 2\пи /c_{ij}}$

При работе над конечными полями «отражение» определяется как отображение, фиксирующее гиперплоскость. Геометрически это равносильно включению сдвигов в гиперплоскость. Группы отражений над конечными полями характеристики, отличной от 2, были классифицированы Залесским и Сережкиным (1981).

Также были рассмотрены дискретные группы изометрий более общих римановых многообразий , порожденных отражениями. Самый важный класс возникает из римановых симметрических пространств ранга 1: n-сфера S ⁿ , соответствующая конечным группам отражений, евклидово пространство R ⁿ , соответствующее аффинным группам отражений, и гиперболическое пространство H ⁿ , где соответствующие группы называются гиперболическими группами отражений . В двух измерениях треугольные группы включают группы отражений всех трех видов.

• Расположение гиперплоскости
• Теорема Шевалле–Шепарда–Тодда
• Группы отражения связаны с калейдоскопами . ^[2]
• Параболическая подгруппа группы отражений

• Медиа, связанные с группами Reflection на Wikimedia Commons
• «Группа отражения», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]