5-политоп

Графы трех правильных и трех однородных 5-многогранников.

5-симплекс (гексатерон)	5-ортоплекс , 2 11 (Пентакросс)	5-кубовый (Пентеракт)
Расширенный 5-симплекс	Выпрямленный 5-ортоплекс	5-демикуб . 1 21 (Демипентеракт)

В геометрии пятимерный многогранник ( или 5-политоп , или политерон ) — многогранник в пятимерном пространстве , ограниченный гранями ( 4 -политоп ) , пары которых разделяют многогранную ячейку .

5-политоп — это замкнутая пятимерная фигура с вершинами , ребрами , гранями и ячейками , а также 4-гранями . Вершина — это точка , в которой сходятся пять или более ребер. Ребро — это отрезок прямой , в котором сходятся четыре или более граней, а грань — это многоугольник, в котором сходятся три или более ячеек. Ячейка — это многогранник , а 4-грань — это 4-политоп . Кроме того, должны быть выполнены следующие требования:

1. Каждая ячейка должна соединять ровно две 4-грани.
2. Соседние 4-грани не находятся в одной и той же четырехмерной гиперплоскости .
3. Фигура не является составной частью других фигур, соответствующих требованиям.

Топология любого заданного 5-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . ^[1]

Значение характеристики Эйлера, используемое для характеристики многогранников, не обобщается полезным образом на более высокие измерения, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. ^[1]

Аналогично, понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики поверхностных скручиваний тороидальных многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. ^[1]

5-многогранники можно классифицировать на основе таких свойств, как « выпуклость » и « симметрия ».

• 5-многогранник является выпуклым, если его граница (включая его ячейки, грани и ребра) не пересекает саму себя, а отрезок прямой, соединяющий любые две точки 5-многогранника, содержится в 5-многограннике или его внутренней части; в противном случае он является невыпуклым . Самопересекающиеся 5-многогранники также известны как звездчатые многогранники , по аналогии со звездообразными формами невыпуклых многогранников Кеплера-Пуансо .
• Однородный 5-многогранник имеет группу симметрии, при которой все вершины эквивалентны, а его грани являются однородными 4-многогранниками . Грани однородного многогранника должны быть правильными .

• Полуправильный 5-политоп содержит два или более типов граней правильного 4-политопа. Существует только одна такая фигура, называемая демипентерактом .
• Правильный 5-многогранник имеет все одинаковые правильные 4-многогранные грани. Все правильные 5-многогранники выпуклые.

• Призматический 5-многогранник строится декартовым произведением двух многогранников меньшей размерности. Призматический 5-многогранник является однородным, если его факторы однородны. Гиперкуб является призматическим (произведение квадрата и куба ), но рассматривается отдельно, поскольку имеет симметрии, отличные от тех, которые унаследованы от его факторов.
• 4 -пространственная тесселяция — это разделение четырехмерного евклидова пространства на регулярную сетку полихоральных граней. Строго говоря, тесселяции не являются многогранниками, поскольку они не ограничивают «5D» объем, но мы включаем их сюда для полноты, поскольку они во многом похожи на многогранники. Однородная 4-пространственная тесселяция — это такая, вершины которой связаны пространственной группой , а грани — однородные 4-многогранники.

Правильные 5-мерные многогранники можно представить символом Шлефли {p,q,r,s} с s {p,q,r} полихоральными гранями вокруг каждой грани .

Существует ровно три таких выпуклых правильных 5-мерных многогранника :

1. {3,3,3,3} - 5-симплекс
2. {4,3,3,3} - 5-кубовый
3. {3,3,3,4} - 5-ортоплекс

Для 3 выпуклых правильных 5-многогранников и трех полуправильных 5-многогранников их элементами являются:

Имя	Символ (ы) Шлефли	Диаграмма (ы) Коксетера	Вершины	Края	Лица	Клетки	4-х гранный	Симметрия ( порядок )
5-симплекс	{3,3,3,3}		6	15	20	15	6	А 5 , (120)
5-кубовый	{4,3,3,3}		32	80	80	40	10	5 г. до н.э. (3820)
5-ортоплекс	{3,3,3,4} {3,3,3 1,1 }		10	40	80	80	32	БК 5 , (3840) 2×Д 5

Для трех полуправильных 5-мерных многогранников их элементами являются:

Имя	Символ (ы) Шлефли	Диаграмма (ы) Коксетера	Вершины	Края	Лица	Клетки	4-х гранный	Симметрия ( порядок )
Расширенный 5-симплекс	т 0,4 {3,3,3,3}		30	120	210	180	162	2×А 5 , (240)
5-демикуб	{3,3 2,1 } ч{4,3,3,3}		16	80	160	120	26	Д 5 , (1920) ½BC 5
Выпрямленный 5-ортоплекс	т 1 {3,3,3,4} т 1 {3,3,3 1,1 }		40	240	400	240	42	БК 5 , (3840) 2×Д 5

Расширенный 5-симплекс является вершинной фигурой однородной 5-симплексной соты ,. 5-демикубовые соты ,, вершинная фигура представляет собой выпрямленный 5-ортоплекс , а грани — 5-ортоплекс и 5-демикуб .

Пирамидальные 5-многогранники, или 5-пирамиды , могут быть получены с помощью 4-многогранника в 4-пространственной гиперплоскости, соединенной с точкой вне гиперплоскости. 5-симплекс — простейший пример с 4-многогранником.

• Список правильных многогранников#Пятимерные правильные многогранники и выше

• Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900
• А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и пространственного заполнения , Verhandelingen Академии Koninklijke van Wetenschappen, единица ширины Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910 г.
• HSM Коксетер :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins и JCP Miller: Однородные многогранники , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Довер, Нью-Йорк, 1973 г.
• Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Клитцинг, Ричард. «Пятимерные однородные многогранники (политеры)».

• Многогранники различных размерностей, Джонатан Бауэрс
• Uniform Polytera, Джонатан Бауэрс
• Многомерный глоссарий, Гарретт Джонс