Дисперсионное соотношение

В физических науках и электротехнике дисперсионные соотношения описывают влияние дисперсии на свойства волн в среде. Дисперсионное соотношение связывает длину волны или волновое число волны с ее частотой . Зная дисперсионное соотношение, можно вычислить зависящую от частоты фазовую скорость и групповую скорость каждой синусоидальной компоненты волны в среде как функцию частоты. В дополнение к зависящим от геометрии и зависящим от материала дисперсионным соотношениям, всеобъемлющие соотношения Крамерса–Кронига описывают зависимость распространения и затухания волн от частоты .

Дисперсия может быть вызвана либо геометрическими граничными условиями ( волноводы , мелководье), либо взаимодействием волн с передающей средой. Элементарные частицы , рассматриваемые как волны материи , имеют нетривиальное дисперсионное соотношение, даже при отсутствии геометрических ограничений и других сред.

При наличии дисперсии волна не распространяется с неизменной формой, что приводит к появлению отчетливо зависящих от частоты фазовой скорости и групповой скорости .

Дисперсия происходит, когда синусоидальные волны разных длин волн имеют разные скорости распространения, так что волновой пакет смешанных длин волн имеет тенденцию распространяться в пространстве. Скорость плоской волны, , является функцией длины волны :${\displaystyle v}$${\displaystyle \лямбда}$

${\displaystyle v=v(\lambda).}$

Скорость волны, длина волны и частота f связаны соотношением

${\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda ).}$

Функция выражает дисперсионное соотношение данной среды. Дисперсионные соотношения чаще всего выражаются через угловую частоту и волновое число . Переписывая приведенное выше соотношение в этих переменных, получаем${\displaystyle f(\лямбда)}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

${\displaystyle \omega (k)=v(k)\cdot k.}$

где теперь мы рассматриваем f как функцию k . Использование ω ( k ) для описания дисперсионного соотношения стало стандартным, поскольку и фазовая скорость ω / k, и групповая скорость dω / dk имеют удобные представления через эту функцию.

Рассматриваемые плоские волны можно описать следующим образом:

${\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)},}$

где

• А — амплитуда волны,
• А ₀ = А (0, 0),
• x — это положение вдоль направления распространения волны, а
• t — время, в которое описывается волна.

Плоские волны в вакууме представляют собой простейший случай распространения волн: нет геометрических ограничений, нет взаимодействия с передающей средой.

Для электромагнитных волн в вакууме угловая частота пропорциональна волновому числу:

${\displaystyle \omega =ск.}$

Это линейное дисперсионное соотношение, и в этом случае волны называются недисперсионными . ^[1] То есть фазовая скорость и групповая скорость одинаковы:

${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c,}$

и, таким образом, обе они равны скорости света в вакууме, которая не зависит от частоты.

Для волн материи де Бройля соотношение дисперсии частоты нелинейно: Уравнение говорит, что частота волны материи в вакууме изменяется с волновым числом ( ) в нерелятивистском приближении. Изменение состоит из двух частей: постоянной части, обусловленной частотой де Бройля массы покоя ( ) и квадратичной части, обусловленной кинетической энергией.$${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$

В то время как применение материальных волн происходит при нерелятивистской скорости, де Бройль применил специальную теорию относительности для вывода своих волн. Исходя из релятивистского соотношения энергии-импульса : используйте соотношения де Бройля для энергии и импульса для материальных волн ,$${\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,}$$

${\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,}$

где ω — угловая частота , а k — волновой вектор с величиной | k | = k , равный волновому числу . Разделим на и извлечем квадратный корень. Это дает релятивистское соотношение дисперсии частоты :${\displaystyle \hbar}$$${\displaystyle \omega (k)={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.}$$

Практическая работа с материальными волнами происходит при нерелятивистской скорости. Для аппроксимации мы вытаскиваем частоту, зависящую от массы покоя:$${\displaystyle \omega ={\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}{\sqrt {1+\left({\frac {k\hbar }{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.}$$

Затем мы видим, что множитель очень мал, поэтому для не слишком большого значения мы расширяем и умножаем: Это дает нерелятивистское приближение, обсуждавшееся выше. Если мы начнем с нерелятивистского уравнения Шредингера, то в итоге мы останемся без первого члена, массы покоя.${\displaystyle \hbar /c}$${\displaystyle к}$${\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}\approx 1+x^{2}/2,}$$${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

Анимация: фазовая и групповая скорость электронов

Эта анимация изображает фазу де Бройля и групповую скорость (в замедленном движении) трех свободных электронов, движущихся по полю шириной 0,4 ангстрема . Импульс на единицу массы (собственная скорость) среднего электрона равен скорости света, так что его групповая скорость равна 0,707 c . Верхний электрон имеет вдвое больший импульс, а нижний — вдвое больший. Обратите внимание, что по мере увеличения импульса фазовая скорость уменьшается до c , тогда как групповая скорость увеличивается до c , пока волновой пакет и его фазовые максимумы не будут двигаться вместе около скорости света, тогда как длина волны продолжает уменьшаться без ограничений. Как поперечная, так и продольная ширина когерентности (размеры пакетов) таких высокоэнергетических электронов в лаборатории могут быть на порядки больше показанных здесь.

