Волновой вектор

Вектор, описывающий волну; часто направление ее распространения

В физике волновой вектор ( или волновой вектор ) — это вектор, используемый для описания волны , типичной единицей которого является цикл на метр. Он имеет величину и направление . Его величина — это волновое число волны (обратно пропорционально длине волны ), а его направление перпендикулярно фронту волны. В изотропных средах это также направление распространения волны .

Близким вектором является угловой волновой вектор (или угловой волновой вектор ), типичной единицей которого является радиан на метр. Волновой вектор и угловой волновой вектор связаны фиксированной константой пропорциональности, 2π $радиан$ на цикл. ^[a]

В некоторых областях физики принято называть угловой волновой вектор просто волновым вектором , в отличие, например, от кристаллографии . ^[1]^[2] Также принято использовать символ $k$ для обозначения того, что используется.

В контексте специальной теории относительности можно определить волновой четырехвектор, объединяющий (угловой) волновой вектор и (угловую) частоту .

Определение

Термины волновой вектор и угловой волновой вектор имеют различные значения. Здесь волновой вектор обозначается как , а волновое число как . Угловой волновой вектор обозначается как $k$ , а угловое волновое число как $k$ $= |$ $k$ $|$ . Они связаны соотношением . ${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ ${\tilde {\nu }}=\left|{\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\right|$ $\mathbf {k} =2\pi {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$

Синусоидальная бегущая волна следует уравнению

\psi (\mathbf {r},t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi),

где:

$r$ — позиция,
$t$ - время,
$ψ$ является функцией $r$ и $t, описывающей возмущение$ $,$ описывающее волну (например, для океанской волны $ψ$ будет избыточной высотой воды, или для звуковой волны ψ будет избыточным давлением воздуха ).
$А$ — амплитуда волны (максимальная величина колебания),
$φ$ — смещение фазы ,
$ω$ — (временная) угловая частота волны, описывающая, сколько радиан она проходит за единицу времени, и связанная с периодом $T$ уравнением $\omega = {\tfrac {2\pi {T}},$
$k$ — угловой волновой вектор волны, описывающий, сколько радиан она проходит за единицу расстояния, и связанный с длиной волны уравнением $|\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}.$

Эквивалентное уравнение с использованием волнового вектора и частоты имеет вид ^[3]

\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),

где:

$f$ это частота
${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ это волновой вектор

Направление волнового вектора

Направление, в котором указывает волновой вектор, следует отличать от «направления распространения волны ». «Направление распространения волны» — это направление потока энергии волны и направление, в котором будет двигаться малый волновой пакет , т. е. направление групповой скорости . Для световых волн в вакууме это также направление вектора Пойнтинга . С другой стороны, волновой вектор указывает в направлении фазовой скорости . Другими словами, волновой вектор указывает в нормальном направлении к поверхностям постоянной фазы , также называемым волновыми фронтами .

В изотропной среде без потерь , такой как воздух, любой газ, любая жидкость, аморфные твердые тела (например, стекло ) и кубические кристаллы , направление волнового вектора совпадает с направлением распространения волны. Если среда анизотропна, волновой вектор в общем случае указывает в направлениях, отличных от направления распространения волны. Волновой вектор всегда перпендикулярен поверхностям постоянной фазы.

Например, когда волна распространяется через анизотропную среду , например, световые волны через асимметричный кристалл или звуковые волны через осадочную породу , волновой вектор может не указывать точно в направлении распространения волны. ^[4]^[5]

В физике твердого тела

В физике твердого тела «волновой вектор» (также называемый k-вектором ) электрона или дырки в кристалле — это волновой вектор его квантово-механической волновой функции . Эти электронные волны не являются обычными синусоидальными волнами, но у них есть своего рода огибающая функция , которая является синусоидальной, и волновой вектор определяется через эту огибающую волну, обычно с использованием «физического определения». Подробнее см. теорему Блоха . ^[6]

В специальной теории относительности

Движущаяся волновая поверхность в специальной теории относительности может рассматриваться как гиперповерхность (трехмерное подпространство) в пространстве-времени, образованная всеми событиями, прошедшими через волновую поверхность. Волновой поезд (обозначаемый некоторой переменной $X$ ) может рассматриваться как однопараметрическое семейство таких гиперповерхностей в пространстве-времени. Эта переменная $X$ является скалярной функцией положения в пространстве-времени. Производная этого скаляра является вектором, который характеризует волну, четырехволновым вектором. ^[7]

Четырехволновой вектор — это волновой четырехвектор , который в координатах Минковского определяется как:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,

где угловая частота является временной составляющей, а вектор волнового числа является пространственной составляющей. ${\tfrac {\omega {c}}$ ${\vec {k}}$

Альтернативно, волновое число $k$ можно записать как угловую частоту $ω,$ деленную на фазовую скорость $v p$ , или через обратный период $T$ и обратную длину волны $λ$ .

