Неправильное вращение

Вращение, составленное с отражением

В геометрии , неправильное вращение [1] (также называемое вращением-отражением , [2] роторным отражением , [1] вращательным отражением , [3] или ротоинверсией [4] ) является изометрией в евклидовом пространстве , которая является комбинацией вращения вокруг оси и отражения в плоскости, перпендикулярной этой оси. Отражение и инверсия являются частными случаями неправильного вращения. Любое неправильное вращение является аффинным преобразованием и, в случаях, когда начало координат остается фиксированным, линейным преобразованием . [5] Он используется как операция симметрии в контексте геометрической симметрии , молекулярной симметрии и кристаллографии , где объект, который не изменяется при комбинации вращения и отражения, называется имеющим неправильную вращательную симметрию .

Пример многогранников с симметрией роторного отражения
ГруппаС4С 6С 8С 10С 12
ПодгруппыС 2С 3 , С 2 = С iС 4 , С 2С 5 , С 2 = С iС 6 , С 4 , С 3 , С 2
Пример
скошенная двуугольная антипризма

треугольная антипризма

квадратная антипризма

пятиугольная антипризма

шестиугольная антипризма
Антипризмы с направленными ребрами обладают симметрией роторного отражения.
p -антипризмы для нечетных p содержат симметрию инверсии , C i .

Три измерения

В 3 измерениях несобственное вращение эквивалентно определяется как комбинация вращения вокруг оси и инверсии в точке на оси. [1] По этой причине его также называют ротоинверсией или вращательной инверсией . Эти два определения эквивалентны, поскольку вращение на угол θ с последующим отражением является тем же преобразованием, что и вращение на θ + 180° с последующим инверсией (принимая точку инверсии в плоскость отражения). В обоих определениях операции коммутируют.

Трехмерная симметрия, имеющая только одну неподвижную точку , обязательно является неправильным вращением. [3]

Неправильное вращение объекта, таким образом, производит вращение его зеркального изображения . Ось называется осью вращения-отражения . [6] Это называется n -кратным неправильным вращением , если угол вращения до или после отражения равен 360°/ n (где n должно быть четным). [6] Существует несколько различных систем для обозначения отдельных неправильных вращений:

  • В нотации Шёнфлиса символ S n (нем. Spiegel , для зеркала ), где n должно быть четным, обозначает группу симметрии, порожденную n -кратным несобственным вращением. Например, операция симметрии S 6 представляет собой комбинацию вращения на (360°/6)=60° и зеркального отражения. (Это не следует путать с тем же обозначением для симметричных групп ). [6]
  • В нотации Германа–Могена символ n используется для n -кратного ротоинвертирования ; т. е. поворота на угол поворота 360°/ n с инверсией. Если n четное, оно должно делиться на 4. (Обратите внимание, что 2 будет просто отражением и обычно обозначается как «m», что означает «зеркало».) Когда n нечетное, это соответствует 2 n -кратному несобственному вращению (или вращательному отражению).
  • Обозначение Кокстера для S 2 n имеет вид [2 n + ,2 + ] и, как подгруппа индекса 4 группы [2 n ,2],, полученный как результат трех отражений.
  • Орбифолдная нотация имеет вид n ×, порядок 2 n .
    Подгруппы для S 2 - S 20 .
    C 1 - единичная группа .
    S 2 - центральная инверсия .
    C n - циклические группы .

Подгруппы

  • Прямая подгруппа S 2 n — это C n , порядок n , индекс 2, представляющая собой генератор роторного отражения, примененный дважды.
  • Для нечетного n S 2 n содержит инверсию , обозначаемую Ci или S 2 . S 2 n — это прямое произведение : S 2 n = C n  ×  S 2 , если n нечетное.
  • Для любого n , если нечетное p является делителем n , то S2n / p является подгруппой S2n , индекс p . Например, S4 является подгруппой S12 , индекс 3 .

Как косвенная изометрия

В более широком смысле несобственное вращение можно определить как любую косвенную изометрию ; т. е. элемент E (3)\E + (3): таким образом, оно может быть также чистым отражением в плоскости или иметь плоскость скольжения . Косвенная изометрия — это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, которая имеет определитель −1.

Собственное вращение — это обычное вращение. В более широком смысле собственное вращение определяется как прямая изометрия ; т. е. элемент E + (3): это может быть также тождество, вращение с переносом вдоль оси или чистый перенос. Прямая изометрия — это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, которая имеет определитель 1.

В узком или широком смысле композиция двух неправильных вращений является правильным вращением, а композиция неправильного и правильного вращений является неправильным вращением.

Физические системы

При изучении симметрии физической системы при несобственном вращении (например, если система имеет плоскость зеркальной симметрии) важно различать векторы и псевдовекторы (а также скаляры и псевдоскаляры , и вообще тензоры и псевдотензоры ), поскольку последние по-разному преобразуются при собственных и несобственных вращениях (в 3-х измерениях псевдовекторы инвариантны относительно инверсии).

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc Morawiec, Adam (2004), Ориентации и вращения: вычисления в кристаллографических текстурах, Springer, стр. 7, ISBN 978-3-540-40734-8.
  2. ^ Мисслер, Гэри; Фишер, Пол; Тарр, Дональд (2014), Неорганическая химия (5-е изд.), Pearson, стр. 78
  3. ^ ab Kinsey, L. Christine ; Moore, Teresa E. (2002), Симметрия, форма и поверхности: введение в математику через геометрию, Springer, стр. 267, ISBN 978-1-930190-09-2.
  4. ^ Кляйн, Филпоттс (2013). Earth Materials . Cambridge University Press. С.  89–90 . ISBN 978-0-521-14521-3.
  5. ^ Саломон, Дэвид (1999), Компьютерная графика и геометрическое моделирование, Springer, стр. 84, ISBN 978-0-387-98682-1.
  6. ^ abc Bishop, David M. (1993), Теория групп и химия, Courier Dover Publications, стр. 13, ISBN 978-0-486-67355-4.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Неправильное_вращение&oldid=1229265731"