Как упоминалось выше, когда в среде основное внимание уделяется преломлению, а не поглощению, то есть действительной части показателя преломления , функциональную зависимость угловой частоты от волнового числа принято называть дисперсионным соотношением . Для частиц это означает знание энергии как функции импульса.

Название «дисперсионное соотношение» изначально пришло из оптики . Можно сделать эффективную скорость света зависимой от длины волны, заставив свет проходить через материал с непостоянным показателем преломления , или используя свет в неоднородной среде, такой как волновод . В этом случае форма волны будет распространяться со временем, так что узкий импульс станет протяженным импульсом, т. е. будет рассеиваться. В этих материалах известна как групповая скорость ^[2] и соответствует скорости, с которой распространяется пик импульса, значению, отличному от фазовой скорости . ^[3]${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$

Дисперсионное уравнение для волн на глубокой воде часто записывается как

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},}$

где g — ускорение силы тяжести. Глубокая вода в этом отношении обычно обозначается как случай, когда глубина воды больше половины длины волны. ^[4] В этом случае фазовая скорость равна

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}},}$

и групповая скорость равна

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$

Для идеальной струны дисперсионное уравнение можно записать как

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

где T — сила натяжения струны, а μ — масса струны на единицу длины. Что касается случая электромагнитных волн в вакууме, то идеальные струны, таким образом, являются недисперсионной средой, т. е. фазовая и групповая скорости равны и независимы (в первом порядке) от частоты колебаний.

Для неидеальной струны, где учитывается жесткость, дисперсионное соотношение записывается как

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4},}$

где — константа, зависящая от строки.${\displaystyle \альфа}$

При изучении твердых тел изучение дисперсионного соотношения электронов имеет первостепенное значение. Периодичность кристаллов означает, что для данного импульса возможны многие уровни энергии и что некоторые энергии могут быть недоступны ни при каком импульсе. Совокупность всех возможных энергий и импульсов известна как зонная структура материала. Свойства зонной структуры определяют, является ли материал изолятором , полупроводником или проводником .

Фононы для звуковых волн в твердом теле то же, что фотоны для света: они являются квантами, которые его переносят. Дисперсионное соотношение фононов также нетривиально и важно, поскольку напрямую связано с акустическими и термическими свойствами материала. Для большинства систем фононы можно разделить на два основных типа: те, чьи полосы становятся нулевыми в центре зоны Бриллюэна , называются акустическими фононами , поскольку они соответствуют классическому звуку в пределе больших длин волн. Остальные являются оптическими фононами , поскольку они могут возбуждаться электромагнитным излучением.

При использовании высокоэнергетических (например, 200 кэВ, 32 фДж) электронов в просвечивающем электронном микроскопе энергетическая зависимость линий зоны Лауэ высшего порядка (HOLZ) в картинах дифракции сходящихся пучков электронов (CBED) позволяет, по сути, напрямую отображать поперечные сечения трехмерной дисперсионной поверхности кристалла . ^[5] Этот динамический эффект нашел применение в точном измерении параметров решетки, энергии пучка, а в последнее время и в электронной промышленности: деформации решетки.

Исаак Ньютон изучал преломление в призмах, но не смог распознать материальную зависимость дисперсионного соотношения, отвергнув работу другого исследователя, чьи измерения дисперсии призмы не совпадали с собственными измерениями Ньютона. ^[6]

Дисперсия волн на воде была изучена Пьером-Симоном Лапласом в 1776 году. ^[7]

Универсальность соотношений Крамерса–Кронига (1926–27) стала очевидной в последующих работах о связи дисперсионного соотношения с причинностью в теории рассеяния всех типов волн и частиц. ^[8]

• Эллипсометрия
• Сверхкороткий импульс
• Волны в плазме

• Ablowitz, Mark J. (2011-09-08). Нелинейные дисперсионные волны . Кембридж, Великобритания; Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-01254-7. OCLC  714729246.

• Плакат о моделировании CBED для визуализации дисперсионных поверхностей, авторы Андрей Чувилин и Уте Кайзер
• Калькулятор угловой частоты