При явном выписывании его контравариантные и ковариантные формы имеют вид:

{\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}

В общем случае скалярная величина Лоренца волнового четырехвектора равна:

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}

Четырехволновой вектор равен нулю для безмассовых (фотонных) частиц, где масса покоя $m_{o}=0$

Примером нулевого четырехволнового вектора может служить пучок когерентного монохроматического света, имеющий фазовую скорость $v_{p}=c$

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,

{для светоподобного/нулевого}

который имел бы следующее соотношение между частотой и величиной пространственной части четырехволнового вектора:

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0

{для светоподобного/нулевого}

Четырехволновой вектор связан с четырехимпульсом следующим образом:

P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({ \frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)

Четырехволновой вектор связан с четырехчастотным следующим образом:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)

Четырехволновой вектор связан с четырехскоростью следующим образом:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)

преобразование Лоренца

Принятие преобразования Лоренца четырехволнового вектора является одним из способов вывода релятивистского эффекта Доплера . Матрица Лоренца определяется как

\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

В ситуации, когда свет испускается быстро движущимся источником и хотелось бы узнать частоту света, обнаруженную в земной (лабораторной) системе отсчета, мы бы применили преобразование Лоренца следующим образом. Обратите внимание, что источник находится в системе отсчета $S s$ , а Земля находится в системе отсчета наблюдения $S obs$ . Применение преобразования Лоренца к волновому вектору

k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }

и выбор просто посмотреть на результаты компонента в $\mu =0$

{\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}

где - направляющий косинус относительно $\cos \theta$ $k^{1}$ $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .$

Так

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}

Источник удаляется (красное смещение)

В качестве примера, если применить это к ситуации, когда источник движется прямо от наблюдателя ( ), то это будет выглядеть так: $\theta =\pi$

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}

Источник движется в сторону (синее смещение)

Если применить это к ситуации, когда источник движется прямо к наблюдателю ( $θ = 0$ ), то это будет выглядеть так:

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}

Источник движется по касательной (поперечный эффект Доплера)

Если применить это к ситуации, когда источник движется поперечно по отношению к наблюдателю ( $θ = π /2$ ), то это будет выглядеть следующим образом:

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}

Смотрите также

Ссылки

^ В большинстве контекстов и радиан, и цикл (или период ) рассматриваются как безразмерная величина 1, сводя эту константу к 2π.

^ Пример физики: Харрис, Бененсон, Стокер (2002). Справочник по физике. стр. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Пример кристаллографии: Вайнштейн (1994). Современная кристаллография. С. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.
^ Вайнштейн, Борис Константинович (1994). Современная кристаллография. п. 259. ИСБН 978-3-540-56558-1.
^ Фаулз, Грант (1968). Введение в современную оптику . Холт, Райнхарт и Уинстон. стр. 177.
^ "Этот эффект был объяснен Масгрейвом (1959), который показал, что энергия упругой волны в анизотропной среде, в общем случае, не будет распространяться по тому же пути, что и нормаль к плоскому волновому фронту ...", Звуковые волны в твердых телах Полларда, 1977. ссылка
^ Дональд Х. Менцель (1960). "§10.5 Волна Блоха". Фундаментальные формулы физики, том 2 (переиздание Prentice-Hall 1955 2-е изд.). Courier-Dover. стр. 624. ISBN 978-0486605968.
^ Вольфганг Риндлер (1991). "§24 Волновое движение". Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Oxford Science Publications. стр. 60–65. ISBN 978-0-19-853952-0.

Дальнейшее чтение

Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514665-3.

[1] В большинстве контекстов и радиан, и цикл (или период ) рассматриваются как безразмерная величина 1, сводя эту константу к 2π.

[2] Пример физики: Харрис, Бененсон, Стокер (2002). Справочник по физике. стр. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[3] Пример кристаллографии: Вайнштейн (1994). Современная кристаллография. С. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.

[4] Вайнштейн, Борис Константинович (1994). Современная кристаллография. п. 259. ИСБН 978-3-540-56558-1.

[fowles-5] Фаулз, Грант (1968). Введение в современную оптику . Холт, Райнхарт и Уинстон. стр. 177.

[pollard-6] "Этот эффект был объяснен Масгрейвом (1959), который показал, что энергия упругой волны в анизотропной среде, в общем случае, не будет распространяться по тому же пути, что и нормаль к плоскому волновому фронту ...", Звуковые волны в твердых телах Полларда, 1977. ссылка

[7] Дональд Х. Менцель (1960). "§10.5 Волна Блоха". Фундаментальные формулы физики, том 2 (переиздание Prentice-Hall 1955 2-е изд.). Courier-Dover. стр. 624. ISBN 978-0486605968.

[8] Вольфганг Риндлер (1991). "§24 Волновое движение". Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Oxford Science Publications. стр. 60–65. ISBN 978-0-19-853952-0.